重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题（五大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题 【题型归纳目录】 题型一：问题（系数为1） 题型二：问题（系数不为1） 题型三：问题 题型四：问题 题型五：问题 【方法技巧与总结】 （1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 （2）等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 【典型例题】 题型一：问题（系数为1） 【例1】（2024·山东滨州·统考一模）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型二：问题（系数不为1） 【例2】（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·安徽合肥·高三阶段练习）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（多选题）（2024·河北唐山·高二唐山一中校考阶段练习）如图，圆О是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，（，），则可以取值为（    ） A． B． C． D．1 题型三：问题 【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号） ①存在点P，使得； ②存在点P，使得； ③存在点P，使得； ④存在点P，使得． 【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 . 题型四：问题 【例4】（2024·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（    ） A．4 B． C． D．2 【变式4-1】（2024·广东汕头·高一金山中学校考期中）如图，在中，分别是的中点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 . 题型五：问题 【例5】（2024·全国·高三专题练习）在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值为 . 【变式5-1】（2024·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式5-2】（2024·全国·高三专题练习）如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，则的最小值为 .    【同步练习】 一、单选题 1．（2024·上海金山·统考一模）已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知点为所在平面内一点，满足，为中点，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东烟台·统考三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 4．（2024·辽宁沈阳·高三统考期中）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁丹东·高三统考期末）已知扇形的圆心角是，半径是1，是弧上不与重合的一点，设，若存在最大值，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期中）