铺路帮手-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年八年级下册数学（华东师大版 河南专版）

􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚第 16 章 铺路小卷 1　 分式及其基本性质 测试范围:16. 1(教材 P2-P6) 　 测试时间:40 分钟　 测试分数:70 分 一、选择题(每小题 3 分,共 27 分) 1. 在代数式 6 x ,a 3 ,m +n m ,5-x 中,分式有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 若分式x +3 x+7 有意义,则 x 的取值范围是(　 　 ) A. x≠-7 B. x≠-3 C. x= -7 D. x= -3 3. 下列分式中,属于最简分式的是(　 　 ) A. 2m 10mn B. m 2 -n2 m+n C. m 2 +n2 m+n D. 2a a2 4. 下列约分正确的是(　 　 ) A. x 6 x2 = x3 B. x +y x+y = 0 C. x x2 = 1 x D. 2xy 2 4x2y = 1 2 5. 要使分式 x 2 -16 x+4 的值为零,则 x 的取值应满 足(　 　 ) A. x≠-4 B. x= 4 C. x= -4 D. x= ±4 6. 把分式 9ab 11a-b 中的 a,b 都扩大到原来的 5 倍,则分式的值(　 　 ) A. 不变 B. 扩大到原来的 25 倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的 5 倍 7. 下列各式从左到右的变形正确的是(　 　 ) A. a b =ax 2 bx2 B. y(a +1) x(a+1) = y x C. y +m x+m = y x D. x 2 -1 x-1 = x-1 8. 1 x-2 , 1 (x-2)(x+3) , 2 (x+3) 2 通分过程中不正 确的是(　 　 ) A. 最简公分母是(x-2)(x+3) 2 B. 1 x-2 = (x+3) 2 (x-2)(x+3) 2 C. 1 (x-2)(x+3) = x+3 (x-2)(x+3) 2 D. 2 (x+3) 2 = 2x-2 (x-2)(x+3) 2 9. 已知甲、乙两地相距 500 米,小李、小刘两人分 别从甲、乙两地同时出发,相向而行,速度分别 为 x 米 /秒、y 米 /秒,小李、小刘两人第二次相 距m(m<500)米时,行驶时间为(　 　 ) A. 500 -m x-y 秒 B. 500 +m x-y 秒 C. 500 +m x+y 秒 D. 500 -m x+y 秒 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 10. [结论开放性试题]有一个分式两位同学 分别说出了它的一些特点,甲:分式的值不 可能为 0;乙:当 x = -2 时,分式的值为 1. 请你写出满足上述全部特点的一个分式: 　 　 　 　 . 11. 分 式 - b 2a2c 与 a-b 3ab2c 的 最 简 公 分 母 是　 　 　 　 . 12. 已知分式 3 a-2 的值为整数,则 a 的整数值 为　 　 　 　 . 13. 食堂有煤 m 吨,原计划每天烧煤 a 吨,现 每天节约用煤 b(b<a)吨,则这批煤可以烧 　 　 　 　 天. 三、解答题(共 31 分) 14. (6 分)通分: (1) a 2b , 1 3a2 ,- 5 6abc ; 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 1 页 (2) b a2 -ab , a a2 -b2 . 15. (6 分)先化简,再求值: 2x 2 -8y2 x2 +4xy+4y2 ,其中 x = 2,y= 1 5 . 16. (9 分)【阅读理解】仔细阅读下面的材料 并解答问题: 例题:当 x 取何值时,分式 1-x 2x-1 的值为正? 解:依题意得 1 -x 2x-1 >0,则有① 1-x>0 2x-1>0{ 或② 1-x<0 2x-1<0{ ,解不等式组①得 1 2 <x<1,解不等 式组②得不等式组无解,故 1 2 <x<1. ∴ 当 1 2 <x<1 时,分式 1 -x 2x-1 的值为正. 依照上面的方法解答问题: (1)当 x 取何值时,分式3x +2 x-2 的值为负? (2) 当 x 取何值时, 分式 x -3 x3 -2x2 +x 的值 为负? 17. (10 分)定义:如果一个分式能化成一个整 式与一个分子为常数的分式的和的形式, 则称这个分式为“和谐分式”. 如 x+1 x-1 = x-1+2 x-1 = x-1 x-1 + 2 x-1 = 1+ 2 x-1 , a2 -2a+3 a-1 = (a-1) 2 +2 a-1 =a-1+ 2 a-1 , 则 x+1 x-1 和 a2 -2a+3 a-1 都是“和谐分式” . (1) 下列分式中,属于“和谐分式” 的是 　 　 　 　 (填序号); ①x +1 x ②2 +x 2 ③x +2 x+1 ④y 2 +1 y2 (2)将“和谐分式” x 2 +6x-3 x-1 化成一个整式 与一个分子为常数的分式的和的形式. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 2 页 铺路小卷 2　 分式的运算 测试范围:16. 2(教材 P6-P12) 　 测试时间:40 分钟　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. (河南中考)化简a -1 a + 1 a 的结果是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 B. 1 C. a D. a-2 2. 计算 x a+1 ·a 2 -1 2x 的结果正确的是(　 　 ) A. a -1 2 B. a +1 2 C. a -1 2x D. a +1 2a+2 3. 计算 a 2 a2 -1 ÷( 1 a-1 +1)的结果是(　 　 ) A. 1 a+1 B. 1 a-1 C. a a+1 D. a a-1 4. 已知分式 A = 6 x2 -9 ,B = 1 3-x + 1 3+x ,其中 x≠ ±3,则 A 与 B 的关系是(　 　 ) A. A=B B. A= -B C. A>B D. A<B 5. 若 a+b = 2,则代数式( a b - 1) · 2b a2 -b2 的值 是(　 　 ) A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 6. 如图,数轴上有两点 A,B,表示的数分别是 m,n. 已知 m,n 是两个连续的整数,且 m+n = -1,则分式 m 2 -2m m-1 ÷ m 2 1-m 的值为(　 　 ) A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 7. 当 x 分别取-2 024,-2 023,-2 022,…,-2, -1,0,1, 1 2 , 1 3 ,…, 1 2 022 , 1 2 023 , 1 2 024 时,计 算分式 x2 -1 x2 +1 的值,再将所得结果相加,其和 等于(　 　 ) A. -1 B. 1 C. 0 D. 2 024 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 8. (北京期中)计算:( 3bc -2a2 ) 2 = 　 　 　 　 . 9. [跨学科试题]照相机成像应用了一个重要 原理,用公式 1 f = 1 u + 1 v (v≠f)来表示,其中 f 表示照相机镜头的焦距,u 表示物体到镜头 的距离,v 表示胶片(像)到镜头的距离. 已 知 f,u,则 v= 　 　 　 　 . 10. [新定义]定义一种新运算,规则是 x∗y = 1 x · 1 y ,根据此规则化简(m+1)∗ 1 m+2 的结 果为　 　 　 　 . 三、解答题(共 30 分) 11. (9 分)计算: (1) x x2-1 - 1 x+1 ; (2)(1+ 1 x+1 )·x 2+x x ; (3) x 2-4 x2-4x+4 ÷x 2+2x 2x-4 - 1 x . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 3 页 12. (8 分)先化简,再求值: (1)( 5 x-2 -x-2) ÷x 2-6x+9 x-2 + x x-3 ,再从-1<x< 4 的范围内选取一个整数值代入求值; (2)先化简(1+ 2 x-3 ) ÷ x 2-1 x2-6x+9 ,再从不等式 组 -2x<4 3x<2x+4{ 的整数解中选一个合适的 x 的 值求值. 13. [教材 P10 习题 5 变式](7 分)小明的妈妈 有甲、乙两筐水果,甲筐水果重(x- 1)2 千 克,乙筐水果重(x2 -1)千克(其中 x>1),若 两筐水果都卖了 50 元. (1)哪筐水果的单价卖得低? (2)高的单价是低的单价的多少倍? 14. (6 分)阅读理解: 若 M x+1 + N x-1 = 1-3x x2-1 恒成立,求 M,N 的值. 解:∵ M x+1 + N x-1 = 1-3x x2-1 , ∴ M(x-1)+N(x+1) (x+1)(x-1) = 1-3x x2-1 , 则 Mx-M+Nx+N (x+1)(x-1) = 1-3x x2-1 , 即 (M+N)x-M+N (x+1)(x-1) = -3x+1 x2-1 , 故 M+N= -3 -M+N= 1{ ,解得 M= -2 N= -1{ . 请你仿照上面的方法解题: 若 M x+2 - N x-2 = x-8 x2-4 恒成立,求 M,N 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 4 页 铺路小卷 3　 可化为一元一次方程的分式方程 测试范围:16. 3(教材 P12-P16) 　 测试时间:40 分钟　 测试分数:70 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列方程中,是分式方程的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 1 5 + x 4 = 3 B. x-4y= 7 C. 2x= 3(x-5) D. 4 x-2 = 1 2. 解分式方程 2 x = 1 x-1 时,将方程两边都乘同一 个整式. 得到一个一元一次方程,这个整式 是(　 　 ) A. x　 　 B. x-1　 　 C. x(x+1)　 　 D. x(x-1) 3. 若方程 3 x = m x-3 的解为 x = 6, 则 m 的值 是(　 　 ) A. 0 B. 3 C. 3 2 D. 1 4. 若关于 x 的方程2x +a x-2 = -1 的解是正数,则 a 的取值范围为(　 　 ) A. a<2 B. a>2 C. a<2 且 a≠-4 D. a>2 且 a≠4 5. 若关于 x 的分式方程 7 x-1 + mx 1-x = -3 无解,则 m 的值为(　 　 ) A. 3　 　 B. 7　 　 C. ±7　 　 D. 3 或 7 6. [新定义]定义新运算:对于任意实数 m,n (其中 m≠0),都有 m∗n= 1 +m-n 2m ,例如:3∗ 2= 1 +3-2 2×3 = 1 3 ,若 3x∗4 = x +1 2x-1 (其中 x≠0), 则 x 的值是(　 　 ) A. 1 B. 1 3 C. 1 5 D. 1 7 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. 若代数式 3 x+2 与代数式 2 x-1 的值相等,则 x =　 　 　 　 . 8. 北京到延庆乘高铁与乘班车通行路程均约 60 公里,已知高铁的平均速度是班车平均速 度的 3 倍,乘高铁用时比乘班车少 40 分钟. 则从北京到延庆乘高铁所需时间约为 　 　 　 　 分钟. 9. 若关于 x 的分式方程 a x =b 的解为 x= 1 a+b ,我 们就说这个方程是和解方程. 比如: 2 x = -4 就是一个和解方程. 如果关于 x 的分式方程 n x = 3-n 是一个和解方程,则 n=　 　 　 　 . 三、解答题(共 43 分) 10. (8 分)解分式方程. (1)x -8 x-7 - 1 7-x = 8; (2) 7 x2+x + 1 x2-x = 6 x2-1 . 11. (8 分)王涵想复习分式方程,由于印刷问 题,有一个数“?”看不清楚: x x-3 = 2- ? x-3 . (1)她把这个数“?”猜成-2,请你帮王涵解 这个分式方程; (2)王涵的妈妈说:“我看到标准答案是:x= 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 5 页 3 是方程的增根,原分式方程无解”,请你求 出原分式方程中“?”代表的数是多少? 12. (9 分)小明解分式方程 1- x -3 2x+2 = 3x x+1 时,出 现了错误,他的解答过程如下: 解:方程两边同乘以(2x+2),约去分母,得 2x+2-(x-3)= 3x.……第一步 解这个整式方程,得 x= 5 2 .……第二步 所以,x= 5 2 是原方程的解. ……第三步 (1)小明的解答过程是从第　 　 　 　 步开 始出错的, 这一步正确 的 解 答 结 果 为 　 　 　 　 ,此步的根据是 　 ; ( 2 ) 小 明 的 解 答 过 程 缺 少 的 步 骤 是　 　 　 　 ; (3)请你写出此题正确的解答过程. 13. (8 分)一粥一饭当思来之不易,半丝半缕恒 念物力维艰. 开展“光盘行动”,拒绝“舌尖 上的浪费”,已经成为一种时尚. 某学校食 堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费,针对每 餐后光盘的学生奖励苹果或砂糖橘一份. 近 日,学校食堂花了 1 500 元和 1 800 元分别 采购了砂糖橘和苹果,采购的砂糖橘比苹果 多 50 千克,砂糖橘每千克的价格比苹果每 千克的价格低 40%. 求苹果每千克的价格. 14. (10 分)某工程队修建一条 1 800 米的道路, 由于施工过程中采用了新技术,所以工作效 率提高了 20%,结果提前 3 天完成任务. (1)求这个工程队原计划每天修建道路多 少米? (2)这项工程,如果要求工程队提前 6 天完 成任务,那么实际的工作效率比原计划增加 百分之几? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 6 页 铺路小卷 4　 零指数幂与负整数指数幂 测试范围:16. 4(教材 P17-P22) 　 测试时间:40 分钟　 测试分数:40 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 2-3 的值是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -6 B. -8 C. 1 8 D. - 1 8 2. 若(x-2)0 =1 成立,则 x 的取值范围是(　 　 ) A. x= -2 B. x= 2 C. x≠0 D. x≠2 3. [跨学科试题]“燕山雪花大如席,片片吹落 轩辕台. ”这是诗仙李白眼里的雪花. 单个 雪花的重量其实很轻,只有 0. 000 03 kg 左 右,数据 0. 000 03 用科学记数法可表示 为(　 　 ) A. 3×10- 5 B. 3×10- 4 C. 0. 3×10- 4 D. 0. 3×10- 5 4. 下列四个数中,是负数的是(　 　 ) A. ( -2 024) 0 B. -7 C. -( -4) D. ( - 1 2 ) -3 5. 据相关资料显示,目前发现的一种新型病毒 的直径约为 120 nm(1 nm = 10-9 m),120 nm = (　 　 ) A. 120×10-9 m B. 1. 20×10-9 m C. 1. 20×10-7 m D. 0. 12×10-6 m 6. [新定义]现定义一种新运算:如果 ax =N,那 么 logaN= x. 如由 23 = 8 可知 log28 = 3,由 2 -3 = 1 8 可知 log2 1 8 = - 3,那么 log2 0241 + log5 1 5 =(　 　 ) A. 2 023 B. 0 C. 1 D. -1 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. 若(a- 1 3 ) - 1 无意义,则 a- 1 = 　 　 　 　 . 8. 若 a= ( - 3 2 ) 2,b= ( -1) -1,c= (1- π 2 ) 0,则 a, b,c 的大小关系是　 　 　 　 . 9. 某种颗粒物的直径约为 0. 00…0 ìî íï ïm个0 314 米,该 数值用科学记数法表示为 3. 14×10n 米,则 m+n 的值为　 　 　 　 . 三、解答题(共 13 分) 10. (6 分)计算:(1)(2 024-π) 0 -( 1 2 ) - 2 + | 3 | +　 9 ; (2) 　 4 +(π-2) 0 - -5 +( -1) 2 024 +( 1 3 ) -2 . 11. (7 分)计算下列各式,并把结果化为只含 有正整数指数幂的形式. (1)( -3a2b-2) -3( -2a-3b4) -2; (2)( 2 3 xy) -2 ÷( 1 3 x-2). 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 7 页 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚第 17 章 铺路小卷 1　 变量与函数 测试范围:17. 1(教材 P28-P33) 　 测试时间:20 分钟　 测试分数:25 分 一、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 1. 1-6 个月的婴儿生长发育非常快,他们的体 重 y(g)与月份 t(月)之间的关系可以表示 为 y = a+ 700t(其中 a 是婴儿出生时的体 重),其中变量和常量分别是(　 　 ) A. 变量是 y,t,常量是 a,700 B. 变量是 y,a,常量是 t,700 C. 变量是 a,t,常量是 y,700 D. 变量是 y,t,a,常量是 700 2. 下列式子中, 能 表 示 y 是 x 的 函 数 的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y= ±x B. | y | = x C. y2 = x D. y= x2 3. 函数 y= 　 x x-1 的自变量 x 的取值范围是(　 　 ) A. x≥0 B. x≠1 C. x≥0 且 x≠1 D. x>1 4. 小明一家自驾车到离家 500 km 的某景点旅 游,出发前将油箱加满油. 下表记录了行驶 路程 x(km)与油箱剩余油量 y(L)之间的部 分数据,下列说法不正确的是(　 　 ) 行驶路程 x(km) 0 50 100 150 200 … 油箱剩余油量 y(L) 45 41 37 33 29 … A. 该车的油箱容量为 45 L B. 该车每行驶 100 km 耗油 8 L C. 油箱剩余油量 y( L)与行驶路程 x( km) 之间的关系式为 y= 45-8x D. 当小明一家到达景点时,油箱剩余 5 L 油 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 5. 已知函数 y= 2x -1 x+2 中,当 x=a 时的函数值为 1,则 a 的值是　 　 　 . 6. [教材 P32 练习 3 变式]洲际弹道导弹的速 度会随着时间的变化而变化. 某种型号的洲 际弹道导弹的速度 v(km / h)与时间 t(h)之 间的关系式为 v = 1 000 + 52t,则导弹发出 后,第 0. 5 h 时的速度为　 　 　 　 km / h. 三、解答题(共 7 分) 7. (7 分)行驶中的汽车,在刹车后由于惯性, 还要继续向前滑行一段距离才能停止,这 段距离称为“刹车距离”. 为了测定某种型 号 汽 车 的 刹 车 性 能 ( 车 速 不 超 过 140 km / h),对这种型号的汽车进行了测 试,测得的数据如下表: 刹车时车 速(km / h) 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离(m) 0 2. 5 5 7. 5 10 12. 5 … (1 ) 自 变 量 是 　 　 　 　 　 , 因 变 量 是 　 　 　 　 　 (用文字表示); (2)当刹车时车速为 60 km / h 时,刹车距离 是　 　 　 　 m; (3)该种型号汽车的刹车距离用 y( m) 表 示,刹车时车速用 x( km / h)表示,根据上表 反映的规律直接写出 y 与 x 之间的关系式; (不用写出自变量取值范围) (4)你能否估计一下,该种车型的汽车在车 速为 110 km / h 的行驶过程中,前面有一汽 车遇紧急情况急刹并停在距该车 31 m 的地 方,司机亦立即刹车,该汽车会不会和前车 追尾? 请你说明理由. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 8 页 铺路小卷 2　 函数的图象 测试范围:17. 2(教材 P34-P42) 　 测试时间:40 分钟　 测试分数:50 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 在平面直角坐标系中,点 P(2 023,-2 024) 所在的象限是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( -3,-2)关 于原点对称的点的坐标是(　 　 ) A. (3,-2) B. ( -3,-2) C. ( -3,2) D. (3,2) 3. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝,它源远流 长,趣味性强,成为极其广泛的棋艺活动. 如 图,若在象棋盘上建立平面直角坐标系,使 “帅 ” 位 于 点 ( - 1, - 2 ), “ 马 ” 位 于 点 (2,-2),则“兵”位于点(　 　 ) A. ( -1,1) B. ( -2,1) C. ( -3,1) D. ( -2,-1) 4. [教材 P40 习题 2 变式]如图是底部放有一 个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图,现 向水槽匀速注水,下列图象中能大致反映水 槽中水的深度( y) 与注水时间( x) 关系的 是(　 　 ) A. B. C. D. 5. [跨学科试题]硫酸钠(Na2SO4 )是一种主要 的日用化工原料,主要用于制造洗涤剂和牛 皮纸制浆工艺. 硫酸钠的溶解度 y( g)与温 度 t(℃ )之间的对应关系如图所示,则下列 说法正确的是(　 　 ) A. 当温度为 60 ℃ 时,硫酸钠的溶解度为 50 g B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为 40 ℃时,硫酸钠的溶解度最大 D. 要使硫酸钠的溶解度大于 43. 7g,温度只 能控制在 40 ℃ ~ 80 ℃ 6. 如图 1,点 P 从长方形 ABCD 的顶点 A 出 发,沿 A→D→B 以 2 cm / s 的速度匀速运动 到点 B,图 2 是点 P 运动时,△PBC 的面积 y(cm2)随时间 x( s)变化的关系图象,则 a 的值为(　 　 ) 图 1　 　 　 　 　 图 2 A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. 已知点 M(2a+3,a-2),若点 M 位于第四象 限,且到 x 轴,y 轴的距离相等,则 a 的值为 　 　 　 　 . 8. 若线段 AB∥x 轴且 AB = 3,点 A 的坐标为 (2,1),则点 B 的坐标为　 　 　 　 . 9. 某图书出租店图书的租金 y(元)与出租的 天数 x(天)之间的函数图象如图所示,结合 图象计算可知:两天后每过一天租金增加 　 　 　 　 元. 第 9 题图 　 　 第 10 题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 9 页 10. 甲、乙两车分别从 A、B 两地相向匀速行 驶,当乙到达 A 地后,继续保持原速向远离 B 的方向行驶,而甲到达 B 地后立即掉头, 并保持原速与乙车同向行驶,经过一段时 间后,两车同时到达 C 地,设两车的行驶 时间为 x 小时,两车之间的距离为 y 千米, y 与 x 之间的函数关系如图所示,则两车 出发　 　 　 小时后相距 30 千米. 三、解答题(共 20 分) 11. (8 分)为了体验大学校园文化,小华周末 骑电动车从家出发去西安交大,当他骑了 一段路时,想起要帮在交大读书的张浩买 一本书,于是原路返回到刚经过的书店,买 到书后继续前往交大,如图是他离家的距 离与时间的关系示意图,请根据图中提供 的信息解答下列问题: (1)小华家离西安交大的距离是 　 　 　 米,书店离家　 　 　 米; (2)小华在书店停留了　 　 　 　 分钟; (3)本次去西安交大途中,小华一共行驶 了多少米? 其中小华买到书后从书店前往 西安交大的速度为多少? 12. (12 分)小朋在学习过程中遇到一个函数 y= 1 2 x3 . 下面是小朋对其探究的过程,请补 充完整: (1)观察这个函数的关系式可知,自变量 x 的取值范围是　 　 　 　 ,函数值 y 的取值 范围是　 　 　 　 ; (2)进一步研究,y 与 x 的几组对应值如下 表,请将表格补充完整: x … -2 - 3 2 -1 0 1 3 2 2 … y … 0 … (3)如图,在平面直角坐标中描点并画出 此函数的图象. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 10 页 铺路小卷 3　 一次函数 测试范围:17. 3(教材 P43-P53) 　 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 以下 y 关于 x 的函数中,是正比例函数的 为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. y= x2 B. y= 2 x C. y= x 2 D. y= x +1 2 2. 关于一次函数 y = -2x+4,下列说法不正确 的是(　 　 ) A. 图象不经过第三象限 B. y 随着 x 的增大而减小 C. 图象与 x 轴交于( -2,0) D. 图象与 y 轴交于(0,4) 3. 将直线 y= 3x 向下平移 2 个单位长度,所得 直线的关系式为(　 　 ) A. y= 3x+2 B. y= 3(x+2) C. y= 3(x-2) D. y= 3x-2 4. 已知一次函数 y = kx+b 的图象如图所示,则 k,b 的取值范围是(　 　 ) A. k>0,b>0 B. k>0,b<0 C. k<0,b>0 D. k<0,b<0 5. 已知点( -3,y1),(1,y2),( -1,y3 )都在直线 y = 3x - b 上, 则 y1, y2, y3 的 大 小 关 系 为(　 　 ) A. y1 <y2 <y3 B. y1 <y3 <y2 C. y2 <y3 <y1 D. y3 <y1 <y2 6. 已知一次函数的图象过点 ( 2, 0 ) 和点 (1,-1),则这个函数的解析式为(　 　 ) A. y= x-2 B. y= x+2 C. y= -x-2 D. y= -x+2 7. [教材 P44 问题 2 变式]如图,一个弹簧不 挂重物时长 12 cm,挂上重物后,在弹性限 度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成 正比,弹簧总长 y(单位:cm)关于所挂物体 质量 x(单位:kg)的函数图象如图所示,则 图中 a 的值是(　 　 ) A. 22 B. 24 C. 26 D. 28 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 8. 已知函数 y= (m+1)x2- m +4 是 y 关于 x 的 一次函数,则 m 的值是　 　 　 　 . 9. 一次函数 y= kx+b 的图象与正比例函数 y = 2x 的图象平行且经过点 A(2,-4),则 kb = 　 　 　 　 . 10. 如图,△ABC 的顶点坐标分别是 A(1,1),B (4,1),C(1,3),直线 y= x+b 与△ABC 有交 点时,b 的取值范围是　 　 　 　 　 　 　 　 . 11. (扬州期中)如图,杆秤是利用杠杆原理来 称物品质量的简易衡器,其秤砣到秤纽的 水平距离 y cm 与所挂物重 x kg 之间满足 一次函数关系. 若不挂重物时秤砣到秤纽 的水平距离为 2. 5 cm,挂 1 kg 物体时秤砣 到秤纽的水平距离为 8 cm. 则当秤砣到秤 纽的水平距离为 30 cm 时,秤钩所挂物重 为　 　 　 　 kg. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 11 页 12. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1:y = -2x+3 与 x 轴交于点 A,直线 l2:y = kx(k <0)交直线 l1 于点 B,若△AOB 的面积是 9 4 ,则 k 的值为　 　 　 　 . 三、解答题(共 19 分) 13. (8 分)已知函数 y= (2m+1)x+m-3. (1)若函数图象经过原点,求 m 的值; (2)若这个函数是一次函数,且 y 随着 x 的 增大而减小,求 m 的取值范围; (3)若这个函数是一次函数,且图象不经 过第四象限,求 m 的取值范围. 14. (11 分)如图 1,在平面直角坐标系中,直 线 l1:y= kx+b 与 x 轴交于点 A( -6,0),与 直线 l2:y = -2x 交于点 C(a,4),点 E 为 x 轴上一个动点. (1)求直线 l1 的关系式; (2)如图 2,若点 E 的坐标为(2,0),过点 E 作 x 轴的垂线,分别交直线 l1、l2 于点 F、 G,求△CFG 的面积. 图 1 　 图 2 　 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 12 页 铺路小卷 4　 反比例函数 测试范围:17. 4(教材 P54-P59) 　 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列函数中,y 是 x 的反比例函数的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y= 5 x B. y= 5 x2 C. y= x 2 D. y= - 2 x+1 2. 反比例函数 y = k x ( k≠0) 的图象经过点 A(2,-4),则当 x= -2 时,y 的值为(　 　 ) A. -4 B. - 1 4 C. 1 4 D. 4 3. [跨学科试题]当压力不变时,木板对地面的 压强 p(Pa)与木板面积 S(m2)的函数关系图 象如图所示,那么该函数关系式为(　 　 ) A. p= 300 S B. p= 600 S C. p= 300S D. p= 600S 4. 若点 A(x1,-1),B(x2,5),C( x3,7)都在反 比例函数 y= - 3 x 的图象上,则 x1,x2,x3 的大 小关系为(　 　 ) A. x3 <x2 <x1 B. x2 <x1 <x3 C. x1 <x3 <x2 D. x2 <x3 <x1 5. 若 ab<0,则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= b x 在同一直角坐标系中的图象大致可能 是(　 　 ) A. B. C. D. 6. 如图,直线 l⊥x 轴于点 P,且与反比例函数 y1 = k1 x (x>0)及 y2 = k2 x ( x>0)的图象分别交 于点 A,B,连接 OA,OB,已知 k1 -k2 的值为 8,则△OAB 的面积为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. -4 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 7. [结论开放性试题]请写出一个图象经过第 二、 四 象 限 的 反 比 例 函 数 表 达 式　 　 　 　 　 　 　 　 . 8. 若反比例函数 y = 2 -k x 的图象位于第一、第 三象限,则 k 的取值范围是　 　 　 　 . 9. 在反比例函数 y= k x (k≠0)的图象的每一支 上,y 都随 x 的增大而减小,且整式 x2 -kx+9 = 0 是一个完全平方式,则该反比例函数的 解析式为　 　 　 　 . 10. 如图,点 A 在反比例函数 y= - 4 x 的图象上, 点 B 在反比例函数 y = 2 x 的图象上,AB∥x 轴,则△OAB 的面积是 　 　 　 　 . 11. [新定义]党的二十大报告指出:“高质量 发展”是全面建设社会主义现代化的首要 任务. 在数学中,我们不妨设:在平面直角 坐标系内,如果点(m,n) 的坐标满足 n = m2,那么称点(m,n) 为“高质量发展点” . 若点 A(a,9)是反比例函数 y= k x (k≠0)的 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 13 页 图象上的“高质量发展点”,则该反比例函 数的解析式为 　 　 　 　 . 12. [跨学科试题]伟大的古希腊哲学家、数学 家、物理学家阿基米德有句名言:“给我一 个支点,我可以撬动地球!”这句名言道出 了“杠杆平衡原理”的意义和价值. “杠杆 平衡原理” 在实际生产和生活中,有着广 泛的运用. 比如:小明用撬棍撬动一块大石 头,运用的就是“杠杆平衡原理”. 已知阻 力 F1( N) 和阻力臂 l1 ( m) 的函数图象如 图,若小明想使动力 F2 不超过 200 N,则 动力臂 l2 至少需要　 　 　 　 m. (杠杆平衡 原理:动力×动力臂=阻力×阻力臂) 三、解答题(共 19 分) 13. (9 分)已知反比例函数 y= - 6 x 的图象经过 点 A(2,m) . (1)求 m 的值; (2)当 x≤1 且 x≠0 时,直接写出 y 的取值 范围. 14. (10 分)如图,Rt△ABC 的两条直角边 AC, BC 分别与 x 轴,y 轴平行,点 A(5,2),点 B (1,5),直角顶点 C 在反比例函数 y = k x (x >0)的图象上. (1)求反比例函数的表达式; (2)过点 B 作 BD⊥y 轴于点 D,交双曲线 y = k x (x> 0)于点 E,F 是 x 轴上一动点,连 结 FE,FC,设 m = FE-FC,当 m 取最大值 时,求点 F 的坐标. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 14 页 铺路小卷 5　 实践与探索 测试范围:17. 5(教材 P59-P64) 　 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:50 分 一、选择题(每小题 3 分,共 12 分) 1. 已知一次函数 y = ax+b(a,b 为常数),x 与 y 的部分对应值如下表: x -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 那么关于 x 的方程 ax+b=0 的解是 x=(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 B. 1 C. 2 D. -2 2. 如图,直线 l1:y = x+2 与直线 l2:y = kx+b 相 交于点 P (m, 4),则方程组 y= x+2 y= kx+b{ 的解 是(　 　 ) A. x= 2 y= 0{ B. x= 1 y= 4{ C. x= 4 y= 2{ D. x= 2 y= 4{ 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,函数 y= 2x 和 y = ax+4 的图象相交于 点 A(m,3),则不等式 2x≥ax + 4 的解集 为(　 　 ) A. x≤3 B. x≥3 C. x≤ 3 2 D. x≥ 3 2 4. 某移动通讯公司有 两种移动电话计费 方式,这两种计费 方式中月使用费 y (元)与主叫时间 x (分)的对应关系如图所示(主叫时间不到 1 分钟,按 1 分钟收费) . 下列三个判断中正 确的是(　 　 ) ①方式一每月主叫时间为 300 分钟时,月使 用费用为 88 元 ②每月主叫时间为 300 分钟和 600 分钟时, 两种方式收费相同 ③每月主叫时间超过 600 分钟,选择方式二 更省钱 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 5. [结论开放性试题]已知两条直线的交点坐 标(2,3) 可以看作两个二元一次方程的公 共解,其中一个方程是 x-y = - 1,则另一个 方程是　 　 　 　 . 6. 如图,直线 y = ax+b 过点 (0,- 2) 和点( - 3,0),则 关于 x 的方程 ax+b+1 = 0 的解是　 　 　 　 . 7. 已知一次函数 y = ax+b 的图象经过第一、 二、四象限,且与 x 轴交于点(2,0),则关于 x 的 不 等 式 a ( x - 1 ) + b > 0 的 解 集 为　 　 　 　 . 三、解答题(共 29 分) 8. (9 分)[教材 P64 习题 7 变式]校园文具店 销售甲、乙两种品牌考试专用文具包. 已知 甲品牌文具包每个 6 元;乙品牌文具包每个 8 元, 一次购买 10 个以上, 超出部分打 5 折. (1)设购买两种文具包各 x 个,甲品牌文具 包所需费用为 y1 元,乙品牌文具包所需费 用为 y2 元,直接写出 y1、y2 关于 x 的函数关 系式(温馨提示:结果化为最简形式,其中 y2 应按购买数量是否超过 10 个分两种情况 列出); (2)后勤处为毕业班同学购买考试专用文 具包,讨论购买哪种品牌文具包更省钱? (3)试在如图直角坐标系中画出题(1)中两 个函数的图象,并根据图象解释(2)中讨论 的结果. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 15 页 9. (10 分)某学校的学生专用智能饮水机(图 ①) 在工作过程中先进水加满,再加热至 100 ℃时自动停止加热,进入冷却期,水温 降至 25 ℃ 时自动加热,水温升至 100 ℃ 时 又自动停止加热,进入冷却期……在不重新 加入水的情况下, 一直如此循环工作, 图②表示从加热阶段的某一时刻开始计时, 时间 x(分)与对应的水温 y(℃ )的函数关 系图象,已知 AB 段为线段,BC 段为双曲线 的一部分,且 A( 0,28),B( 9,100),C( a, 25) . (1)求出 AB 段所在直线的 y 与 x 的函数关 系式和 a 的值; (2)若水温 y(℃ )在 45≤y≤100 时为不适 饮水温度,在 0≤x≤a 内,在不重新加入水 的情况下,不适饮水温度的持续时间为多 少分? ① 　 ② 10. (10 分)如图,已知一次函数 y = kx+b 与反 比例函数 y = c x 的图象交于点 A( 3,m)、 B(n,-3),Rt△AOC 的面积等于 3. (1)求一次函数的解析式; (2)直接写出不等式 kx+b> c x 的解集; (3)点 P 是一次函数 y = kx+b 图象上的动 点,若 CP 把△ABC 分成面积比等于 2 ∶3的 两部分,求点 P 的坐标. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 16 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 1 一次函数与反比例函数的综合 ———教材 P64 习题 5 变式 变式角度 1　 一次函数变为正比例函数 1. 如图,正比例函数 y= 2x 与反比例函数 y= k x (k≠0)的图象交于 A,B 两点,点 A 的横坐标 为 2. (1)求这个反比例函数的表达式; (2)若点 P 在反比例函数图象上,且在直线 AB 的下方(不与点 A,B 重合),求点 P 横坐 标的取值范围. 变式角度 2　 正比例函数平移变成一次函数 2. (遵义一模)如图,在直角坐标系中,直线 y = - 1 3 x 与反比例函数 y = k x 的图象交于 A (m,1)、B 两点. (1)求反比例函数的表达式; (2)根据图象写出- 1 3 x< k x 的解集　 　 　 ; (3)将直线 y= - 1 3 x 向上平移后与 y 轴交于 点 C,与双曲线在第二象限内的部分交于点 D,如果△ABD 的面积为 12,求平移后的直 线表达式. 变式角度 3　 函数图象围成封闭区域的整点 问题 3. 如图,A,B 两点在函数 y1 = m x ( x> 0) 的图 象上. (1) 求 m 的值及直线 AB 的表达式 y2 = kx +b; (2)当 kx+b≥m x 时,自变量 x 的取值范围是 　 　 　 ; (3)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那 么我们称这个点为格点,请直接写出图中阴 影部分(不包括边界)所含格点的坐标. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 17 页 变式角度 4　 考查路径最短问题 4. 如图,一次函数 y = k1x+b 的图象与反比例 函数 y = k2 x ( x < 0 ) 的 图 象 相 交 于 点 A( -1,2)、点 B( -4,n) . (1)求此一次函数和反比例函数的表达式; (2)求△AOB 的面积: (3)在 x 轴上存在一点 P,使 PA+PB 的值最 小,求点 P 的坐标. 针对训练 5. 如图,直线 y= kx+b 与双曲线 y= m x (x<0)相 交于 A ( - 3, 1), B 两点, 与 x 轴相交于 点 C( -4,0) . (1) 分别求一次函数与反比例函数的解 析式; (2)连结 OA,OB,求△AOB 的面积; (3)直接写出当 x<0 时,关于 x 的不等式 kx +b<m x 的解集. 6. 已知一次函数 y = kx+b(k≠0)的图象与反 比 例 函 数 y = - 3 x 的 图 象 相 交 于 点 A( -1,m),B(n,-1) . (1)求一次函数的表达式,并在图中画出这 个一次函数的图象; (2)根据函数图象,直接写出不等式 kx+b≤ - 3 x 的解集; (3)若点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点,连接 AC,BC,求△ABC 的面积. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 18 页 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚第 18 章 铺路小卷 1　 平行四边形的性质 测试范围:18. 1(教材 P72-P80) 　 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:65 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 在▱ABCD 中,下列结论错误的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. BC∥AD B. ∠B= ∠D C. ∠C+∠D= 180° D. AC=BD 2. 在平行四边形 ABCD 中,∠A = 160°,则∠D = (　 　 ) A. 20° B. 40° C. 140° D. 160° 3. 如图,平行四边形 ABCD 中,AD = 8,AB = 6, DE 平分∠ADC 交 BC 边于点 E,则 BE 的长 为(　 　 ) A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 4. 如图,在▱ABCD 中,以点 B 为圆心,适当长 度为半径作弧,分别交 AB、BC 于点 F、G,再 分别以点 F、G 为圆心,大于 1 2 FG 长为半径 作弧,两弧交于点 H,作射线 BH 交 AD 于点 E,连结 CE. 若 CE⊥DE,AE = 10,DE = 6,则 ▱ABCD 的面积为(　 　 ) A. 64 B. 132 C. 128 D. 60 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. [教材 P79 练习 3 变式]如图,▱ABCD 的对 角线 AC、BD 交于点 O,▱ABCD 的周长为 30,直线 EF 过点 O,且与 AD,BC 分别交于 点 E,F,若 OE = 5,则四边形 ABFE 的周长 是(　 　 ) A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 6. [跨学科试题]阅读材料:物理学中“力的合 成”遵循平行四边形法则,即 F1 和 F2 的合 力是以这两个力为邻边构成的平行四边形 的对角线所表示的力 F,如图. 解决问题:设 两个共点力的合力为 F,现保持两力的夹角 θ(0°<θ< 90°)不变,如果其中一个力减小, 另一个力不变,则(　 　 ) A. 合力 F 一定增大 B. 合力 F 的大小可能不变 C. 合力 F 可能增大,也可能减小 D. 合力 F 一定减小 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,四边形 AOEF 是平行四边形,点 B 为 OE 的中点,延长 FO 至点 C,使 FO = 3OC, 连结 AB、AC、BC,则△ABC 中,S△ABO ∶S△AOC ∶ S△BOC = (　 　 ) A. 6 ∶2 ∶1 B. 3 ∶2 ∶1 C. 6 ∶3 ∶2 D. 4 ∶3 ∶2 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 8. 如图,E 是直线 CD 上的一点. 已知▱ABCD 的面 积 为 52 cm2, 则 △ABE 的 面 积 为 　 　 　 cm2 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 如图,AC 为平行四边形 ABCD 的对角线,AC ⊥BC,点 E 在 AB 上,连结 CE,分别延长 CE,DA 交于点 F,若 CE=EF= 4,则 CD 的长 为 　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 19 页 10. 如图,平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O, 且 AD≠CD,过点 O 作 OM⊥AC,交 AD 于 点 M,连结 CM. 如果△CDM 的周长为 12, 那 么 平 行 四 边 形 ABCD 的 周 长 是　 　 　 　 . 三、解答题(共 35 分) 11. (7 分)如图,在▱ABCD 中,E 是 BC 边上 一点,连结 AE、AC、ED. 若 AE = AB,求证: AC=DE. 12. (7 分)已知:如图,在▱ABCD 中,延长 DA 至点 E,延长 BC 至点 F,使得 AE = CF,连 结 EF,与对角线 BD 交于点 O. 求证:OE =OF. 13. (10 分)如图,四边形 ABCD 为平行四边 形,∠BAD 的平分线 AE 交 CD 于点 F,交 BC 的延长线于点 E. (1)求证:AB=BE; (2)连结 BF,若点 F 是 AE 的中点,∠BEA = 62°,求∠ABF 的度数. 14. (11 分)如图,在▱ABCD 中,BE、DG 分别 平分∠ABC、∠ADC,交 AC 于点 E,G. (1)求证:BE∥DG,BE=DG. (2)过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F. 若▱AB- CD 的周长为 24,EF= 3,求△ADC 的面积. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 20 页 铺路小卷 2　 平行四边形的判定 测试范围:18. 2(教材 P81-P91) 　 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 依 据 所 标 数 据, 一 定 为 平 行 四 边 形 的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,添加下 列一个条件后,一定能判定四边形 ABCD 是 平行四边形的是(　 　 ) A. AD=BC B. ∠A+∠D= 180° C. ∠B= ∠D D. AB=BC 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. [生活情境]为了保证铁路的两条直铺的铁 轨互相平行,只要使互相平行的夹在铁轨之 间的枕木长相等就可以了. 这其中的数学道 理是(　 　 ) A. 两组对边分别相等的四边形是平行四 边形 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四 边形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形 4. 在四边形 ABCD 中,AB=CD,BC=AD,若∠D = 120°,则∠C 的度数为(　 　 ) A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 5. 如图,在△ABC 中,AB=AC= 5,点 E,F,D 分 别在边 AC,BC,AB 上,EF∥AB,DF∥AC,则 四边形 AEFD 的周长是(　 　 ) A. 10 B. 15 C. 18 D. 20 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,AD∥BC,AD = BC,E、F 是线段 BD 上 的两点,则以下条件不能判定四边形 AECF 是平行四边形的是(　 　 ) A. BE=DF 　 　 　 　 B. ∠AEB= ∠DFC C. AF=FE 　 　 　 　 D. AE⊥BD,CF⊥BD 7. 如图,四边形 ABCD 中,AG⊥BC 交 BC 于点 G,AB=CD = 5,AG = 4,CG = 2BG,点 P 在 AC 上,E、F 分别在 AB、AD 上,且 PE∥BC,PF∥ CD,AB∥CD,连结 EF,图中阴影部分的面积 为(　 　 ) A. 24 B. 20 C. 18 D. 16 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 8. 如图,点 A、B 在直线 l 上,D 为直线 l 外一 点,连结 AD,分别以点 B、D 为圆心,AD、AB 的长为半径画弧,两弧交于点 C,连结 CD、 BC,则四边形 ABCD 是平行四边形的理由 是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. [教材 P85 练习 1 变式]如图是由边长为 2 的小等边三角形构成的“草莓”状网格,每 个小等边三角形的顶点为格点. 线段 AB 的 端点在格点上,要求以 AB 为边画一个平行 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 21 页 四边形,且另外两个顶点在格点上,则最多 可画　 　 　 　 个平行四边形. 三、解答题(共 33 分) 10. (10 分)如图,在▱ABCD 中,G 是边 CD 上 一点,BG 的延长线交 AD 的延长线于点 E, AF=CG. (1)求证:四边形 DFBG 是平行四边形; (2)若∠DGE= 105°,求∠AFD 的度数. 11. [教材 P86 例 2 变式](11 分)如图,点 E, F 是▱ABCD 对角线 AC 上的两点,且 AE = CF,连结 BE、DE、BF、DF. (1)求证:四边形 BEDF 是平行四边形; (2)若 AB⊥BF,AB= 4,BF= 3,AC= 8. ①求线段 EF 的长; ②求四边形 BEDF 的面积. 12. (12 分)已知:如图 1,在▱ABCD 中,AB = 3 cm,AD= 5 cm,AB⊥BD,△ABD 沿 BC 的 方向匀速平移得到 △A′ B′ D′, 速 度 为 1 cm / s,设运动时间为 t( s) (0<t<5),A′B′ 与 BD 相交于点 M,B′D′与 DC 相交于点 N,连结 MN. 解答下列问题: (1)判断四边形 A′B′CD 的形状,并说明 理由; (2)设四边形 A′B′CD 的面积为 y( cm2 ), 求 y 与 t 之间的函数关系式. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 22 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 2 平行四边形的性质与判定 ———教材 P95 复习题 14 变式 变式角度 1　 点 E,F 分别移到边 AD,BC 上 1. 如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,直线 EF 过点 O 且与 AD、BC 分别相交于点 E、F,连结 AF、CE. 求证:四边 形 AFCE 是平行四边形. 变式角度 2　 点 E,F 分别移到边 DA,BC 的延 长线上 2. 如图,在▱ABCD 中,连结 BD,E 是 DA 延长 线上的点,F 是 BC 延长线上的点,且 AE = CF, 连 结 EF 交 BD 于 O. 求 证: △EOD ≌△FOB. 变式角度 3　 点 E,F 分别移到对角线 BD 上 3. 如图,在▱ABCD 中,点 E,F 在对角线 BD 上,且 BF=DE. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)证明:四边形 AECF 是平行四边形. 变式角度 4　 增加设问计算线段长 4. 如图,点 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的中点,经过点 O 的直线分别交 BA 和 DC 的延长线于点 E 和 F,交边 AD 和 BC 于 点 G、H. (1)求证:AE=CF; (2)若 OE= 5,HF= 2,求 OG 的长. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 23 页 针对训练 5. 如图,平行四边形 ABCD 中,AB>AD,∠ABC 为锐角,点 O 是对角线 BD 的中点. 某数学 学习小组要在 BD 上找两点 E、F,使四边形 AECF 为平行四边形,现总结出如下甲、乙、 丙三种方案,其中正确的方案是　 　 　 　 . 甲: 分 别 取 DO、 BO 的 中 点 E、F 乙: 作 AE、 CF 分 别 平 分 ∠DAB、∠BCD 丙: 分 别 作 AE、 CF 垂 直 BD 于点 E、F 6. 如图,将▱ABCD 的对角线 AC 向两个方向 延长,分别至点 E 和点 F,AE =CF. 求证:四 边形 DEBF 是平行四边形. 7. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,∠BAD 的平分线交 BD 于点 E,∠BCD 的平分线交 BD 于点 F. 求证:四边形 AECF 是平行四 边形. 8. 如图,在四边形 ABCD 中,DE⊥AC,BF⊥ AC,垂足分别为点 E,F. (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线), 使得四边形 DEBF 为平行四边形,你添加的 条件是　 　 　 　 . (2)添加了条件后,请证明四边形 DEBF 为 平行四边形. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 24 页 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚第 19 章 铺路小卷 1　 矩形 测试范围:19. 1(教材 P98-P107) 　 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 下列测量方案能判定四边形台面为矩形的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 测量得出对角线相等 B. 测量得出对角线互相平分 C. 测量得出两组对边分别相等 D. 测量得出对角线交点到四个顶点的距离 相等 2. 如图, 矩形 ABCD 中, DE ⊥ AC 于 E, 且 ∠ADE ∶ ∠EDC = 3 ∶ 2, 则 ∠BDE 的度数 为(　 　 ) A. 36° B. 9° C. 27° D. 18° 3. 如图,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,OA = 2,若要使平行四边形 AB- CD 为矩形,则 BD 的长应该为(　 　 ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图,矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,过点 O 作 EF 分别交 AB,CD 于点 E,点 F,若 AB= 6,BC= 8,则图中阴影部分的面积 为(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 5. 如图,在矩形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O, AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E,若∠CAE = 15°,OA= 6,则 BE 的长为(　 　 ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 点 O,过点 O 作 OE⊥AC 交 AD 于点 E,若 AB= 6,BC= 8,则 AE 的长为(　 　 ) A. 25 3 B. 6 C. 25 4 D. 5 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = 6, AC= 8,P 为边 BC 上一动点,PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F,M 为 EF 的中点,则 AM 的最小值是(　 　 ) A. 8 3 B. 12 5 C. 9 4 D. 13 6 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 8. 如图,线段 BC 为等腰△ABC 的底边,矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O,若 OD = 1,则 AC= 　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后,点 D,C 分别落在点 D1,C1 的位置,ED1 的延长 线交 BC 于点 G,若∠EFG = 62°,则∠EGB 等于　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 25 页 10. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC 边上, DF⊥AE 于 F,若 EF = CE = 1,AB = 3,则线 段 AF 的长是　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,AB= 6,BC= 8,过点 O 作 OE⊥AC,交 AD 于点 E,过点 E 作 EF⊥BD,垂足为 F,则 OE+EF 的值为　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(共 22 分) 12. (7 分)(西安月考)如图,在矩形 ABCD 中, AB = 6, BC = 8, AC 与 BD 交于点 O. 求 △BOC 与△DOC 的周长差. 13. (7 分)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AO=CO,BO=DO, 且∠COD= 2∠OBC. (1)求证:四边形 ABCD 是矩形; (2) 已知△BCD 的面积为 4,点 E 在 OD 上,若 OD= 4OE,求△ADE 的面积. 14. (8 分)如图,将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针 方向旋转得到矩形 AEFG,使点 G 落在 BC 边上. (1)连结 DG,求证:GD 平分∠AGC; (2)连结 DE 交 AG 于点 H,求证:H 为 DE 中点. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 26 页 铺路小卷 2　 菱形 测试范围:19. 2(教材 P110-P119) 　 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 对边平行 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 2. (深圳中考)如图,在平行四边形 ABCD 中, AB= 4,BC = 6,将线段 AB 水平向右平移 a 个单位长度得到线段 EF,若四边形 ECDF 为菱形时,则 a 的值为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 2 题图 　 第 3 题图 　 第 4 题图 3. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC = 6 cm, BD= 8 cm,则菱形 ABCD 的周长为(　 　 ) A. 10 cm B. 20 cm C. 12 cm D. 24 cm 4. 如图, AC 为菱形 ABCD 的对角线, 已知 ∠ADC= 140°,则∠BCA 等于(　 　 ) A. 40° B. 30° C. 20° D. 15° 5. 如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,DH⊥BC 于点 H. 若 AC= 8, BD= 6,则 DH 的长度为(　 　 ) A. 48 5 B. 36 5 C. 24 5 D. 4 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,菱形 ABCD 的边长为 5,对角线 AC 的 长为 8,延长 AB 至 E,BF 平分∠CBE,点 G 是 BF 上任意一点,则△ACG 的面积为(　 　 ) A. 6 B. 12 C. 20 D. 24 7. 如图,在▱ABCD 中,以 A 为圆心,AB 长为 半径画弧交 AD 于 F,分别以点 F,B 为圆 心,大于 1 2 BF 长为半径作弧,两弧交于点 G,作射线 AG 交 BC 于点 E,若 BF = 6,AB = 5,则 AE 的长为(　 　 ) A. 4　 　 　 B. 6　 　 　 C. 8　 　 　 D. 10 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交 于点 O,延长 CB 至 E 使 BE =CD,连结 AE, 下列结论:①AE= 2OD;②∠EAC = 90°;③四 边形 ADBE 为菱形;④S四边形 AEBO = 3 4 S菱形 ABCD 中,正确的结论个数有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 9. 如图,两条笔直的公路 l1、l2 相交于点 O,村 庄 C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A, B,D. 已知 AB =BC =CD =DA = 5 km,村庄 C 到公路 l1 的距离为 4 km,则村庄 C 到公路 l2 的距离是　 　 　 km. 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 如图,用七支长度相同的铅笔,排成一个菱 形 ABCD 和一个等边△DEF,使得点 E,F 分别在 AB 和 BC 上, 那么 ∠B 的度数 为　 　 　 　 . 11. [传统文化] “中国结”象征着中华民族的 历史文化与精神,小贤家有一中国结挂饰, 他想求两对边的距离,利用所学知识抽象 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 27 页 出如 图 所 示 的 菱 形 ABCD, 测 得 BD = 24 cm,AC= 32 cm,直线 EF⊥AB 交两对边 于点 E,F,则 EF 的长为　 　 　 cm. 　 第 11 题图 　 　 第 12 题图 12. 如图,菱形 ABCD 的周长为 40,面积为 80, P 是对角线 BD 上一点,分别作 P 点到直 线 AB、AD 的垂线段 PE、PF,则 PE+PF 的 值为　 　 　 　 . 三、解答题(共 24 分) 13. (8 分)如图,菱形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 CD 上,且∠DAE = ∠BAF. 求 证:AE=AF. 14. (8 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC,BD,DB 分别平分∠ABC, ∠ADC, AC 与 BD 相交于点 O. 求证:四边形 ABCD 是菱形. 以下是某同学的证明过程: 证明:∵ ∠ABC = ∠ADC,BD,DB 分别平分 ∠ABC 与∠ADC, ∴ ∠ADB= ∠CBD= ∠ABD= ∠CDB,① ∴ AD∥BC,AB∥DC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,② ∴ OA=OC, 又∵ ∠ABD= ∠CBD,OB=OB, ∴ △ABO≌△CBO,③ ∴ AB=CB, ∴ 四边形 ABCD 是菱形. ④ (1)上面的证明过程从第　 　 　 　 步开始 出现了错误,错误的理由是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)请你写出正确的证明过程. 15. (8 分)如图,△ABC 中,∠ACB= 90°,EF 垂 直平分 BC,垂足为 D,交 AB 于点 F,CE∥ AB,连结 BE、CF. (1)求证:四边形 CFBE 是菱形; (2)若 AB= 10,BC= 8,求 DF 的长. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 28 页 铺路小卷 3　 正方形 测试范围:19. 3(教材 P119-P122) 　 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 菱形没有而正方形具有的性质是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 对角线相等 B. 邻边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 2. 如图,正方形 ABCD 中,延长 AB 至 E,使 AE =AC,连结 CE,则∠BCE= (　 　 ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 22. 5° 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于 点 O,添加下列一个条件,能使矩形 ABCD 成为正方形的是(　 　 ) A. BD=AB B. DC=AD C. ∠AOB= 60° D. OD=CD 4. 如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 的长为 4,则正方形 ABCD 的面积为(　 　 ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,正方形 ABCD 和矩形 AEFG 周长相 等,边 EF、BC 相交于点 H,连结 DH、DF,若 S矩形EDCH = 8S△HDF,则 AE AB = (　 　 ) A. 2 3 B. 7 10 C. 3 4 D. 4 5 6. 如图所示,点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,PE⊥CD,PF⊥BC,垂足分别是 E、F. 若 CF= 6,CE= 8,则 AP 的长是(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,在正方形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC,BD 的交点,过点 O 作射线 OM,ON 分 别交 BC,CD 于点 E,F,且∠EOF = 90°,OC 与 EF 交于点 G. 下列结论中: ① △OEF 是等腰直角三角形; ② 四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的 1 4 ;③ OC=EF;④DF2 +CF2 =EF2 . 正确的有(　 　 ) A. ①③④ B. ②③ C. ①②③④ D. ①②④ 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 8. 如图,正方形 ABCD 的边长为 8,E 为 BC 上 一定点,BE = 6,F 为 AB 上一动点,把△BEF 沿 EF 折叠,点 B 落在点 B′处,当△AFB′恰好 为直角三角形时,BF 的长为　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,∠ABC= 90°,四边形 ACDE 是正方形, 若 AB = 1, BC = 2, 则 △BCE 的 面 积 等 于　 　 　 　 . 三、解答题(共 33 分) 10. (11 分) 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 在对角线 BD 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 29 页 上,且 BE = DF, AE ⊥ AF. 求证: 四边形 AECF 是正方形. 11. (11 分)已知:如图,在正方形 ABCD 中,E, F 分别是 BC,CD 上的点,AE、BF 相交于点 P,并且 AE=BF. (1)如图 1,判断 AE 和 BF 的位置关系并 说明理由; (2)若 AB= 8,BE= 6,求 BP 的长度; (3)如图 2,FM⊥DN,DN⊥AE,点 F 在线 段 CD 上运动时(点 F 不与 C、D 重合),四 边形 FMNP 能否成为正方形? 请说明 理由. 图 1 　 　 图 2 12. (11 分) (1)对于试题“如图①,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、DC 上的点,且 ∠EAF= 45°,连结 EF,探究 BE、DF、EF 之 间的数量关系”,数学王老师给出了如下 的思路: 延长 CB 到 M,使得 BM = DF,连结 AM, ……,利用三角形全等的判定及性质解 答,…… 请根据数学王老师的思路探究 BE、DF、EF 之间的数量关系,并说明理由; (2)如图②,在四边形 ABCD 中,AB = AD, ∠B+∠D= 180°,E、F 分 别是 BC、DC 上的 点,且∠EAF= 1 2 ∠BAD,此时(1)中的结论 是否仍然成立? 请说明理由. 图① 　 　 图② 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·HS·数学　 第 30 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《铺路帮手》答案 􀥚􀥚􀥚 􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚第 16 章 　 铺路小卷 1　 分式及其基本性质 1. B　 【解析】分式有 6 x , m+n m ,共 2 个. 故选 B. 2. A　 【解析】∵ 分式 x+3 x+7 有意义,∴ x+ 7≠0,解得 x≠ -7. 故选 A. 3. C　 【解析】A. 2m 10mn = 1 5n ,故 A 不合题意;B. m2 -n2 m+n = (m+n)(m-n) m+n =m-n,故 B 不合题意;C. m2 +n2 m+n 不能化 简,故 C 符合题意;D. 2a a2 = 2 a ,故 D 不合题意,故选 C. 4. C　 【解析】A. x6 x2 = x4;B. x+y x+y = 1;D. 2xy2 4x2y = y 2x . 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】约分前,应先将分子、分母中能够分解因 式的部分进行因式分解. 有些需要先提取公因式,而 有些则需要运用公式法进行因式分解. 5. B　 【解析】由题意得 x2 -16 = 0,x+4≠0,则 x= 4. 故选 B. 6. D　 【解析】 9·5a·5b 11·5a-5b = 5·9ab 11a-b ,即分式的值扩大到 原来的 5 倍. 故选 D. 7. B　 【解析】A. 分式的分子和分母同时乘上一个不为 0 的数时,分式的值不改变,x2 可能等于 0;C. 分式的 分子和分母同时加减一个相同的数,值可能会改变; D. x2 -1 x-1 = x+1. 故选 B. 8. D　 【解析】D. 2 (x+3) 2 = 2x -4 (x-2)(x+3) 2 . 故选 D. 9. C　 【解析】依题意得:小李、小刘两人第二次相距 m (m<500)米时,两人所行驶的路程之和为(500 +m) 米. 又∵ 两人的速度之和为(x+y)米 / 秒,∴ 行驶的时 间为 500+m x+y 秒. 故选 C. 10. - 2 x (答案不唯一)　 11. 6a2b2c 12. -1,1,3 或 5　 13. m a-b 14. 解:(1) a 2b , 1 3a2 ,- 5 6abc 的最简公分母为 6a2bc,∴ a 2b = 3a3c 6a2bc , 1 3a2 = 2bc 6a2bc ,- 5 6abc = - 5a 6a2bc ; (2) b a2 -ab 与 a a2 -b2 的最简公分母为 a( a+b) (a-b), ∴ b a2 -ab = b(a +b) a(a+b)(a-b) , a a2 -b2 = a 2 a(a+b)(a-b) . 15. 解:原式 = 2(x+2y)(x-2y) (x+2y) 2 = 2(x -2y) x+2y ,当 x = 2,y = 1 5 时,原式= 2×(2-2× 1 5 ) 2+2× 1 5 = 4 3 . 16. 解: ( 1) 依题意得 3x+2 x-2 < 0, 则有 ① 3x+2<0x-2>0{ 或 ② 3x+2>0 x-2<0{ ,解不等式组①得不等式组无解,解不等式 组②得- 2 3 <x<2,故- 2 3 <x<2. ∴ 当- 2 3 <x<2 时,分 式 3x+2 x-2 的值为负; (2)依题意得 x-3 x3 -2x2 +x < 0,∴ x-3 x3 -2x2 +x = x -3 x(x-1) 2 < 0,则有① x-3<0 x>0 x-1≠0{ 或② x-3>0 x<0 x-1≠0{ ,解不等式组①得 0 <x<3 且 x≠1,解不等式组②得不等式组无解,故 0< x<3 且 x≠1. ∴ 当 0<x<3 且 x≠1 时,分式 x-3 x3 -2x2 +x 的值为负. 17. 解:(1)①③④ (2) x2 +6x-3 x-1 = x 2 +6x-7+4 x-1 = (x -1)(x+7) +4 x-1 = x+ 7 + 4 x-1 . 铺路小卷 2　 分式的运算 1. B　 【解析】原式= a-1+1 a = a a = 1. 故选 B. 2. A　 【解析】原式= x a+1 · (a+1)(a-1) 2x = a -1 2 . 故选 A. 3. C　 4. B　 【解析】B= 1 3-x + 1 3+x = 1 x+3 - 1 x-3 = (x -3)-(x+3) (x-3)(x+3) = -6 (x-3)(x+3) ,而 A= 6 (x-3)(x+3) ,∴ A= -B. 故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　【归纳总结】比较实数大小的方法:①差值比较法:a-b >0→a>b;a-b<0→a<b;a-b= 0→a = b. ②平方、立方比 较法:a>b(a>0,b>0)→a2 >b2( a>0,b>0);a>b→a3 > b3 . ③倒数比较法:若 1 a > 1 b ,ab>0,则 a<b. ④求商比 较法: b a >1,若 b>0,则 a<b;若 b<0,则 a>b. 5. C　 【解析】原式= a-b b · 2b (a+b)(a-b) = 2 a+b ,当 a+b = 2 时,原式= 2 2 = 1. 故选 C. 6. D　 【解析】原式 = m(m-2) m-1 · -(m-1) m2 = -m -2 m ,∵ m, n 是两个连续的整数,且 m+n= -1,∴ m= -1,n = 0,则 原式= - -1-2 -1 = -3. 故选 D. 7. A　 【解析】当 x = -a 和 x = 1 a (a≠0)时, (-a) 2 -1 (-a) 2 +1 + 1 a( ) 2 -1 1 a( ) 2 +1 = a 2 -1 a2 +1 + 1 a2 -1 1 a2 +1 = a 2 -1 a2 +1 + 1 -a2 1+a2 = 0,当 x = 0 时, x2 -1 x2 +1 = -1,则所得结果相加的和为-1. 故选 A. 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 26 页 8. 9b2c2 4a4 9. fu u-f 　 【解析】∵ 1 f = 1 u + 1 v ,∴ 1 v = 1 f - 1 u = u -f fu ,∴ v = fu u-f . 10. m+2 m+1 　 【解析】(m+1)∗ 1 m+2 = 1 m+1 ·(m+2)= m+2 m+1 . 11. 解: ( 1 ) 原 式 = x (x-1)(x+1) - x -1 (x-1)(x+1) = 1 (x-1)(x+1) ; (2)原式= x+2 x+1 · x(x+1) x = x+2; (3) 原式 = (x+2)(x-2) (x-2) 2 · 2(x-2) x(x+2) - 1 x = x +2 x-2 · 2(x-2) x(x+2) - 1 x = 1 x . 12. 解: ( 1 ) 原 式 = ( 5 x-2 - x 2 -4 x-2 ) ÷ (x-3) 2 x-2 + x x-3 = -(x +3)(x-3) x-2 · x-2 (x-3) 2 + x x-3 = -x +3 x-3 + x x-3 = - 3 x-3 , ∵ x-2≠0,x-3≠0,∴ x≠2 且 x≠3,∴ 当 x= 1 时,则 原式= - 3 1-3 = 3 2 (答案不唯一); (2)原式= x-3+2 x-3 · (x-3) 2 (x+1)(x-1) = x -3 x+1 ,解不等式组 得-2<x<4. 要使原式有意义,x 可取 0 或 2. 当 x = 0 时,原式= -3. (答案不唯一) 13. 解: ( 1 ) 根 据 题 意 得 50 (x-1) 2 - 50 x2 -1 = 50(x+1) -50(x-1) (x-1) 2(x+1) = 100 (x-1) 2(x+1) > 0,则乙筐水 果价格低; (2 ) 根 据 题 意 得 50 (x-1) 2 ÷ 50 x2 -1 = 50 (x-1) 2 · (x-1)(x+1) 50 = x +1 x-1 . 14. 解:∵ M x+2 - N x-2 = x -8 x2 -4 ,∴ M(x-2) -N(x+2) (x+2)(x-2) = x -8 x2 -4 , 则 (M-N)x-2M-2N x2 -4 = x -8 x2 -4 ,故 M-N= 1-2M-2N= -8{ ,解得 M= 2. 5 N= 1. 5{ . 铺路小卷 3　 可化为一元一次方程的分式方程 1. D　 2. D 3. C　 【解析】∵ 方程 3 x = m x-3 的解为 x = 6,∴ 将 x = 6 代 入 3 x = m x-3 得 3 6 = m 6-3 ,解得 m= 3 2 . 故选 C. 4. C　 【解析】方程两边同乘以( x-2),得 2x+a = -( x- 2),解得 x= 2-a 3 ,∵ 关于 x 的方程 2x+a x-2 = -1 的解是正 数,∴ 2-a 3 >0 且 2-a 3 ≠2,∴ a<2 且 a≠-4. 故选 C. 5. D　 【解析】分式方程两边同乘以( x-1),得 7-mx = -3(x-1),解得 x = 4 m-3 ,∵ 该方程无解,∴ x = 4 m-3 是 增根或 m-3 = 0,∴ x-1 = 0 或 m= 3,即 4 m-3 = 1,解得 m = 7,综上,m 的值为 3 或 7. 故选 D. 6. C　 【解析】根据新定义可得 1+3x-4 2·3x = x +1 2x-1 ,解得 x = 1 5 ,经检验,x= 1 5 是原方程的解. 故选 C. 7. 7 8. 20　 【解析】设从北京到延庆乘高铁所需时间约为 x 分钟,由题意得 60 x = 60 x+40 ×3,解得 x = 20,经检验,x = 20 是原分式方程的解,所以从北京到延庆乘高铁所 需时间约为 20 分钟. 9. 3 4 　 【解析】解方程 n x = 3-n 得 x= n 3-n . ∵ 关于 x 的分 式方程 n x = 3-n 是一个和解方程,∴ n 3-n = 1 n+(3-n) , 解得 n= 3 4 ,经检验 n= 3 4 是方程 n 3-n = 1 n+(3-n) 的解. 10. 解:(1)方程两边同乘以(x-7),约去分母,得 x-8+1 = 8(x-7) . 解这个整式方程,得 x = 7. 检验:把 x = 7 代入(x-7),得 7-7 = 0,∴ x = 7 是原方程的增根,∴ 原方程无解; (2)方程两边同乘以 x( x+1) ( x-1),约去分母,得 7(x-1) +( x+1) = 6x. 解这个整式方程,得 x = 3. 检 验:把 x= 3 代入 x(x+1)(x-1),得 3×(3+1) ×(3-1) ≠0,∴ x= 3 是原方程的解. 11. 解:(1) 方程两边同乘以( x- 3),约去分母,得 x = 2(x-3) -( -2) . 解这个整式方程,得 x= 4. 检验:把 x = 4 代入(x-3),得 4-3≠0,∴ x= 4 是原方程的解; (2)设原分式方程中“?”代表的数为 m,则有 x x-3 = 2 - m x-3 . 方程两边同乘以(x-3),约去分母,得 x = 2(x -3) -m. ∵ x= 3 是原分式方程的增根,∴ 把 x = 3 代 入上面的等式,得 m= -3,∴ 原分式方程中“?”代表 的数是-3. 12. 解:(1)一　 2x+2-(x-3)= 6x　 等式的性质 (2)检验 (3)方程两边同乘以(2x+2),约去分母,得 2x+2-(x -3)= 6x. 解这个整式方程,得 x= 1. 检验:把 x = 1 代 入(2x+2),得 2×1+2≠0,所以 x= 1 是原方程的解. 13. 解:设苹果每千克的价格为 x 元,则砂糖橘每千克的 价格为(1-40%) x 元,依题意得 1500 (1-40%)x -1800 x = 50,解得 x= 14,经检验,x = 14 是原方程的解,且符 合题意. 答:苹果每千克的价格为 14 元. 14. 解:(1)设这个工程队原计划每天修建道路 x 米,由 题意得 1800 x - 1800 (1+20%)x = 3,解得 x = 100,经检验,x = 100 是原方程的解,且符合题意. 答:这个工程队 原计划每天修建道路 100 米. (2)设这个工程队实际每天修道路 y 米,由题意得 1800 100 -1800 y = 6,解得 y = 150,经检验,y = 150 是原方 程的解,且符合题意,则( 150 - 100) ÷ 100 × 100% = 50%. 答:实际的工作效率比原计划增加 50%. 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 27 页 铺路小卷 4　 零指数幂与负整数指数幂 1. C　 【解析】2-3 = 1 23 = 1 8 . 故选 C. 2. D　 【解析】由题意得 x-2≠0,∴ x≠2. 故选 D. 3. A 4. D　 【解析】A. (-2024) 0 = 1;B. | -7 | = 7;C. -( -4)= 4;D. (- 1 2 ) -3 = -8. 故选 D. 5. C 6. D　 【解析】由 20240 = 1,5-1 = 1 5 可知原式= 0+(-1)= -1. 故选 D. 7. 3 8. a>c>b　 【解析】 a = ( - 3 2 ) 2 = 9 4 ,b = (-1) -1 = -1,c = (1- π 2 ) 0 = 1,∵ 9 4 >1>-1,∴ a>c>b. 9. 0 10. 解:(1)原式= 1-4+3+3 = 3; (2)原式= 2+1-5+1+9 = 8. 11. 解: ( 1 ) 原式 = - 1 27 a-6 b6 · 1 4 a6 b-8 = - 1 108 b-2 = - 1 108b2 ; (2)原式= 9 4 x- 2y- 2·3x2 = 27 4 y- 2 = 27 4y2 . 􀥚􀥚􀥚 􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚第 17 章 　 铺路小卷 1　 变量与函数 1. A　 2. D 3. C　 【解析】由 x≥0 且 x-1≠0 得 x≥0 且 x≠1. 故选 C. 4. C　 【解析】C. ∵ 由题意可得油箱剩余油量 y(L)与行 驶路程 x(km)之间的关系式为 y= 45-0. 08x. 故选 C. 5. 3　 【解析】∵ 函数 y= 2x-1 x+2 中,当 x = a 时的函数值为 1,∴ 2a-1 a+2 = 1,∴ 2a-1 = a+2,解得 a = 3,经检验,a = 3 是方程的解. 6. 1026 7. 解:(1)刹车时车速　 刹车距离 (2)15 (3)y= 0. 25x (4)当 x = 110 时, y = 110 × 0. 25 = 27. 5. ∵ 27. 5m < 31m,∴ 该汽车不会和前车追尾. 铺路小卷 2　 函数的图象 1. D　 2. D　 3. C　 4. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【解题思路】根据题意可分成三段进行分析:当水深度 未超过球半径时;当水的深度超过球半径但未超过球 顶时;当水的深度超过球顶时. 分别分析出水槽中装 水部分的宽度变化情况,进而判断出水的深度变化快 慢,以此得出答案. 5. C　 【解析】由图象可知:当温度为 60℃ 时,硫酸钠的 溶解度小于 48. 8g,故 A 错误;0℃ 至 40℃ 时,硫酸钠 的溶解度随着温度的升高而增大,40℃ 至 80℃ 时,硫 酸钠的溶解度随着温度的升高而减小,故 B 错误;当 温度为 40℃ 时,硫酸钠的溶解度最大,故 C 正确;要 使硫酸钠的溶解度大于 43. 7g,温度可控制在接近 40℃ 至 80℃ ,故 D 错误. 故选 C. 6. C　 【解析】当点 P 在边 AD 上运动时,y 的值不变,∴ AD= 4×2 = 8( cm),即长方形的长是 8cm,∴ 1 2 × 8· AB= a,即 AB= a 4 . 当点 P 在 DB 上运动时,y 逐渐减 小,∴ DB= 5×2 = 10(cm),在 Rt△ABD 中,AD2 +AB2 = BD2,∴ 82 +( a 4 ) 2 = 102,解得 a= 24. 故选 C. 7. - 1 3 　 【解析】∵ 点 M 位于第四象限,且到 x 轴,y 轴 的距离相等,∴ 2a+3+a-2 = 0,解得 a= - 1 3 . 8. (5,1)或( -1,1)　 【解析】∵ AB∥x 轴,点 A 的坐标为 (2,1),∴ A、B 两点纵坐标都是 1. 又∵ AB = 3,∴ 当 B 点在 A 点左边时,B 的坐标为(-1,1);当 B 点在 A 点 右边时,B 的坐标为(5,1) . 综上所述,点 B 的坐标为 (5,1)或(-1,1) . 9. 0. 5　 【解析】由图中数据可知 x = 2 之后,每增加一 天,y 增加(3-1. 5)÷(5-2)= 0. 5(元),故两天后每过 一天租金增加 0. 5 元. 10. 2 或 4 或 10　 【解析】由图可知:AB = 90km,甲、乙两 车 3 小时相遇,∴ v甲 +v乙 = 90÷3 = 30(km / h) . ∵ 甲车 5 小时到达 B 地,∴ 甲的速度为 90÷5 = 18(km / h), ∴ 乙的速度为 30-18 = 12(km / h),当两车相遇前相 距 30 千米时,依题意得 18x+12x = 90-30,解得 x = 2;当两车相遇后甲车未到 B 地,相距 30 千米时,依 题意得 18x+12x = 90+30,解得 x = 4;当甲到达 B 地 掉头后,相距 30 千米时,依题意得 18x- 90 = 12x- 30,解得 x= 10. 综上所述,则两车出发 2 小时或 4 小 时或 10 小时后相距 30 千米. 11. 解:(1)4800　 3000 (2)8 (3)根据函数图象,小华一共行驶了 4800+2×(4000 -3000)= 6800(米). 根据函数图象,小华买到书后 从书店前往西安交大的速度为 4800-3000 28-24 = 450(米 / 分). 12. 解:(1)任意实数　 任意实数 (2) -4　 - 27 16 　 - 1 2 　 1 2 　 27 16 　 4 (3)函数图象如下: 铺路小卷 3　 一次函数 1. C 2. C　 【解析】∵ y= -2x+4,k = -2<0,b = 4>0,∴ 图象经 过第一、二、四象限,y 随 x 的增大而减小,故 AB 正 确;当 y= 0 时,-2x+4 = 0,解得 x= 2,∴ 图象与 x 轴交 于(2,0),故 C 不正确;当 x = 0 时,y = 4,∴ 图象与 y 轴交于(0,4),故 D 正确;故选 C. 3. D 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 28 页 4. B　 【解析】由图可知该一次函数图象经过第一、三、 四象限,则 k>0,b<0. 故选 B. 5. B　 【解析】∵ k= 3>0,∴ y 随 x 的增大而增大,又∵ 点 (-3,y1),(1,y2),( -1,y3)都在直线 y = 3x-b 上,且 -3<-1<1,∴ y1 <y3 <y2 . 故选 B. 6. A　 【解析】设一次函数解析式为 y= kx+b,把(2,0)和 (1,-1)代入上式,得 2k+b= 0k+b= -1{ ,解得 k= 1 b= -2{ ,∴ 一次 函数解析式为 y= x-2. 故选 A. 7. B　 【解析】设一次函数的解析式:y = kx + b,把(0, 12),(2,16)代入,得 b= 122k+b= 16{ ,解得 b= 12 k= 2{ ,∴ y = 2x +12,把 x= 6 代入 y= 2x+12,得 y= 24. 故选 B. 8. 1　 【解析】由题意可得 m+1≠0 且 2- m = 1,解得 m = 1. 9. -16　 【解析】∵ y=kx+b 的图象与正比例函数 y= 2x 的 图象平行,∴ k= 2,∵ y= kx+b 的图象经过点 A(2,-4), ∴ 2×2+b= -4,解得 b= -8,∴ kb= 2×(-8)= -16. 10. -3≤b≤2　 【解析】把 C(1,3)代入 y = x+b 得 1+b = 3,解得 b= 2,把 B(4,1)代入 y= x+b 得 4+b= 1,解得 b= -3,所以当直线 y = x+b 与△ABC 有交点时,b 的 取值范围是-3≤b≤2. 11. 5　 【解析】设秤砣到秤纽的水平距离 ycm 与所挂物 重 xkg 之间的函数解析式为 y = kx+b,由题意可得, 当 x= 0 时,b= 2. 5,当 x= 1 时,y= 8,∴ b= 2. 5k+b= 8{ ,解得 b= 2. 5 k= 5. 5{ ,∴ y= 5. 5x+2. 5,当 y = 30 时,30 = 5. 5x+2. 5,解得 x = 5,即当秤砣到秤纽的水平距离为 30cm 时,秤钩所挂物重为 5kg. 12. -1　 【解析】直线 l1:y= -2x+3 中,令 y = 0,则-2x+3 = 0,解得 x= 3 2 ,∴ A( 3 2 ,0) . ∵ △AOB 的面积是 9 4 , ∴ 1 2 OA· yB = 9 4 ,即 1 2 × 3 2 × yB = 9 4 ,∴ yB = -3, 把 y= -3 代入 y= -2x+3 得,-3 = -2x+3,解得 x = 3, ∴ B(3,-3) . ∵ 直线 l2:y = kx( k< 0)交直线 l1 于点 B,∴ -3 = 3k,解得 k= -1. 13. 解:(1)把(0,0)代入,得 m-3 = 0,解得 m= 3; (2)根据 y 随 x 的增大而减小说明 k<0,即 2m+1<0, m<- 1 2 ; (3)若图象经过第一、三象限,得 m = 3. 若图象经过 第一、二、三象限,则 2m+1>0m-3>0{ ,解得 m>3. 14. 解:(1)将 C(a,4)代入 y= -2x 中得-2a= 4,解得 a= -2,∴ C( -2,4),将 A( -6,0),C( -2,4)代入 y= kx+b 得 -6k+b= 0 -2k+b= 4{ ,解得 k= 1 b= 6{ ,∴ 直线 l1 的解析式为 y= x +6; (2)当 x= 2 时,y= 2+6 = 8,∴ F(2,8),当 x= 2 时,y= -2×2 = -4,∴ G(2,-4),∴ FG= 12,∴ S△CFG = 1 2 ×12× 4 = 24. 铺路小卷 4　 反比例函数 1. A 2. D　 【解析】∵ 反比例函数的图象关于坐标原点成中 心对称,点 A(2,-4)在反比例函数的图象上,∴ 点 A 关于坐标原点的对称点也在该反比例函数的图象 上. 又∵ 点 A 关于坐标原点的对称点的坐标为( -2, 4),∴ 当 x= -2 时,y= 4. 故选 D. 3. B 4. D　 【解析】∵ 反比例函数 y= - 3 x 中 k = -3<0,∴ 反比 例函数 y= - 3 x 图象的两个分支分别位于二、四象限, 且在每一象限内,y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A( x1, -1),B(x2,5),C(x3,7)都在反比例函数 y = - 3 x 的图 象上,-1<0<5<7,∴ x2 <x3 <x1 . 故选 D. 5. C 6. C　 【解析】 根据反比例函数 k 的几何意义可知: △AOP 的面积为 k1 2 ,△BOP 的面积为 k2 2 ,∴ △AOB 的 面积为( k1 2 - k2 2 )= 1 2 ( k1 -k2) . ∵ k1 -k2 = 8,∴ △AOB 的面积为 1 2 ×8 = 4. 故选 C. 7. y= - 3 x (答案不唯一) 8. k<2　 【解析】∵ 反比例函数 y= 2-k x 的图象位于第一、 第三象限,∴ 2-k>0,解得 k<2. 9. y= 6 x 　 【解析】∵ 整式 x2 -kx+9 是一个完全平方式, ∴ k= ±6,∵ 反比例函数 y = k x 的图象的每一支上,y 都随 x 的增大而减小,∴ k>0,∴ k = 6,∴ 反比例函数 的解析式为 y= 6 x . 10. 3　 【解析】设 AB 交 y 轴于点 C,则 S△AOB = S△AOC + S△BCO = 1 2 × | -4 | + 1 2 ×2 = 2+1 = 3. 11. y= 27 x 或 y= - 27 x 　 【解析】将(a,9)代入 y= k x (k≠0) 中得 k a = 9,∴ k = 9a. ∵ 点 A( a,9)是“高质量发展 点”,∴ a2 = 9,解得 a = ±3,∴ k = ±27,则该反比例函 数的解析式为 y= 27 x 或 y= - 27 x . 12. 3　 【解析】由题意得,设 F1(N)和阻力臂 l1(m)的函 数解析式为 F1 = k l1 ,将(0. 5,1200)代入,得 k =F1· l1 = 0. 5×1200 = 600,∵ F1·l1 =F2·l2,∴ 600 = 200l2, ∴ l2 = 3. 13. 解:(1)∵ 反比例函数 y = - 6 x 的图象经过点 A( 2, m),∴ m= - 6 2 = -3; (2)∵ k= -6<0,∴ 双曲线在第二、四象限. 把 x= 1 代 入 y= - 6 x ,得 y= -6,∴ 当 x≤1 且 x≠0 时,在第二象 限:y>0;在第四象限:y≤-6. 综上,当 x≤1 且 x≠0 时,y>0 或 y≤-6. 14. 解:(1)∵ AC⊥BC,∴ 点 C 纵坐标等于点 A 纵坐标, 点 C 横坐标等于点 B 横坐标,即 C(1,2),代入 y = k x 得,k= 2,所以反比例函数的表达式为 y= 2 x ; 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 29 页 (2)连结 EC 并延长,交 x 轴于点 F,当 C,E,F 三点 共线时,此时 m=FE-FC = CE,即 m 取得最大值,∵ 点 E 在函数 y= 2 x (x>0)的图象上,且易知点 E 的纵 坐标为 5,∴ 代入可得点 E 的坐标为( 2 5 ,5),设直线 CE 的表达式为 y= ax+b,将 C(1,2),E( 2 5 ,5)代入, 得 2 = a+b, 5 = 2 5 a+b,{ 解得 a= -5,b= 7,{ ∴ 直线 CE 的表达式为 y = -5x+7,令 y= 0,解得 x= 7 5 ,∴ 点 F 的坐标为( 7 5 , 0) . 铺路小卷 5　 实践与探索 1. B　 【解析】根据表格可得当 x = 1 时,y = 0;因而方程 ax+b= 0 的解是 x= 1. 故选 B. 2. D　 【解析】∵ y= x+2 经过 P(m,4),∴ 4 =m+2,∴ m= 2,∴ 直线 l1:y = x+2 与直线 l2:y = kx+b 相交于点 P (2,4),∴ 方程组 y = x+2 y= kx+b{ 的解是 x= 2 y= 4{ . 故选 D. 3. D　 【解析】∵ 函数 y = 2x 的图象过点 A(m,3),∴ 将 点 A(m,3)代入 y= 2x 得 2m = 3,解得 m = 3 2 ,∴ 点 A 的坐标为( 3 2 ,3),∴ 由图可知不等式 2x≥ax+4 的解 集为 x≥ 3 2 . 故选 D. 4. B　 【解析】①观察图象可知,方式一每月主叫时间为 300 分钟时,月使用费为 88 元,①正确;②当 x≥200 时,设方式二的一次函数解析式为 y= kx+b,依题意有 200k+b= 58 600k+b= 138{ ,解得 k= 0. 2 b= 18{ ,则当 x≥200 时,方式二 的一次函数解析式为 y= 0. 2x+18,当 y= 88 时,0. 2x+ 18 = 88,解得 x= 350,观察图象可知两交点坐标分别 是(350,88),(600,138),故②错误;③观察图象可知 每月主叫时间超过 600 分钟,选择方式二更省钱,③ 正确,故选 B. 5. 2x-y= 1(答案不唯一) 6. x= -1. 5　 【解析】把点(0,-2)和点( -3,0)代入 y = ax+b 得, -3a+b= 0 b= -2{ ,解得 a= - 2 3 b= -2 { ,所以 y = - 23 x-2, 当 y= -1 时,即- 2 3 x-2 = -1,解得 x= -1. 5,故方程 ax +b+1 = 0 的解是 x= -1. 5. 7. x< 3　 【解析】∵ 一次函数 y = ax+b 的图象过第一、 二、四象限,∴ b>0,a<0,把(2,0)代入解析式 y= ax+b 得 0 = 2a+b,解得 2a= -b,即 b a = -2,∵ a(x-1)+b>0, ∴ a(x-1)>-b,∵ a<0,∴ x-1<- b a ,解得 x<3. 8. 解:(1) 甲品牌文具包:y1 = 6x,乙品牌文具包:y2 = 8x(0<x≤10) 4x+40(x>10){ ; (2)由 6x= 4x+40,解得 x = 20,∴ 当购买数量小于 20 个时,甲品牌文具包比较省钱;购买数量等于 20 个 时,甲乙两种品牌文具包价格一样;购买数量超过 20 个时,乙品牌文具包比较省钱; (3)函数图象如图所示,观察图象可知:当 0 <x< 20 时,y1 的图象在 y2 下方,购买甲品牌文具包比较省 钱;当 x= 20 时,两函数图象相交于点(20,120),购买 两种品牌花费都是 120 元;当 x> 20 时,y1 的图象在 y2 上方,购买乙品牌文具包比较省钱. 9. 解:(1)设直线 AB 的表达式为 y = kx+b,由图可知 b = 28,即 y = kx+28,将 B(9,100)代入上式得 100 = 9k+ 28,解得 k= 8,故直线 AB 的表达式为 y = 8x+28. 设反 比例函数的表达式为 y= m x ,将点 B 的坐标代入上式 得 100 = m 9 ,解得 m= 900,则反比例函数的表达式为 y = 900 x . 当 y= 25 时,解得 x= 36,即 a= 36; (2)当 y= 45 时,y = 8x+28 = 45,解得 x = 17 8 ,当 y = 45 时,y= 900 x = 45,解得 x= 20,则 20- 17 8 = 143 8 (分),即不 适饮水温度的持续时间为 143 8 分. 10. 解:(1)∵ Rt△AOC 的面积等于 3,∴ 1 2 ·c = 3, ∴ c = 6,∴ 反比例函数为 y = 6 x ,∵ 反比例函数 y = 6 x 的 图象经过点 A(3,m)、B(n,-3),∴ 3m = 6,-3n = 6, 解得 m= 2,n= -2,∴ A(3,2),B( -2,-3) . 把 A、B 的 坐标代入 y= kx+b 得 3k +b= 2 -2k+b= -3{ ,解得 k= 1 b= -1{ ,∴ 一 次函数的解析式为 y= x-1. (2)观察图象,不等式 kx+b> c x 的解集为:- 2 <x< 0 或 x>3. (3)∵ AC⊥x 轴,∴ C(3,0),当 y = 0 时,x-1 = 0,x = 1,∴ D(1,0),∴ CD = 3-1 = 2,过点 B 作 BE⊥AC 交 AC 延长线于点 E,过点 P 作 PF⊥AC 交 AE 于点 F, 设点 P 的横坐标为 n,则其纵坐标为(n-1),∴ S△ABC = 1 2 ·AC·BE = 1 2 ×2×[3-( -2)] = 5,S△APC = 1 2 · AC·PF= 1 2 ×2×(3-n) = 3-n, ①当 S△APC = 2 5 S△ABC = 2 5 ×5 = 2 时,∴ 3-n = 2,解得 n = 1;②当 S△APC = 3 5 S△ABC = 3 5 ×5 = 3 时,∴ 3-n= 3,解得 n= 0. 当 n= 1 时, n-1 = 0;当 n= 0 时,n-1 = -1. ∴ 符合条件的点 P 坐 标为(1,0)或(0,-1) . 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 30 页 一次函数与反比例函数的综合 1. 解:(1)当 x= 2 时,y= 2x= 4,∴ A(2,4) . 把 A(2,4)代 入 y= k x 得 k= xy= 2×4 = 8,∴ 反比例函数的表达式是 y= 8 x ; (2)由(1)知 A(2,4),由反比例函数的性质可知点 A 和点 B 关 于 原 点 中 心 对 称, ∴ 点 B 的 坐 标 为 ( -2,-4) . ∵ 点 P 在反比例函数图象上,且在直线 AB 的下方(不与点 A,B 重合),∴ 由图象可知-2<xP <0 或 xP>2. 2. 解:(1)令一次函数 y = - 1 3 x 中 y = 1,则 1 = - 1 3 x,解 得 x= -3,即点 A 的坐标为( -3,1) . 又∵ 点 A( -3,1) 在反比例函数 y= k x 的图象上,∴ k = -3×1 = -3,∴ 反 比例函数的表达式为 y= - 3 x ; (2) -3<x<0 或 x>3 (3)连结 AC、BC,设平移后的解析式为 y= - 1 3 x+b,当 x= 0 时,即有 y= b,∴ OC = b. ∵ 该直线平行直线 AB, ∴ S△ABC = S△ABD . ∵ △ABD 的面积为 12,∴ S△ABC = 1 2 OC·(xB-xA)= 12. ∵ A( -3,1),B(3,-1),OC = b,∴ xB-xA = 6,∴ 1 2 b×6 = 12,∴ b= 4,∴ 平移后的直线的函 数表达式为 y= - 1 3 x+4. 3. 解:(1)由图可知反比例函数过点(1,6),将(1,6)代 入 y1 = m x ,得 m = 6,∴ 反比例函数的表达式为 y1 = 6 x . 将点(6,1),(1,6) 分别代入表达式 y2 = kx+b 得 k+b= 6 6k+b= 1{ ,解得 k= -1 b= 7{ ,∴ 直线 AB 的表达式为 y2 = -x +7; (2)1≤x≤6 (3)格点的坐标为(2,4),(3,3),(4,2) . 4. 解:(1) ∵ 反比例函数 y = k2 x ( x < 0) 的图象经过点 A(-1,2),∴ k2 = -1×2 = -2,∴ 反比例函数的表达式为 y= - 2 x . ∵ 反比例函数 y= - 2 x 图象经过点 B(-4,n),∴ -4n= -2,∴ n= 1 2 ,∴ B 点坐标为( -4, 1 2 ) . ∵ 直线 y = k1x+b 经过点 A(-1,2),点 B(-4, 1 2 ),∴ -k1 +b= 2 -4k1 +b= 1 2 { , 解得 k1 = 1 2 b= 5 2 ì î í ï ï ï ï ,∴ 一次函数表达式为 y= 1 2 x+ 5 2 ; (2)设直线 AB 与 x 轴的交点为 C,当 y= 0 时, 1 2 x+ 5 2 = 0,解得 x = -5,∴ C 点坐标为( -5,0),∴ OC = 5. ∴ S△AOC = 1 2 ·OC· yA = 1 2 ×5×2 = 5,S△BOC = 1 2 ·OC · yB = 1 2 ×5× 1 2 = 5 4 ,S△AOB = S△AOC -S△BOC = 5- 5 4 = 15 4 ; (3)作点 A 关于 x 轴的对称点 A′,连结 A′B,交 x 轴于点 P, 此时 PA+PB 的值最小. ∵ 点 A′和 A( -1,2)关于 x 轴对称, ∴ 点 A′的坐标为( -1,-2) . 设 直线 A′B 的表达式为 y = ax+ c. ∵ 经 过 点 A′ ( - 1, - 2 ), 点 B ( - 4, 1 2 ), ∴ -a+c= -2 -4a+c= 1 2 { ,解得 a= - 5 6 c= - 17 6 ì î í ï ï ï ï ,∴ 直线 A′B 的表达式为 y = - 5 6 x- 17 6 . 当 y= 0 时,则- 5 6 x- 17 6 = 0. 解得 x = - 17 5 , ∴ P 点坐标为( - 17 5 ,0) . 5. 解:(1) 将 A ( - 3,1),C ( - 4, 0) 代入 y = kx + b,得 -3k+b= 1 -4k+b= 0{ ,解得 k= 1 b= 4{ ,∴ 一次函数的解析式为 y = x+ 4,将 A( -3,1)代入 y= m x (x<0),得 m= -3,∴ 反比例 的解析式为 y= - 3 x (x<0); (2)∵ 直线 AC 的解析式为 y = x+4 与 y 轴交点 D,∴ 点 D 的坐标为 ( 0, 4 ), 由 y= x+4 y= - 3 x { , 解得 x= -3y= 1{ 或 x= -1 y= 3{ ,∴ 点 B 的坐标为( -1,3),∴ △AOB 的面积 = S△AOD-S△BOD = 1 2 ×4×3- 1 2 ×4×1 = 4; (3)观察图象,当 x<0 时,关于 x 的不等式 kx+b< m x 的 解集是 x<-3 或-1<x<0. 6. 解:(1)∵ 点 A、B 在反比例函数 y = - 3 x 的图象上,∴ 分别把 A( -1,m),B(n,-1)代入 y = - 3 x ,解得 m= 3, n= 3,∴ A( -1,3),B(3,-1) . ∵ 点 A、B 在一次函数图 象上,∴ 分别把 A( -1,3),B(3,-1)代入 y = kx+b,可 得 -k+b= 3 3k+b= -1{ , 解 得 k= -1 b= 2{ ,∴ 一次函数的表 达式是 y= -x+2;一次函数 的图象如图所示; (2) -1≤x<0 或 x≥3 (3) ∵ 点 A( -1,3)与点 C 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 31 页 关于 x 轴对称,∴ 点 C( -1,-3),即 AC= 6,AC 上的高 是 4,∴ △ABC 的面积为 1 2 ×6×4 = 12. 􀥚􀥚􀥚 􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚第 18 章 　 铺路小卷 1　 平行四边形的性质 1. D 2. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ DC,∴ ∠A+∠D= 180°,∵ ∠A = 160°,∴ ∠D = 20°. 故 选 A. 3. D　 【解析】∵ DE 平分∠ADC,∴ ∠ADE = ∠CDE. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠ADE = ∠DEC,∴ ∠DEC= ∠CDE,∴ CD=CE. ∵ AB= 6,∴ CD =CE= 6. ∵ AD= 8,∴ BE=BC-CE= 2. 故选 D. 4. C　 【解析】 由作法得 BE 平分 ∠ABC,∴ ∠ABE = ∠CBE. ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AD∥BC, BC= AD = AE +DE = 10 + 6 = 16,AB = CD,∴ ∠CBE = ∠AEB,∴ ∠ABE= ∠AEB,∴ AB = AE = 10,∴ CD = 10. ∵ CE⊥DE,∴ ∠CED = 90°,在 Rt△CDE 中,DE = 6, CD= 10,∴ CE = CD2 -DE2 = 8,∴ ▱ABCD 的面积为 AD·CE= 16×8 = 128. 故选 C. 5. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC、BD 交于点 O,∴ AB = CD,AD = CB,AD∥CB,OA = OC, ∴ ∠OAE = ∠OCF. 在 △AOE 和 △COF 中, ∠AOE= ∠COF OA=OC ∠OAE= ∠OCF { ,∴ △AOE≌△COF(A. S. A. ),∴ OE =OF= 5,AE=CF,∴ EF=OE+OF = 5+5 = 10,AE+BF = CF+BF=CB. ∵ ▱ABCD 的周长为 30,∴ 2AB+ 2CB = 30,∴ AB+CB= 15,AB+AE+BF+EF=AB+CB+EF = 15+ 10 = 25,∴ 四边形 ABFE 的周长是 25. 故选 B. 6. D 7. B　 【解析】连结 BF. 设平行四边形 AFEO 的面积为 4m. ∵ FO ∶OC= 3 ∶1,BE =OB,AF∥OE,∴ S△OBF = S△AOB =m,S△OBC = 1 3 m,S△AOC = 2m 3 ,∴ S△AOB ∶S△AOC ∶S△BOC = m ∶ 2m 3 ∶ 1 3 m= 3 ∶2 ∶1,故选 B. 8. 26　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ CD,AB=CD,∴ △ABE 的面积为平行四边形的面积 的一半,为 26cm2 . 9. 8　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC,AD=BC,∴ ∠F = ∠BCE,∠EAF = ∠B,∵ CE = EF = 4,∴ △BCE≌△AFE(A. A. S. ),∴ BC = AF,∴ AD = AF,∵ AC⊥BC,∴ ∠ACB = 90°,∴ ∠DAC = ∠ACB = 90°,∴ AC 垂直平分 DF,∴ CD=CF=CE+EF= 8. 10. 24　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AO = CO,且 OM⊥AC,∴ AM=MC,∵ △CDM 的周长为 12, ∴ CM+MD+CD= 12,∴ AM+MD+CD=AD+CD= 12,∴ 平行四边形 ABCD 的周长= 2(AD+CD)= 24. 11. 证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AD∥BC,AD =BC. ∴ ∠DAE= ∠AEB. ∵ AB = AE,∴ ∠AEB = ∠B. ∴ ∠B = ∠DAE. 在 △ABC 和 △EAD 中, AB=AE ∠B= ∠DAE BC=AD { ,∴ △ABC≌△EAD( S. A. S. ),∴ DE = AC. 12. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ DA∥BC,DA =BC. ∵ AE=CF,∴ DA+AE = BC+CF,即 DE = BF. ∵ DA∥BC,∴ DE∥BF,∴ ∠E= ∠F,∠EDO= ∠FBO. 在 △EOD 和△FOB 中, ∠E= ∠F DE=BF ∠EDO= ∠FBO { , ∴ △EOD≌ △FOB(A. S. A. ),∴ OE=OF. 13. (1) 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC,∴ ∠AEB= ∠DAE. ∵ AE 是∠BAD 的平分线,∴ ∠BAE= ∠DAE,∴ ∠BAE= ∠AEB,∴ AB=BE; (2)解:∵ AB =BE,∴ ∠BAE = ∠BEA = 62°,∴ ∠ABE = 180°-( ∠BAE+∠BEA) = 56°. ∵ 点 F 是 AE 的中 点,AB=BE,∴ ∠ABF= 1 2 ∠ABE= 28°. 14. (1) 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC,∠ADC = ∠ABC,AD = BC,∴ ∠DAC = ∠BCA,∵ BE,DG 分 别 平 分 ∠ABC, ∠ADC, ∴ ∠ADG = 1 2 ∠ADC= 1 2 ∠ABC= ∠CBE,∴ △ADG≌△CBE( A. S. A. ),∴ ∠AGD= ∠CEB,DG=BE,180°-∠AGD= 180° -∠CEB,∴ ∠DGE= ∠BEG,∴ BE∥DG,BE=DG; (2) 解:作 EH⊥BC 交 BC 于点 H,∵ 平行四边形 ABCD 的周长 是 24,∴ AB+BC = 1 2 ×24 = 12,∵ BE 平分 ∠ABC,EF⊥ AB,EH⊥ BC,EF= 3,∴ EF = EH = 3,∴ S△ABC = 1 2 AB·EF+ 1 2 BC·EH= 1 2 EF(AB+BC)= 1 2 ×3×12 = 18. 铺路小卷 2　 平行四边形的判定 1. B 2. C　 【解析】一定能判定四边形 ABCD 是平行四边形 的是∠B = ∠D,理由如下:∵ AB∥CD,∴ ∠A+∠D = 180°,∵ ∠B= ∠D,∴ ∠A+∠B = 180°,∴ AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,故选 C. 3. D　 【解析】这其中的数学道理是:一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形. 故选 D. 4. A　 【解析】∵ AB=CD,BC = AD,∴ 四边形 ABCD 是平 行四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠C + ∠D = 180°,∵ ∠D = 120°,∴ ∠C= 60°. 故选 A. 5. A　 【解析】∵ EF∥AB,DF∥AC,∴ 四边形 ADFE 是平 行四边形,∴ AD=EF,DF= AE,∵ DF∥AC,∴ ∠DFB = ∠C,∵ AB=AC,∴ ∠B = ∠C,∴ ∠B = ∠DFB,∴ DB = DF,同理可得 EF=EC,∴ 四边形 AEFD 的周长 = AD+ DF+EF+AE=AD+DB+EC+AE = AB+AC = 5+5 = 10,故 选 A. 6. C　 【解析】连结 AB,CD,∵ AD∥ BC,AD = BC,∴ 四边形 ABCD 是 平行四边形,连结 AC 交 BD 于 O,∴ AO = OC,BO = OD,∵ BE = DF,∴ OE=OF,∴ 四边形 AECF 是平行四边形,故 A 不符合题意;∵ ∠AEB= ∠CFD,∴ ∠AEO= ∠CFO,∴ AE∥CF, ∵ ∠AOE = ∠COF, AO = OC, ∴ △AOE ≌ △COF(A. A. S. ),∴ AE=CF,∴ 四边形 AECF 是平行 四边形,故 B 不符合题意;∵ AF = FE,故无法判定四 边形 AECF 是平行四边形,故 C 符合题意;∵ AE⊥ BD,CF⊥BD,∴ ∠AEB = ∠CFD,∵ AB∥CD,AB = CD, ∴ ∠ABE= ∠CDF,∴ △ABE≌ △CDF(A. A. S. ),∴ BE=DF,与 A 同理,故 D 不符合题意. 故选 C. 7. C　 【解析】∵ AG⊥BC,∴ ∠AGB = 90°,由勾股定理得 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 32 页 BG= AB2 -AG2 = 52 -42 = 3,∵ CG = 2BG,∴ CG = 6, ∴ BC= 3+6 = 9,设 AP 交 EF 于点 O,∵ AB∥CD,AB = CD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∵ PE ∥BC,PF∥CD,∴ AE∥PF,AF∥EP,∴ 四边形 AEPF 是 平行四边形,∴ OA = OP,OE = OF,∴ S△AEO = S△PFO,∴ S阴 = 1 2 S▱ABCD = 1 2 ×9×4 = 18,故选 C. 8. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形　 9. 4 10. (1)证明:∵ ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD,AB = CD. 又∵ AF = CG,∴ BF = DG,∴ 四边形 DFBG 是平 行四边形; (2)解:∵ 四边形 DFBG 是平行四边形,∴ DF∥BG, BF∥DG,∴ ∠AFD= ∠ABE= ∠DGE= 105°. 11. (1)证明:连结 BD,交 AC 于点 O,∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形,∴ OA = OC,OB = OD. ∵ AE = CF,OA = OC,∴ OA-AE=OC-CF,即 OE=OF. ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形; (2) 解: ① ∵ AB ⊥ BF, ∴ ∠ABF = 90°, ∴ AF = AB2 +BF2 = 5,∵ AC= 8,∴ CF=AC-AF = 8-5 = 3,∵ AE=CF= 3,∴ EF=AF-AE= 5-3 = 2; ②∵ AB⊥BF,∴ ∠ABF = 90°,∴ S△ABF = 1 2 AB·BF = 1 2 ×4× 3 = 6. 由①可知,EF = 2,AF = 5,∴ S△BEF = 2 5 S△ABF = 2 5 ×6 = 12 5 . 由(1)可知,四边形 BEDF 是平行 四边形,∴ S▱BEDF = 2S△BEF = 24 5 . 12. 解:(1)四边形 A′B′CD 是平行四边形; 理由:由题可得 A′B′∥CD,B′C∥DA′,∴ 四边形 A′B′ CD 是平行四边形. (2)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB = CD = 3cm,AD= BC = 5cm,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,在 Rt△BCD 中,∵ BC = 5cm,CD = 3cm,∴ BD = 52 -32 = 4(cm),∴ DH = CD·BD BC = 12 5 ( cm). 由题意知 BB′ = tcm,∴ B′C=BC-BB′= (5-t) cm,∴ S四边形A′B′CD =B′C ·DH= (5-t) × 12 5 = -12 5 t+12,即 y= - 12 5 t+12. 平行四边形的性质与判定 1. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AO =CO,∴ ∠EAO= ∠FCO,∠AEO = ∠CFO,∴ △EAO≌ △FCO( A. A. S. ),∴ EO = FO,∴ 四边形 AFCE 是平 行四边形. 2. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD = BC,AD ∥BC,∴ ∠ADB= ∠CBD. 又∵ AE = CF,∴ AE+AD = CF + BC. ∴ ED = FB. 在 △EOD 和 △FOB 中, ∠ADB= ∠CBD ∠EOD= ∠FOB DE=FB { ,∴ △EOD≌△FOB(A. A. S. ) . 3. 证明:(1)∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AB =CD, AB∥CD,∴ ∠ABD= ∠CDB. ∵ BF =DE,∴ BE =DF. 在 △ABE 和 △CDF 中, AB=CD ∠ABE= ∠CDF BE=DF { , ∴ △ABE ≌ △CDF(S. A. S. ); (2)由(1) 可知△ABE≌△CDF,∴ AE = CF,∠AEB = ∠CFD,∴ 180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD,即 ∠AEF = ∠CFE,∴ AE∥CF. ∵ AE = CF, AE∥CF, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. 4. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB =CD, AB∥CD,∴ ∠E= ∠F,∠EBO = ∠FDO. 又∵ OB = OD, ∴ △EBO≌△FDO( A. A. S. ),∴ BE = DF. 又∵ AB = CD,∴ BE-AB=DF-CD,即 AE=CF; (2)解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,∴ ∠ADO = ∠OBC. ∵ ∠DOG = ∠BOH, OB = OD, ∴ △DOG≌△BOH( A. S. A. ),∴ OG = OH. ∵ 由( 1) 知 △EBO≌△FDO,∴ OE = OF = 5,∴ OH = OF-HF = 3, ∴ OG=OH= 3. 5. 甲、乙、丙　 【解析】方案甲,连结 AC,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,O 为 BD 的中点,∴ OB =OD,OA =OC, ∵ E、F 分别为 DO、BO 的中点,∴ OE = DE,OF = BF, ∴ OE=OF,∴ 四边形 AECF 为平行四边形,故方案甲 正确;方案乙,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ ∠BAD= ∠BCD,AD=CB,AD∥CB,∴ ∠ADE = ∠CBF, ∵ AE 平分∠BAD,CF 平分∠BCD,∴ ∠DAE = ∠BCF, 在△DAE 和△BCF 中, ∠ADE= ∠CBF AD=CB ∠DAE= ∠BCF { ,∴ △DAE≌ △BCF( A. S. A. ), ∴ AE = CF, ∠AED = ∠CFB, ∴ ∠AEF= ∠CFE,∴ AE∥CF,∴ 四边形 AECF 为平行四 边形,故方案乙正确;方案丙,∵ AE⊥BD,CF⊥BD,∴ AE∥CF,∠AED= ∠CFB= 90°,在△DAE 和△BCF 中, ∠AED= ∠CFB ∠ADE= ∠CBF AD=CB { ,∴ △DAE≌△BCF(A. A. S. ),∴ AE =CF,∴ 四边形 AECF 是平行四边形,故方案丙正确, 综上所述,方案甲、乙、丙均正确. 6. 证明:连结 BD,与 AC 交于点 O,∵ 四边形 ABCD 是平 行四边形,∴ OA = OC,OB = OD. 又∵ AE = CF,∴ OA+ AE=OC+CF,即 OE=OF. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边 形. 7. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠BAD = ∠BCD,AD∥BC, AD = BC. 又 ∵ AE、 CF 是 ∠BAD、 ∠BCD 的平分线,∴ ∠DAE = ∠BCF. ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADE = ∠CBF. 在 △ADE 和 △CBF 中, ∠DAE= ∠BCF AD=CB ∠ADE= ∠CBF { ,∴ △ADE ≌ △CBF ( A. S. A. ), ∴ ∠AED= ∠BFC,AE= CF,∴ AE∥FC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形. 8. (1)DE=BF(答案不唯一) (2)证明:∵ DE⊥AC,BF⊥AC,∴ DE∥BF. ∵ DE=BF, ∴ 四边形 DEBF 为平行四边形. 􀥚􀥚􀥚 􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚第 19 章 　 铺路小卷 1　 矩形 1. D　 【解析】A. 对角线互相平分且相等的四边形才是 矩形;B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;D. 对角 线交点到四个顶点的距离都相等,即对角线互相平 分且相等,对角线互相平分且相等的四边形是矩形. 故选 D. 2. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ADC = 90°, OC=OD,∴ ∠ODC = ∠OCD,∵ ∠ADE ∶ ∠EDC = 3 ∶2, ∴ ∠EDC = 2 3+2 × 90° = 36°,∵ DE⊥ AC,∴ ∠DEC = 90°,∴ ∠ODC = ∠OCD = 90° - 36° = 54°,∴ ∠BDE = 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 33 页 ∠ODC-∠EDC= 54°-36° = 18°. 故选 D. 3. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,OA = 2,∴ AC= 2OA= 4,当 BD = AC = 4 时,平行四边形 ABCD 是 矩形,故选 A. 4. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC,BD 交于点 O,∴ OB = OD,∠ABO = ∠ODF. 又∵ ∠BOE = ∠DOF,∴ △BOE ≌ △DOF ( A. S. A. ), ∴ S△EOB = S△FOD,∴ 阴影部分的面积 = △AOB 的面积 = 1 4 AB· BC= 1 4 ×6×8 = 12,故选 C. 5. B 　 【解析】 在 矩 形 ABCD 中, AE 平 分 ∠BAD, ∴ ∠BAE= ∠EAD= 45°,AD∥BC,OA=OB= 6,∴ ∠AEB= ∠EAD= 45°,∴ BE=BA. ∵ ∠CAE = 15°,∠BAE = 45°, ∴ ∠BAC = 60°,又∵ OA = OB,∴ △OAB 为等边三角 形,∴ BO=BA= 6,∴ BO=BE= 6. 故选 B. 6. C　 【解析】连结 CE,∵ 矩形 ABCD,AB = 6,BC = 8,∴ AD=BC= 8,AB = CD = 6,∠ADC = 90°,OA = OC,∵ OE ⊥AC,∴ AE=CE,设 AE = x,则 CE = x,DE = 8-x,在 Rt △DEC 中,CE2 = DE2 +CD2,∴ x2 = (8 -x) 2 + 62,∴ x = 25 4 ,∴ AE= 25 4 ,故选 C. 7. B　 【解析】连结 MP. ∵ ∠BAC= 90°,AB= 6,AC= 8,∴ BC= 62 +82 = 10,∵ PE⊥AB,PF⊥AC,∴ 四边形 AF- PE 是矩形,∵ M 为 EF 的中点,∴ A、M、P 三点共线, ∴ EF= AP,AM = 1 2 AP,∵ AP⊥BC 时,AP 最短,同样 AM 也最短,∴ 当 AP⊥BC 时,AP = AB·AC BC = 6 ×8 10 = 24 5 ,∴ AP 最短为 24 5 ,∴ AM 的最小值为 1 2 AP = 12 5 . 故 选 B. 8. 2　 【解析】∵ 四边形 ADBE 是矩形,∴ AB = DE,AO = BO,DO=OE,∴ AB = DE = 2OD = 2,∵ AB = AC,∴ AC = 2. 9. 124° 10. 4　 【解析】连结 DE,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥ BC,∠BCD = 90°,CD = AB = 3,AD = BC,∴ ∠ADE = ∠DEC,∵ DF⊥AE,∴ ∠DFE= 90°,又∵ FE =CE,DE =DE,∴ Rt△DEF≌Rt△DEC(HL),∴ DF = DC = 3, ∠FED= ∠CED,∴ ∠FED = ∠ADE,∴ AE = AD = BC, ∴ BE=BC-EC=AE-EC,设 AE=BC = x,则 BE = x-1, 在 Rt△ABE 中,由勾股定理可得 AB2 +BE2 = AE2,即 32 +(x-1) 2 = x2,解得 x = 5,即 AE = 5,∴ AF = AE-EF = 5-1 = 4. 11. 24 5 　 【解析】∵ AB = 6,BC = 8,∴ 矩形 ABCD 的面积 为 48,AC= AB2 +BC2 = 10,∴ AO=DO= 1 2 AC = 5,∵ 对角线 AC,BD 交于点 O,∴ △AOD 的面积为 12,∵ EO⊥AO,EF⊥DO,∴ S△AOD = S△AOE +S△DOE,即 12 = 1 2 AO×EO+ 1 2 DO×EF,∴ 12 = 1 2 ×5×EO+ 1 2 ×5×EF,∴ 5 (EO+EF)= 24,∴ EO+EF= 24 5 . 12. 解:∵ 四边形 ABCD 为矩形,AB = 6,BC = 8,∴ CD = AB= 6,OB=OD,∴ C△BOC-C△DOC =OB+OC+BC-(OD+ OC+CD)= BC-CD = 8-6 = 2,∴ △BOC 与△DOC 的 周长差为 2. 13. (1)证明:∵ AO=CO,BO =DO,∴ 四边形 ABCD 是平 行四边形, ∵ ∠COD = ∠OBC + ∠OCB, ∠COD = 2 ∠OBC,∴ ∠OBC = ∠OCB,∴ OB = OC,即 AC = BD, ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形; (2) 解:由( 1) 可知,AO = CO = BO = DO, ∴ S△AOD = S△COD = 1 2 S△BCD = 1 2 × 4 = 2,∵ OD = 4OE,∴ DE = 3 4 OD,∴ S△ADE = 3 4 S△AOD = 3 4 ×2 = 3 2 . 14. 证明:( 1) ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC, ∴ ∠ADG= ∠DGC,∵ 矩形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋 转得到矩形 AEFG,∴ AD = AG,∴ ∠ADG = ∠AGD,∴ ∠AGD= ∠DGC,∴ GD 平分∠AGC; (2)过点 D 作 DM⊥AG 于点 M,∵ 四边形 ABCD 是 矩形,∴ AD∥BC, ∠B = 90°, ∴ ∠AGB = ∠DAM, ∵ DM⊥AG,∴ ∠AMD= ∠B = 90°,∵ AG = AD,∴ △ABG ≌△DMA( A. A. S. ),∴ DM = AB,由旋转可知,AE = AB, ∠GAE = ∠BAD = 90°, ∴ AE = DM, ∠GAE = ∠DMH = 90°, 又 ∵ ∠AHE = ∠MHD, ∴ △AHE ≌ △MHD( A. A. S. ),∴ HD = HE,即点 H 为 DE 的中 点. 铺路小卷 2　 菱形 1. D 2. B　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ CD,CE∥FD,CD=AB= 4. ∵ 将线段 AB 水平向右平移 得到线段 EF,∴ AB∥EF∥CD,∴ 四边形 ECDF 为平行 四边形,当 CD=CE= 4 时,四边形 ECDF 为菱形,此时 a=BE=BC-CE= 2. 故选 B. 3. B　 【解析】记 AC 与 BD 的交点为 O. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC= 6cm,BD = 8cm,∴ AB = BC = CD = AD,OA = 1 2 AC = 3cm,OB = 1 2 BD = 4cm, AC ⊥ BD,∴ AB = OA2 +OB2 = 5(cm),∴ 菱形 ABCD 的周长为 5×4 = 20 (cm) . 故选 B. 4. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ ∠D+∠BCD = 180°,∠DCA = ∠BCA,∵ ∠ADC = 140°,∴ ∠BCD = 40°,∴ ∠BCA= ∠DCA= 1 2 ∠BCD= 20°,故选 C. 5. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC = 8,BD= 6,∴ AC⊥BD,AO = OC = 1 2 AC = 4,OB = OD = 1 2 BD = 3,在 Rt △BOC 中, 由 勾 股 定 理 得 BC = OB2 +OC2 = 32 +42 = 5,∵ DH⊥BC,∴ S菱 形 A B C D =BC·DH = 1 2 AC ·BD,即 5DH= 1 2 ×8×6,解得 DH= 24 5 . 故选 C. 6. B　 【解析】连结 BD 交 AC 于 O,∵ 四边形 ABCD 是菱 形,∴ ∠ACB = 1 2 ∠BCD,AB = 5,OA = 1 2 AC = 4,AB∥ CD,AC⊥BD,∴ ∠BCD = ∠CBE,OB = AB2 -OA2 = 52 -42 = 3,∴ △ABC 的面积= 1 2 AC·OB= 1 2 ×8×3 = 12,∵ BF 平分∠CBE,∴ ∠CBF = 1 2 ∠CBE,∴ ∠ACB = ∠CBF,∴ AC∥BF,∴ △ACG 的面积 = △ABC 的面 积= 12. 故选 B. 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 34 页 7. C　 【解析】设 AE 交 BF 于点 O. 由作图可知:AB = AF,∠FAE= ∠BAE,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,∴ ∠EAF= ∠AEB,∴ ∠BAE= ∠AEB,∴ AB =BE=AF,∵ AF∥BE,∴ 四边形 ABEF 是平行四边形, ∵ AB= AF,∴ 四边形 ABEF 是菱形,∴ OA = OE,OB = OF= 3,AE⊥BF. 在 Rt△AOB 中,∵ ∠AOB= 90°,∴ OA = AB2 -OB2 = 4,∴ AE= 2OA= 8. 故选 C. 8. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD = BC = CD, AD∥BC,BD = 2DO,又∵ BE = CD,∴ AD = BE,∴ 四边 形 ADBE 是平行四边形,当 BD= AD 时,四边形 ADBE 为菱形,故③不正确,∴ AE =BD,∴ AE = 2DO,故①正 确;∵ 四边形 ADBE 是平行四边形,四边形 ABCD 是 菱形,∴ AE∥BD,AC⊥BD,∴ AE⊥AC,即∠EAC = 90°, 故②正确;∵ 四边形 ADBE 是平行四边形,四边形 ABCD 是菱形,∴ S△ABE = S△ABD = 1 2 S菱形ABCD,S△ABO = 1 4 S菱形ABCD,∴ S四边形AEBO = S△ABE +S△ABO = 3 4 S菱形ABCD,故④正 确;正确的结论个数有 3 个,故选 C. 9. 4　 【解析】连结 AC,过点 C 作 CE⊥l2 于点 E,作 CF ⊥l1 于点 F,∵ AB=BC=CD=DA = 5km,∴ 四边形 AB- CD 是菱形,∴ ∠DAC = ∠BAC. ∵ CE⊥ l2,CF⊥ l1,∴ CE=CF= 4km,即村庄 C 到公路 l2 的距离是 4km. 10. 100° 　 【解析】 设 ∠A = x, ∵ 菱 形 ABCD 和 等 边 △DEF 的边长相等,∴ DA=DE,DF=DC,∴ ∠DEA = ∠A= x,∠C = ∠DFC = ∠A = x,DC∥AB,AD∥BC. ∴ ∠ADE= ∠CDF= 180°-2x. ∵ ∠A+∠ADC = 180°,∴ x+180°- 2x+ 180° - 2x+ 60° = 180°,解得 x = 80°,∴ ∠A= 80°. ∵ AD∥BC,∴ ∠B+ ∠A = 180°,∴ ∠B = 100°. 11. 96 5 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,AO = 1 2 AC = 16cm, BO = 1 2 BD = 12cm, ∴ AB = OA2 +OB2 = 20cm. ∵ S菱形ABCD = 1 2 AC·BD = AB· EF,∴ 1 2 ×32×24 = 20EF,∴ EF= 96 5 ,故 EF 的长为 96 5 cm. 12. 8　 【解析】连结 AP,∵ 四边形 ABCD 是菱形,菱形 ABCD 的周长为 40,∴ AB=AD= 10. ∵ PE⊥AB,PF⊥ AD,∴ S菱形ABCD = 2S△ABD = 2×(S△ABP+S△ADP)= 2×( 1 2 AB ·PE+ 1 2 AD·PF)= 2×( 1 2 ×10×PE+ 1 2 ×10×PF)= 10(PE+PF)= 80,∴ PE+PF= 8. 13. 证明:∵ 四边形 ABCD是菱形,∴ ∠B=∠D,AB=AD,∵ ∠DAE= ∠BAF,∴ ∠DAE-∠EAF = ∠BAF-∠EAF,即 ∠DAF= ∠BAE,∴ △ABE≌△ADF(A. S. A. ),∴ AE = AF. 14. (1)解:③　 根据“SSA”不能证明两个三角形全等 (2) 证明: ∵ ∠ABC = ∠ADC, BD, DB 分 别 平 分 ∠ABC 与 ∠ADC, ∴ ∠ADB = ∠CBD = ∠ABD = ∠CDB,∴ AD∥BC,AB∥DC,∴ 四边形 ABCD 是平行 四边形,在△ABD 和△CBD 中, ∠ADB= ∠CDB BD=BD ∠ABD= ∠CBD { ,∴ △ABD≌ △CBD (A. S. A. ), ∴ AB = CB, ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 15. (1)证明:∵ CE∥AB,∴ ∠DCE = ∠DBF,∵ EF 垂直 平分 BC, ∴ CD = BD, 在 △CDE 和 △BDF 中, ∠DCE= ∠DBF CD=BD ∠CDE= ∠BDF { ,∴ △CDE≌ △BDF( A. S. A. ),∴ DE=DF,∴ 四边形 CFBE 是平行四边形,又∵ EF⊥ BC,∴ 平行四边形 CFBE 是菱形; ( 2 ) 解: ∵ ∠ACB = 90°, ∴ AC = AB2 -BC2 = 102 -82 = 6,AC⊥BC,∵ EF⊥BC,∴ AC∥EF,又∵ CE∥AB,∴ 四边形 ACEF 是平行四边形,∴ EF= AC = 6,由(1)可知 DF=DE,∴ DF= 1 2 EF= 3. 铺路小卷 3　 正方形 1. A　 2. D 3. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解题技巧】要使矩形成为正方形,可根据正方形的判 定定理解答:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形, (2)对角线互相垂直的矩形是正方形. 4. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,AC = 4,∴ AC = BD= 4,∴ 正方形 ABCD 的面积= 1 2 AC·BD= 1 2 ×4×4 = 8,故选 B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【解题技巧】正方形的面积等于对角线乘积的一半. 5. C　 【解析】∵ 正方形 ABCD 和矩形 AEFG 周长相等, ∴ AB+AE+ED+DC+CH+BH = AE+EH+HF+GF+BG+ BA,即 ED+CH=HF+BG,又∵ BG =HF,CH=DE,∴ HF =CH,∵ S矩形EDCH = 8S△HDF,∴ EH·DE = 8× 1 2 HF·DE, 即 EH= 4HF,∵ ABCD 是正方形,AEFG 是矩形,∴ AB =EH = 4HF,AE = BH = BC-CH = 3HF,∴ AE AB = 3HF 4HF = 3 4 . 故选 C. 6. C 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ECF = 90°,∠ABP = ∠CBP = 45°, AB = BC, ∵ BP = BP, ∴ △ABP≌△CBP(S. A. S. ),∴ AP =PC,∵ PE⊥CD,PF ⊥BC,∴ 四边形 PECF 是矩形,∴ PE = CF = 6,在 Rt △PEC 中,PC= CE2 +PE2 = 10,∴ PA= 10. 故选 C. 7. D　 【解析】①在正方形 ABCD 中,OC = OD,∠COD = 90°,∠ODC = ∠OCB = 45°,∵ ∠EOF = 90°,∴ ∠COE = ∠EOF-∠COF = 90°-∠COF = ∠DOF,∴ △COE≌ △DOF(A. S. A. ),∴ OE = OF,∴ △OEF 是等腰直角 三角形,故①正确;②由①全等可得四边形 CEOF 的 面积与△OCD 面积相等,∴ 四边形 CEOF 的面积为 正方 形 ABCD 面 积 的 1 4 ,故 ② 正 确; ③ 当 四 边 形 OECF 是矩形时,OC = EF,故 ③ 不一定正确;④ ∵ △COE≌△DOF,∴ CE = DF,∵ 四边形 ABCD 为正方 形,∠BCD= 90°,∴ 在 Rt△ECF 中,CE2 +CF2 =EF2,∴ DF2 +CF2 =EF2,故④正确. 故选 D. 8. 6 或 3　 【解析】分两种情况:①当∠AB′F = 90°时, △AFB′为直角三角形. 根据∠AB′F = 90° = ∠FB′E = 90°,可得点 A,B′,E 在同一直线上. ∵ BE = 6,AB = 8, ∴ AE= 10. 又∵ B′E=BE= 6,∴ AB′= 10-6 = 4. 设 BF= B′F= x,则 AF = 8-x,Rt△AB′F 中,AB′2 +FB′2 = AF2, 即 42 +x2 = (8 -x) 2,解得 x = 3,∴ BF = B′F = 3;②当 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 35 页 ∠AFB′= 90°时,△AFB′为直角三角形. 此时,∠BFB′ =90° = ∠FB′E = ∠B,而 BF = B′F,∴ 四边形 BEB′F 是正方形,∴ BF = FB′ = BE = 6. 综上所述,BF 的长为 3 或 6. 9. 3　 【解析】过点 E 作 EF⊥AB 交 BA 的延长线于 F,∵ ∠ABC= 90°,∴ EF∥BC,又∵ 在正方形 ACDE 中,AC =AE,∠CAE = 90°,∠EAF + ∠BAC = 180° - ∠CAE = 180°- 90° = 90°, ∠BAC + ∠ACB = 90°, ∴ ∠EAF = ∠ACB,在△ABC 和△EFA 中, ∠EAF= ∠ACB ∠F= ∠ABC= 90° AC=AE { ,∴ △ABC≌△EFA(A. A. S. ),∴ EF = AB = 1,AF = BC = 2,∴ BF=AB+AF= 1+2 = 3,∴ S△ B C E = 1 2 BC·BF = 1 2 ×2×3 = 3. 10. 证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OA = OC, OB=OD,∵ BE = DF,∴ OE = OF,∴ 四边形 AECF 是 菱形,∵ AE⊥AF,∴ ∠EAF = 90°,∴ 四边形 AECF 是 正方形. 11. 解:(1)AE⊥BF,理由如下:∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ AB=BC,∠ABC = ∠C = 90°. 在 Rt△ABE 和 Rt △BCF 中, AE =BF AB=BC{ , ∴ Rt △ABE ≌ Rt △BCF (H. L. ),∴ ∠BAE= ∠CBF. ∵ ∠BAE+∠BEA = 90°, ∴ ∠CBF+∠BEA= 90°,∴ ∠BPE= 90°,∴ AE⊥BF; (2)在 Rt△ABE 中,AB = 8,BE = 6,根据勾股定理得 AE= AB2 +BE2 = 10. 由(1)可知 AE⊥BF,∴ S△ABE = 1 2 AB·BE= 1 2 AE·BP,∴ 8×6 = 10BP,∴ BP = 4. 8, ∴ BP 的长度为 4. 8; (3)四边形 FMNP 不能成为正方形,理由如下:由(1) 知 AE⊥BF,∴ ∠APF = 90°,∵ FM⊥DN,DN⊥AE,∴ 四边形 FMNP 是矩形. ∵ ∠BAP +∠NAD = ∠NAD+ ∠ADN= 90°,∴ ∠BAP = ∠ADN. 在△BAP 和△ADN 中, ∠BAP=∠ADN ∠APB=∠DNA AB=DA { ,∴ △BAP≌△ADN(A. A. S. ),∴ AN=BP,AP = DN. ∵ AE = BF,∴ AE-AN = BF-BP,∴ EN=PF. ∵ 点 F 在线段 CD 上运动(点 F 不与 C、D 重 合),∴ P、E 不重合,∴ PN≠PF,∴ 四边形 FMNP 不能 成为正方形. 12. 解:(1)EF=BE+DF,理由:如图①,延长 CB 到 M,使 得 BM=DF,连结 AM,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD,∠D = ∠ABM = 90°,又∵ BM =DF,∴ △ADF ≌△ABM(S. A. S. ),∴ AF = AM,∠1 = ∠2,∵ ∠EAF = 45°,∴ ∠1+∠3 = 45°,∴ ∠2+∠3 = ∠MAE = 45° = ∠EAF,又∵ AE = AE,∴ △EAM≌△EAF( S. A. S. ), ∴ EF=EM=BE+BM,又∵ BM=DF,∴ EF=BE+DF; (2)EF=BE+DF 仍然成立,理由如下:如图②,延长 CB 到 M,使得 BM = DF,连结 AM,∵ ∠ABC+∠D = 180°,∠ABC+∠4 = 180°,∴ ∠D = ∠4,又∵ AB = AD, BM=DF,∴ △ADF≌△ABM( S. A. S. ),∴ AF = AM, ∠1 = ∠2,∵ ∠EAF= 1 2 ∠BAD,∴ ∠1+∠3 = ∠EAF, ∴ ∠MAE= ∠2+∠3 = ∠EAF,又∵ AE = AE,∴ △EAM ≌△EAF(S. A. S. ),∴ EF=EM =BE+BM,又∵ BM = DF,∴ EF=BE+DF. 图① 　 　 图② 特殊平行四边形的证明与计算 1. 解:CE⊥DF,理由如下:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ CD = AD, ∠CDE = ∠DAF = 90°,在 △CDE 和 △DAF 中, CD=DA ∠CDE= ∠DAF DE=AF { , ∴ △CDE≌ △DAF ( S. A. S. ), ∴ ∠DCE = ∠ADF,∵ ∠ADF+∠GDC = ∠CDE = 90°, ∴ ∠DCE+∠GDC= 90°,∴ ∠DGC= 90°,∴ CE⊥DF. 2. 解:(1)∵ DF⊥CE,∴ ∠FGC = 90°,∴ ∠DFC+∠ECB = 90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC = DC,∠B = ∠FCD = 90°, ∴ ∠BEC + ∠BCE = 90°, ∴ ∠BEC = ∠CFD. 在△CDF 和△BCE 中, ∠CFD= ∠BEC ∠B= ∠FCD BC=CD { , ∴ △CDF ≌ △BCE ( A. A. S. ), ∴ S△CDF = S△BEC, ∴ S四边形BEGF+S△FGC = S△FGC +S△DGC,即 S四边形BEGF = S△DGC . 设 S△DCG 为 x,则阴影部分的面积为 3×3-2x = 9-2x,即 9-2x 9 = 2 3 ,解得 x= 3 2 ; (2)设 CG= a,DG= b,∵ DF⊥EC,∴ 1 2 ab= 3 2 ,a2 +b2 = 9,∴ a2 +b2 +2ab = 9+6 = 15,即(a+b) 2 = 15,∴ CG+DG = a+b= 15 . 3. 解:∵ AB∥CD,∴ ∠DCB = ∠B = 90°. ∵ BC = CD = 12, CE= 5,∴ DE = CD2 +CE2 = 13. ∵ AC⊥DE,∴ ∠DFA = 90°, ∴ ∠DCF + ∠CDE = 90°. ∵ ∠DCF + ∠ACB = 90°, ∴ ∠ACB = ∠CDE. 在 △ABC 和 △ECD 中, ∠ACB= ∠CDE BC=CD ∠B= ∠DCB { ,∴ △ABC≌△ECD( A. S. A. ),∴ AB =CE= 5,AC = DE = 13. ∵ S四边形GECD = S△GDE +S△CDE = 1 2 DE·FG+ 1 2 DE·CF= 1 2 DE·CG = 40,即 1 2 ×13·CG = 40,∴ CG= 80 13 ,∴ AG=AC-CG= 13- 80 13 = 89 13 . 4. 解:(1) △BEG 是等腰三角形,理由如下:∵ BF 平分 ∠CBD,∴ ∠EBH = ∠GBH. ∵ AE ⊥ BF, ∴ ∠BHE = ∠BHG= 90°. ∵ BH = BH, ∴ △BHE≌ △BHG ( A. S. A. ),∴ BE=BG,∴ △BEG 是等腰三角形; (2 ) ∵ AB = 8cm, AD = 6cm, ∠DAB = 90°, ∴ BD = AB2 +AD2 = 10cm. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ OB = 1 2 BD= 5cm,由①知 BG = BE = 2. 8cm,∴ OG = OB-BG = 2. 2cm. 5. 解:过点 F 作 FH⊥CD 于点 H,则 FH=BC =CD,∵ FG ⊥CE, ∴ ∠CGO + ∠OCG = ∠CGO + ∠HFG = 90°, ∴ ∠DCE = ∠HFG. ∵ ∠D = ∠FHG = 90°, ∴ △CDE≌ △FHG(A. S. A. ),∴ CE = FG. ∵ CD = 12,DE = 5,∴ 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 36 页 FG=CE= 52 +122 = 13,∴ S四边形EFCG = 1 2 CE·FG = 1 2 ×13×13 = 169 2 . 6. 证明:(1)∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠B = 90°,∴ ∠BAE + ∠BEA = 90°, ∵ ∠AEP = 90°, ∴ ∠BEA + ∠CEP= 90°,∴ ∠BAE= ∠CEP; (2)在 AB 上截取 BN = BE,连结 EN. ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AB = BC,∠B = 90°,∴ AN = EC,∠BNE = ∠BEN= 45°,∴ ∠ANE = 135°,∵ CP 为正方形 ABCD 的外角平分线,∴ ∠PCE= 135°,∴ ∠PCE= ∠ANE,由 (1)得,∠CEP= ∠BAE,在△ANE 和△ECP 中,∠ENA = ∠PCE,AN=CE,∠NAE= ∠CEP,∴ △ANE≌△ECP (A. S. A. ) . ∴ AE=EP. 7. 解:问题探究:(1)AE = MN,理由:∵ 四边形 ABCD 是 正方形,∴ ∠ABE = ∠BCD = 90°,AB = BC,AB∥CD,过 点 B 作 BF∥MN 交 CD 于点 F,∴ 四边形 MBFN 为平 行四边形,∴ MN = BF,BF⊥AE,∴ ∠ABF+ ∠BAE = 90°. ∵ ∠ABF + ∠CBF = 90°, ∴ ∠BAE = ∠CBF. 在 △ABE 和 △BCF 中, ∠BAE= ∠CBF AB=BC ∠ABE= ∠BCF { , ∴ △ABE ≌ △BCF(A. S. A. ),∴ AE=BF,∴ AE=MN; (2)EQ = CQ,理由:连结 AQ,CQ,∵ 四边形 ABCD 是 正方形, ∴ AB = BC, ∠ABD = ∠CBD. 在 △ABQ 与 △CBQ 中, AB=BC ∠ABQ= ∠CBQ BQ=BQ { , ∴ △ABQ ≌ △CBQ (S. A. S. ),∴ AQ=CQ,∵ MN 是 AE 的垂直平分线,∴ AQ=QE,∴ EQ=CQ; (3)45°　 【解析】过点 Q 作 HI∥AB,分别交 AD、BC 于 点 H、I,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ 四边形 ABIH 为 矩形,∴ HI⊥AD,HI⊥BC,HI = AB = AD. ∵ BD 是正方 形 ABCD 的对角线,∴ ∠BDA = ∠ABQ = ∠CBQ = 45°, ∴ △DHQ 是等腰直角三角形,∴ HD =HQ,AH =QI. 在 Rt△AHQ 和 Rt△QIE 中, AQ=QEAH=QI{ ,∴ Rt△AHQ≌ Rt △QIE(H. L. ),∴ ∠AQH = ∠QEI,∴ ∠AQH+∠EQI = 90°,∴ ∠AQE= 90°,∴ △AQE 是等腰直角三角形,∴ ∠EAQ= ∠AEQ= 45°,即∠AEF= 45° 拓展提高:2　 【解析】延长 AG 交 BC 于 E,则 EG =AG = 5,∴ AE = 10. 在 Rt△ABE 中,BE = AE2 -AB2 = 6,∴ CE=BC-BE= 8-6= 2,由折叠的性质得:AC′=CE= 2. 􀥚􀥚􀥚 􀥚 􀥚􀥚􀥚􀥚 􀧚 􀧚 􀧚􀧚第 20 章 　 铺路小卷　 数据的整理与初步处理 1. D 2. A　 【解析】方差越小,成绩越稳定,故选 A. 3. C 4. B　 【解析】∵ 一组数据 3、6、x、5、5、7 的平均数是 5, ∴ x= 5×6-(3+6+5+5+7)= 4,∴ s2 = 1 6 ×[(3-5) 2 +(6 -5) 2 +(4-5) 2 +2×(5-5) 2 +(7-5) 2] = 5 3 ,故选 B. 5. B　 【解析】她的最后得分是:86×40% +88×40% +90× 10%+94×10% = 88(分) . 故选 B. 6. A 7. B　 【解析】∵ 该组数据的平均数为 82 分钟,设被污 损的数据为 x,∴ (75+80+85+90+x)÷5 = 82,解得 x = 80,∴ 这组数据为:75,80,85,90,80,∵ 80 出现的次 数最多,∴ 这组数据的众数为 80 分钟. 故选 B. 8. 77. 4 9. 2. 5　 【解析】∵ 众数为 2,∴ x = 2,即这组数据的中位 数是(2+3)÷2 = 2. 5. 10. 甲 11. 解:(1)144　 统计表:1 乙校成绩条形统计图 (2)甲校的平均分为 1 20 ×(7×11+9×1+8×10) = 8. 3 (分),中位数为 7 分;甲、乙两校平均分相等,乙校 中位数大于甲校中位数,所以乙校成绩较好. (3)因为要 8 名学生参加市汉字听写大赛,甲校得 10 分的有 8 人,而乙校得 10 分的只有 5 人,所以应 选甲校. 12. 解:(1)48　 49　 45% (2)乙班的学生测试成绩较好,理由:乙班的优秀率 大于甲班; (3)甲班优秀的学生人数有:20×35% = 7(人),乙班 有 9 人,1000× 7+9 20+20 = 400(人). 答:估计该校初三年级参加此次测试中成绩优秀的 学生人数是 400 人. 期末测前题型训练 选填题 1. B 2. A　 【解析】0. 000000014 = 1. 4×10-8,故选 A. 3. D 4. B 5. A　 【解析】由题可知 k>0,∴ 一次函数 y= x+k 的图象 经过第一、二、三象限. 故选 A. 6. A 7. B 8. D　 【解析】原数据的 1、3、3、5 的平均数为 1+3+3+5 4 = 3,中位数为 3+3 2 = 3,众数为 3,方差为 1 4 ×[(1-3) 2 + (3-3) 2 ×2+(5-3) 2] = 2;新数据 1、3、3、3、5 的平均数 为 1+3+3+3+5 5 = 3,中位数为 3,众数为 3,方差为 1 5 × [(1-3) 2 +(3-3) 2 ×3+(5-3) 2] = 1. 6;∴ 添加一个数 据 3,方差发生变化. 故选 D. 9. B 10. D　 【解析】∵ AB=AE,∴ ∠B= ∠AEB. ∵ 四边形 AB- CD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AB = CD = AE,∠B = ∠ADC,∴ ∠DAE = ∠AEB. ∵ AE 平 分 ∠DAB, ∴ ∠DAE = ∠BAE, ∴ ∠B = ∠AEB = ∠BAE. ∵ ∠B + ∠AEB+∠BAE = 180°,∴ ∠B = ∠AEB = ∠BAE = 60° = ∠ADC = ∠DAE. ∵ ∠EAC = 25°,∴ ∠BAC = 85°. ∵ AB∥CD,∴ ∠ACD = ∠BAC = 85°,在△ADC 和△DAE 中, AD=DA ∠ADC= ∠DAE CD=AE { ,∴ △ADC≌△DAE( S. A. S. ), 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 37 页 ∴ ∠AED= ∠ACD= 85°. 故选 D. 11. C 　 【解析】 ∵ 菱形 ABCD 对角线 AC = 8cm,BD = 6cm,∴ AC⊥BD,OA= 1 2 AC= 1 2 ×8 = 4( cm),OB = 1 2 BD = 1 2 × 6 = 3 ( cm ), 根 据 勾 股 定 理, 得 AB = OA2 +OB2 = 5(cm),菱形 ABCD 的面积 = 1 2 AC·BD =AB·DE,即 1 2 ×8×6 = 5DE,解得 DE = 4. 8cm. 故选 C. 12. D　 13. A 14. C　 【解析】在矩形 ABCD 中,AB = 6cm,对角线 AC = 10cm,∴ BC= AC2 -AB2 = 102 -62 = 8(cm),当 0≤ t≤3 时,S= 1 2 BC·AP= 1 2 ×8×2t = 8t;当 3<t≤7 时, S= S△ABC-S△ABP = 1 2 ×6×8- 1 2 AB·BP= 24- 1 2 ×6×(2t -6)= -6t+42. ∴ 大致反映 S 与 t 之间函数关系的是 选项 C. 故选 C. 15. 5 16. x≠-1　 【解析】要使分式 x x+1 有意义,则 x+1≠0,解 得 x≠-1. 17. 1(答案不唯一) 18. 87　 【解析】根据题意得:(80×3+90×7)÷(3+7)= 87 (分) . 19. y= - 2 3 x+ 2 3 　 【解析】把 A(0,2),B(3,0)代入 y = kx +b 得 b= 23k+b= 0{ ,解得 k= - 2 3 b= 2 { . 所以一次函数解析式 为 y= - 2 3 x+2,把直线 y = - 2 3 x+2 沿着 x 轴向左平 移 2 个单位,所得新图象所对应的函数解析式为 y= - 2 3 (x+2)+2 = - 2 3 x+ 2 3 . 20. 小明 21. 20°　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = AD, ∠B= ∠D= 60°,∴ ∠BAD = 120°,在△ABG 和△ADE 中, AB=AD ∠B= ∠D BG=DE { , ∴ △ABG ≌ △ADE ( S. A. S. ), ∴ ∠BAG= ∠DAE,∵ 将△ADE 沿 AE 折叠,∴ ∠DAE = ∠FAE,∠AED = ∠AEF,∴ ∠DAE = 1 3 ∠BAD = 40°, ∴ ∠AED= 180°-∠DAE-∠D= 180°-40°-60° = 80°, ∴ ∠FEC= 180°-2∠AED= 180°-160° = 20°. 22. 3cm　 【解析】由题意设 CN= xcm,则 EN= (8-x)cm. 又∵ CE= 1 2 BC= 4cm,∴ 在 Rt△ECN 中,EN2 =EC2 + CN2,即(8-x) 2 = 42 +x2,解得 x= 3,即 CN= 3cm. 23. 2 或 5　 【解析】当△CEB′为直角三角形时,有两种 情况:①当点 B′落在矩形内部时,如图 1,连结 AC, 在 Rt△ABC 中,AB = 6,BC = 8,∴ AC = AB2 +BC2 = 62 +82 = 10,∵ △ABE 沿 AE 折叠,使点 B 落在点 B′处,∴ ∠AB′E= ∠B= 90°,当△CEB′为直角三角形 时,得到∠EB′C = 90°,∴ 点 A、B′、C 共线,∴ EB = EB′,AB=AB′= 6,∴ CB′=AC-AB′= 10-6 = 4,设 CE= x,则 BE=B′E= 8-x,在 Rt△CEB′中,∵ B′E2 +CB′2 = CE2,∴ (8-x) 2 +42 = x2,解得 x = 5,∴ CE = 5;②当点 B′落在 AD 边上时,如图 2,此时 ABEB′为正方形,∴ BE=AB= 6,∴ CE = BC-BE = 8-6 = 2. 综上所述,CE 的长为 2 或 5. 图 1 　 　 图 2 期末测前题型训练 简单解答题 1. 解:(1)原式= 1-4+3+2 = 2; ( 2 ) 原 式 = x-(x-1) x-1 ÷ (x +1)(x-1) (x-1) 2 = 1 x-1 · (x-1) 2 (x+1)(x-1) = 1 x+1 . 2. 解:(1)方程两边同时乘以( x+3) ( x-3),约去分母, 得 5x-8-(x+3)(x-3)= -(x-3) 2 . 解这个整式方程, 得 x= 10. 检验:把 x= 10 代入(x+3) (x-3),得(x+3) (x-3)≠0,∴ 原方程的解是 x= 10; (2)方程两边同时乘以(x+1) ( x-1),约去分母,得 4 -(x+2)(x+1)= 1-x2 . 解这个整式方程,得 x = 1 3 . 检 验:把 x= 1 3 代入(x+1) ( x-1),得( x+1) ( x-1) ≠0, ∴ 分式方程的解为 x= 1 3 . 3. 解:原式 = [ x2 x+1 - (x +1)(x-1) x+1 ] · (x+1) 2 x-1 = 1 x+1 · (x+1) 2 x-1 = x +1 x-1 ,要使分式有意义,x 不能取-1,1,则当 x= 0 时,原式= 0+1 0-1 = -1. 4. 解:(1)①135　 134. 5 ②甲组的平均数 n = 1 10 ×(132+134+135×5+136×2+ 137)= 135;乙组的方差 m = 1 10 × [( 133 - 135) 2 + 4 × (134-135) 2 +(135-135) 2 +2×(136-135) 2 +2×(137- 135) 2] = 1. 8; (2)从中位数看,甲组每分钟输入 135 字以上的人数 比乙组多,甲组成绩更好一些;从方差看,s甲 2 <s乙 2,甲 组成绩波动小,比较稳定. (答案不唯一) 5. (1)解:如图,射线 AC 即为所求; (2) 证明: ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADB = ∠DBC, ∠DAC = ∠ACB, ∵ BD 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABD = ∠DBC, ∴ ∠ABD= ∠ADB, ∴ AB = AD, ∵ AC⊥BD, ∴ ∠BAC = ∠DAC,∴ ∠BAC = ∠ACB,∴ BA = BC,∴ AD = BC,∵ 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 38 页 AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,又∵ AB = AD,∴ 四边形 ABCD 是菱形. 6. 解:(1)∵ Rt△AOC 的面积等于 3,∴ 1 2 ·c= 3, ∴ c = 6,∴ 反比例函数为 y = 6 x ,∵ 反比例函数 y = 6 x 的图 象经过点 A(3,m)、B(n,-3),∴ 3×m = 6,-3n = 6,解 得 m= 2,n = -2,∴ A(3,2),B( -2,-3) . 把 A、B 的坐 标代入 y = kx+b 得 3k+b= 2-2k+b= -3{ ,解得 k= 1 b= -1{ ,∴ 一次 函数的解析式为 y= x-1. (2)观察图象,不等式 kx+b> c x 的解集为:-2<x<0 或 x>3. (3)∵ AC⊥x 轴,∴ C(3,0),当 y= 0 时,x-1 = 0,x = 1, ∴ D(1,0),∴ CD = 3-1 = 2,过点 B 作 BE⊥AC 交 AC 延长线于点 E,过点 P 作 PF⊥AC 交 AE 于点 F,设点 P 的横坐标为 n,则其纵坐标为(n-1),∴ S△ABC = 1 2 · AC·BE= 1 2 ×2×[3-( -2)] = 5,S△APC = 1 2 ·AC·PF = 1 2 ×2×(3-n)= 3-n, ①当 S△APC = 2 5 S△ABC = 2 5 ×5 = 2 时,∴ 3-n= 2,解得 n = 1;②当 S△APC = 3 5 S△ABC = 3 5 ×5 = 3 时,∴ 3-n= 3,解得 n= 0. 当 n = 1 时,n-1 = 0;当 n = 0 时,n-1 = -1. ∴ 符合条件的点 P 坐标为(1,0)或 (0,-1) . 7. (1)证明:∵ CE、CF 分别是△ABC 的内、外角平分线, ∴ ∠ACE+∠ACF = 1 2 × 180° = 90°. ∵ AE⊥CE,AF⊥ CF,∴ ∠AEC= ∠AFC= 90°,∴ 四边形 AECF 是矩形; (2) 解:当△ABC 满足∠ACB = 90°时,四边形 AECF 是正方形,理由:∵ ∠ACE = 1 2 ∠ACB = 45°,∠AEC = 90°,∴ ∠EAC = 45° = ∠ACE, ∴ AE = CE. ∵ 四边形 AECF 是矩形,∴ 四边形 AECF 是正方形. 8. 解:(1)∵ D(0,4),∴ OC=OD= 4,∴ C(4,0),将 C(4, 0),D( 0,4) 代入 y = kx+b( k≠0) 得 4k+b= 0b= 4{ ,解得 k= -1 b= 4{ ,∴ 一次函数解析式为 y= -x+4; (2)过 B 作 BE⊥OC 于点 E. ∵ S△BOC = 2,OC = 4,∴ 1 2 ×4·BE= 2,∴ BE= 1,即 yB = 1,∵ 点 B 在直线 y= -x+ 4 上,∴ 1 = -x+4,解得 x= 3,∴ B(3,1),∵ 反比例函数 y= m x (x>0)的图象过点 B,∴ m= 3×1 = 3,∴ 反比例函 数解析式为 y= 3 x . 期末测前题型训练 中档解答题 1. 解:(1)设 A 种护眼灯每台的进价是 x 元,则 B 种护 眼灯每台的进价是(x-40)元,由题意得 2000 x = 1600 x-40 , 解得 x= 200,经检验,x = 200 是原方程的解且符合题 意,x-40 = 160. 答:A 种护眼灯每台的进价是 200 元, B 种护眼灯每台的进价是 160 元; (2)设购进 A 种护眼灯 a 台,则购进 B 种护眼灯(80- a)台,由题意得 200a+160(80-a)≤14550,解得 a≤ 43 3 4 ,设利润为 y 元,y=(300-200)a+(200-160)(80- a)= 60a+3200,∵ k= 60>0,∴ 当 a= 43 时,y 最大为 60× 43+3200= 5780(元) . 答:进货方案为购进 A 种护眼灯 43 台,B 种护眼灯 37 台,最大利润为 5780 元. 2. 解:(1)设甲种苹果销售额 y甲 与销售量 x 之间的函 数关系式是 y甲 = kx,∵ 点(120,2400) 在该函数图象 上,∴ 2400 = 120k,解得 k = 20,即甲种苹果销售额 y甲 与销售量 x 之间的函数关系式是 y甲 = 20x; (2)当 30≤x≤120 时,设乙种苹果对应的函数解析 式为 y=mx+n,∵ 点(30,750),(120,2100)在该函数 图象上,∴ 30m+n= 750120m+n= 2100{ ,解得 m= 15 n= 300{ ,即当 30≤x ≤120 时,乙种苹果对应的函数解析式为 y = 15x + 300,由 y= 20xy= 15x+300{ 可得 x= 60 y= 1200{ ,即点 B 的坐标为 (60,1200),点 B 表示的实际意义是当销售量为 60kg 时,甲、乙两种苹果的销售额相同,都是 1200 元; (3)由图象可得,甲种苹果的销售单价为:2400÷120 = 20(元),当 x≤30 时,乙苹果的销售单价为:750 ÷ 30 = 25 (元),当 x > 30 时,乙种苹果的销售单价为 (2100-750) ÷(120-30) = 15(元),由题意可得(20- 8)a+(25-12) ×30+(15-12)(a-30)= 1695,解得 a = 93,即 a 的值为 93. 3. 解:(1)将 A(-4,2)代入 y2 = k2 x (x<0),得 k2 = -8,∴ 反 比例函数表达式为 y2 = - 8 x ;将 B( - 2,m) 代入 y2 = - 8 x ,得 m= 4,∴ B( -2,4) . 将 A,B 代入 y1 = k1x+b,得 -4k1 +b= 2 -2k1 +b= 4{ ,解得 k1 = 1 b= 6{ ,∴ 一次函数表达式为 y1 = x+ 6; (2)x≤-4 或-2≤x<0 (3)存在,点 P 的坐标为(4,4)或(-8,4)或(-4,-4) . 4. 解:(1)BE=DG　 BE⊥DG　 【解析】 如图,延长 BE 交 DG 于 H,∵ 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形,∴ AE = AG,AB = AD,∠BAD = ∠EAG = 90°,∴ △ABE≌ △ADG ( S. A. S. ), ∴ BE=DG,∠ABE = ∠ADG,∵ ∠ADG+ ∠DGA = 90°, ∴ ∠ABE+∠DGA= 90°,∴ ∠GHB= 90°,∴ BE⊥DG; (2)(1)的结论仍然成立,理由如下:设 BE 交 AD 于 O,交 DG 于 N,∵ 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正 方形,∴ AE = AG,AB = AD, ∠BAD = ∠EAG = 90°, ∴ ∠BAE = ∠DAG, 在 △ABE 和 △ADG 中, AB=AD ∠BAE= ∠DAG AE=AG { ,∴ △ABE≌△ADG( S. A. S. ),∴ BE =DG,∠ABE= ∠ADG,∵ ∠ABE+∠AOB = 90°,∠AOB = ∠DON,∴ ∠ADG+∠DON = 90°,∴ ∠DNO = 90°,∴ BE⊥DG; (3)7　 3　 【解析】∵ 将正方形 AEFG 在平面内绕点 A 任意旋转,∴ 当点 E 在线段 AB 上时,BE 有最小值 = AB-AE= 5-2 = 3,当点 E 在线段 BA 的延长线上时, BE 有最大值=AB+AE= 5+2 = 7. 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 39 页