微专题08 解三角形图形类问题（六大题型）-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题08 解三角形图形类问题 【题型归纳目录】 题型一：妙用两次正弦定理 题型二：两角使用余弦定理 题型三：张角定理与等面积法 题型四：角平分线问题 题型五：中线问题 题型六：高问题 【方法技巧与总结】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题】 题型一：妙用两次正弦定理 【典例7-1】（2024·广东广州·统考一模）记的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若点在边上，且，，求. 【典例7-2】（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若是内一点，，，，，求． 【变式7-1】（2024·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）如图，在梯形中，，． (1)若，求周长的最大值； (2)若，，求的值． 题型二：两角使用余弦定理 【典例8-1】（2021·全国·统考高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【典例8-2】（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）如图，四边形中，，． (1)求； (2)若，求． 【变式8-1】（2024·浙江温州·高一统考期末）在①，②，③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并求解． 问题： 如图， 在中， 角所对的边分别为是边上一点， ， ， 若_________， (1)求角A的值； (2)求的值． 题型三：张角定理与等面积法 【典例9-1】（2024·广东·统考一模）已知△ABC中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【典例9-2】（2024·贵州黔东南·凯里一中校考一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且，，求△ABC的面积． 【变式9-1】（2024·山西晋中·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积． ①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． 题型四：角平分线问题 【典例10-1】（2024·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）解答下列问题： (1)中，角所对的边分别为若，判断的形状； (2)在中，角的平分线求的长. 【典例10-2】（2024·高一课前预习）如图所示，在四边形ABCD中，，， (1)求BC； (2)若BD为的平分线，试求BD． 【变式10-1】（2024·全国·高一专题练习）如图，已知在中，M为BC上一点，，且． (1)若，求的值； (2)若AM为的平分线，且，求的面积． 题型五：中线问题 【典例11-1】（2024·安徽·高一统考期末）已知在中，. (1)求边的长； (2)求边上的中线的长. 【典例11-2】（2024·全国·高一专题练习）已知中，为中线，，. (1)若，求边的长； (2)当面积最大时，求的值. 【变式11-1】（2024·全国·高一专题练习）在中，内角的对边长分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求边上的中线的最大值. 题型六：高问题 【典例12-1】（2024·四川广安·高一四川省岳池中学校考阶段练习）在中，，，，的平分线交于，为边上的高，则的面积为 ． 【典例12-2】（2024·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）如图，是边上的高，若，则 . 【变式12-1】（2024·山西运城·高一校考开学考试）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 . 【过关测试】 1．（2024·高一课时练习）在中，若，且，边上的高为，求角A，B，C的大小与边a，b，c的长． 2．（2024·江苏南通·高一统考期末）如图，在中，点在边上，为的平分线，．     （1）求； （2）若,,求． 3．（2024·江苏扬州·高一江苏省邗江中学校考期末）