河南省南阳市西峡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期第一次调研测试数学试卷

保密★启用前 西峡一高2023-2024学年高二下学期第一次调研测试 数学试卷 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A．   B． C．   D．   3．（本题5分）已知函数，若存在，使得，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．在内有零点 D．若在内有零点，则 4．（本题5分）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 7．（本题5分）如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆在第一象限交于点交的左支于点，若为线段的中点，则的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 8．（本题5分）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题（共20分） 9．（本题5分）设是以定点为球心半径为的球面，是一个固定平面，到的距离为．设是以点为球心的球面，它与外切并与相切．令A为满足上述条件的球心构成的集合．设平面与平行且在上有A中的点．设是平面与之间的距离．则的最小值为 ． 10．（本题5分）一个三棱锥形木料，其中是边长为的等边三角形，底面，二面角的大小为，则点A到平面PBC的距离为 ．若将木料削成以A为顶点的圆锥，且圆锥的底面在侧面PBC内，则圆锥体积的最大值为 ． 11．（本题5分）已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则 . 12．（本题5分）已知a，b，c为某三角形的三边长，其中，且a，b为函数的两个零点，若恒成立，则M的最小值为 ． 评卷人 得分 三、解答题（共90分） 13．（本题15分）已知正项数列的前n项和为． (1)求数列的前n项和; (2)令，求的前9项之和． 14．（本题15分）在平面直角坐标系 中，圆的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是． (1)求圆的普通方程和直线的直角坐标方程； (2)若直线与圆交于两点，且，求的值． 15．（本题15分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，. (1)证明：平面. (2)若，求三棱锥的体积. 16．（本题15分）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17．（本题15分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为为参数) ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过曲线的左焦点. （1）直线与曲线交于两点，求； （2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值. 18．（本题15分）在平面直角坐标系中，一动圆过点且与直线相切，设该动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设为在第一象限内的一个动点，过作曲线的切线，直线过点且与垂直，与的另外一个交点为，求的最小值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………