铺路帮手-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年八年级下册数学（北师大版 河南专版）

第一周　 等腰三角形(1. 1) 测试时间:40 分钟　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 用反证法证明命题“钝角三角形中至少有 一个内角小于 45°”时,首先应该假设这个 钝角三角形中(　 　 ) A. 有一个内角小于 45° B. 每一个内角都小于 45° C. 有一个内角大于等于 45° D. 每一个内角都大于等于 45° 2. 如图,在△ABC 中,AB =AC,D 是 BC 边上的 中点,∠B= 30°,则∠DAC 等于(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 3. 在等腰三角形中,已知一个角是另一个角的 2 倍,则这个等腰三角形的顶角为(　 　 ) A. 36° B. 30°或 100° C. 90° D. 36°或 90° 4. (遵化期末)若实数 m、n 满足等式 | m-2 | + n-4 = 0,且 m、n 恰好是等腰△ABC 的两条 边的边长,则△ABC 的周长是(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 8 或 10 5. 如图, △ABC 中, ∠C = 90°,AB = 8, ∠B = 30°,点 P 是 BC 边上的动点,则 AP 长不可 能是(　 　 ) A. 3. 5 B. 4. 2 C. 5. 8 D. 7. 3 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 如图所示,△ABC 是等边三角形,AQ = PQ, PR⊥AB 于 R 点,PS⊥AC 于 S 点,PR = PS, 则四个结论:①点 P 在∠BAC 的平分线上; ②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP,正 确的结论是(　 　 ) A. ①②③④ B. 只有①② C. 只有②③ D. 只有①③ 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. 如图,正三角形的三个内角平分线交于 O 点,则∠2-∠1 = 　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,∠EAF = 15°,AB = BC = CD,则∠ECD 等于　 　 　 　 . 9. 如图,等边三角形纸片 ABC 的边长为 6,E, F 是边 BC 上的三等分点,分别过点 E,F 沿 着平行于 BA,CA 方向各剪一刀,则剪下的 △DEF 的周长是　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,O 是等边△ABC 内一点,连接 OA, OB,OC,∠AOB= 100°,∠BOC=α,在 AC 右 侧作△ADC≌ △BOC,连接 OD. 若△AOD 是等腰三角形,则 α 的度数为　 　 　 　 . 三、解答题(共 25 分) 11. (8 分)如图,在等边△ABC 中,点 D,E 分 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 1 页 别在边 BC,AC 上,且 DE∥AB,过点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F. (1)求∠F 的度数; (2)若 CD= 3,求 DF 的长. 12. (7 分)图 1 是一个地铁站入口的双翼闸 机. 如图 2,它的双翼展开时,双翼边缘的 端点 A 与 B 之间的距离为 10 cm,双翼的 边缘 AC= BD = 54 cm,且与闸机侧立面夹 角∠PCA= ∠BDQ= 30°. 求当双翼收起时, 可以通过闸机的物体的最大宽度. 图 1 　 　 图 2 13. (10 分)经过三角形一个顶点及其对边上 一点的直线,若能将此三角形分割成两个 等腰三角形,称这个三角形为“钻石三角 形”,这条直线称为这个三角形的“钻石分 割线”. 例如,如图,△ABC 中,点 D 在 AB 边上,若 AD = DC = CB,则称△ABC 是“钻 石三角形”,直线 CD 是△ABC 的“钻石分 割线”. (1) 已知 Rt △ABC 中, ∠A = 90°, ∠B = 60°,则 Rt△ABC 　 　 　 　 “钻石三角形” (填“是”或者“不是”); (2) 已知,△ABC 是“钻石三角形”,∠A> ∠B>∠C,直线 BD 是△ABC 的“钻石分割 线”,探求∠ABC 与∠C 之间的关系. 　 　 备用图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 2 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 1 等腰三角形的三线合一 ———教材 P4 习题 3 变式 变式角度 1　 添加垂线,判断三角形形状 1. 如图,在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中,∠A= ∠D = 90°, AC、 DB 相交于点 O. 若 AB = DC, ∠OBC= 30°,BO= 6,求线段 BC 的长度. 变式角度 2　 作垂直构造三线合一 2. 如图,在△ABC 中,BC= 2AB,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,E 是 BD 上一点,满足 BE = CE. 求证:AE⊥AB. 变式角度 3　 连接线段构造三线合一 3. △ABC 中, ∠A = 90°,AB = AC,D 为 BC 的 中点. (1)如图,若 E、F 分别是 AB、AC 上的点,且 BE=AF. 求证:△DEF 为等腰直角三角形; (2)若 E,F 分别为 AB,CA 延长线上的点, 仍有 BE=AF,连接 DE、DF,其他条件不变, 那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形? 证 明你的结论. 变式角度 4　 角平分线及垂线构造三线合一 4. 已知:如图,在△ABC 中,∠ABC = 3∠C,∠1 = ∠2,BE⊥AE. 求证:AC-AB= 2BE. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 3 页 第二周　 直角三角形(1. 2) 测试时间:40 分钟　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 如图,在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°, ∠BAC = 26°,AF∥BE. 若 BE 平分∠ABC,则∠BAF = (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 152° B. 148° C. 122° D. 116° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,CD⊥AB 于点 D,EF⊥AB 于点 F,CD = EF. 要 根 据 “ HL ” 证 明 Rt △ACD ≌ Rt△BEF,则还需要添加的条件是(　 　 ) A. ∠A= ∠B B. ∠C= ∠E C. AC=BE D. AD=BF 3. 满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的 是(　 　 ) A. a ∶b ∶c= 3 ∶4 ∶5 B. ∠A ∶∠B ∶∠C= 9 ∶12 ∶15 C. ∠C= ∠A-∠B D. b2 -a2 = c2 4. △ABC 中,AB = 13,AC = 15,高 AD = 12,则 BC 的长为(　 　 ) A. 14 B. 4 C. 14 或 4 D. 以上都不对 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,沿 CD 折叠 △CBD,使点 B 恰好落在边 AC 上点 E 处,若 ∠A= 25°,则∠ADE 的大小为(　 　 ) A. 40° B. 50° C. 65° D. 75° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,在四边形 ABCD 中,AB= 1,BC= 1,CD= 2,DA = 6 ,且∠ABC = 90°,则四边形 ABCD 的面积是(　 　 ) A. 2 　 　 B. 1 2 + 2 C. 1+ 2 　 　 D. 1 + 2 2 7. (烟台期中)小颖的妈妈用圆柱形的水杯喝 花茶,由于吸管有点短,不小心斜滑到杯里, 已知杯口的直径 6 cm,杯子内部高度 8 cm, 要使吸管不斜滑到杯里,吸管最短应该是 (　 　 ) A. 9 cm B. 10 cm C. 11 cm D. 12 cm 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 8. 对于命题“如果 a = b,那么 ac = bc. ”,它的逆 命题是　 　 　 　 命题. (填“真”或“假”) 9. 如图,是一段楼梯,高 BC 是 3 m,斜边 AC 是 5 m,如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地 毯　 　 　 　 m. 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. (北京中考)如图所示的网格是正方形网 格,则∠PAB+∠PBA=　 　 　 　 °(点 A,B,P 是网格线交点). 11. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 10,BC = 5,线 段 PQ=AB,P,Q 两点分别 在线段 AC 和过点 A 且垂 直于 AC 的射线 AO 上运 动,当 AP = 　 　 　 时, △ABC 和 △PQA 全等. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 4 页 三、解答题(共 27 分) 12. (8 分)如图,点 C 是线段 BD 上的一点,∠B =∠D= 90°,AB= 3,BC= 2,CD= 6,DE= 4,AE = 65 .求证:∠ACE= 90°. 13. (8 分)在△ABC 中,AB =CB,AB⊥CB,F 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上,且 AE = CF.求证:BE=BF. 14. (11 分)如图,有两条公路 OM,ON 相交成 30°,沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所 学校 A,当重型运输卡车 P 沿道路 ON 的方 向行驶时,以 P 为圆心,50 米长为半径的圆 形区域内都会受到卡车噪声的影响,且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大,若重 型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度 为 5 米 /秒. (1)求卡车 P 对学校 A 的噪声影响最大时, 卡车 P 与学校 A 的距离; (2)求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次,它 给学校 A 带来噪声影响的总时间. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 5 页 第三周　 线段的垂直平分线、角平分线(1. 3-1. 4) 测试时间:40 分钟　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 如图是“一带一路” 示意图,若记北京为 A 地,莫斯科为 B 地,雅典为 C 地,分别连接 AB、AC、BC,形成了一个三角形. 若想建立一 个货物中转仓,使其到三边的距离相等,则中 转仓的位置应选在(　 　 ) A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E,连接 AE,若 AE= 4,EC= 2, 则 BC 的长是(　 　 ) A. 2　 　 　 B. 4　 　 　 C. 6　 　 　 D. 8 3. 如图,在△ABC 中,AC>BC,分别以点 A,B 为 圆心,以大于 1 2 AB 的长为半径画弧,两弧交 于 D,E,经过 D,E 作直线分别交 AB,AC 于点 M,N,连接 BN,下列结论正确的是(　 　 ) A. AN=NC B. AN=BN C. MN= 1 2 BC D. BN 平分∠ABC 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,DE⊥AB 于点 E,CD=DE,∠CBD= 26°,则∠A 的度数为 (　 　 ) A. 40° B. 34° C. 36° D. 38° 5. 如图所示,在△ABC 中,∠BAC = 144°,MG、 NH 分别垂直平分 AB、AC,交 BC 边于点 G、 H,则∠GAH 的度数为(　 　 ) A. 108° B. 72° C. 58° D. 36° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,点 P 是∠AOB 的平分线 OC 上一点, PN⊥OB 于点 N,点 M 是线段 ON 上一点. 已知 OM= 3,ON = 5,点 D 为 OA 上一点,若 满足 PD=PM,则 OD 的长度为(　 　 ) A. 3 B. 5 C. 5 或 7 D. 3 或 7 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. 如图,△ABC 中,∠B = 55°,∠C = 30°,分别 以点 A 和点 C 为圆心,大于 1 2 AC 的长为半 径画弧,两弧相交于点 M、N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则∠BAD 的度数为　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,在长方形 ABCD 中,AD = BC = 3,AB = CD= 4,AC = 5,动点 M 在线段 AC 上运动 (不与端点重合),点 M 关于边 AD,DC 的对 称点分别为 M1,M2, 连接 M1M2, 点 D 在 M1M2 上,则在点 M 的运动过程中,线段 M1M2 长度的最小值是　 　 　 　 . 9. 如图,若 P 是∠BAC 的平 分线 AD 上一点,PE⊥AC 于点 E,且 PE = 3,AE = 4, 点 F 在射线 AB 上运动,当 运动到某一位置时,△FAP 的面积恰好是△EAP 面积的 1 2 ,则此时 AF 的长是　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 6 页 三、解答题(共 28 分) 10. (8 分)已知,∠AOB 和两点 C、D,求作一点 P,使 PC = PD,且点 P 到∠AOB 的两边的 距离相等. (要求:用尺规作图,保留作图 痕迹,不写作法,不要求证明) 11. (10 分)嘉淇要证明命题“线段外一点到线 段两端点相等的点在该线段的垂直平分线 上”是正确的,她先画出了如图所示的图 形,并写出了不完整的已知和求证. 已知:∠AOB,点 C 是射线 OA 上一点,点 D 是射线 OB 上一点,OC= 　 　 　 　 . 求证:点 C 在线段 OD 的　 　 　 　 上. (1)在方框中补全已知和求证; (2)请你根据嘉淇的想法写出证明过程. 12. (10 分)如图,OF 是∠MON 的平分线,点 A 在射线 OM 上,P,Q 是直线 ON 上的两动 点,点 Q 在点 P 的右侧,且 PQ = OA,作线 段 OQ 的垂直平分线,分别交直线 OF,ON 于点 B,点 C,连接 AB,PB. (1) 如图 1, 当 P, Q 两点都在射线 ON 上时, 则 线 段 AB 与 PB 的 数 量 关 系 是　 　 　 　 . (2)如图 2,当 P,Q 两点都在射线 ON 的反 向延长线上时,线段 AB,PB 是否还存在 (1)中的数量关系? 若存在,请写出证明 过程;若不存在,请说明理由. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 7 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 2 三角形的角平分线 ———教材 P32 习题 2 变式 变式角度 1　 改为内角平分线,求证线段的数 量关系 1. (1)如图 1,在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠B = 60°,AD、CE 分别平分∠BAC,∠BCA,交于 F,试判断 FE 与 FD 之间的数量关系. (2)如图 2,若∠ACB≠90°,其他条件不变, 请问(1)中所得的结论是否仍然成立? 若 成立,请证明;若不成立,说明理由. 图 1 　 　 图 2 变式角度 2　 三角形改为四边形 2. 如图, AD∥BC, ∠D = 90°, ∠CPB = 30°, ∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于 点 P,且 D,P,C 在同一条直线上. (1)求∠PAD 的度数; (2)求证:P 是线段 CD 的中点. 变式角度 3　 增加直角三角形,求面积 3. 已知:在△ABC 中,BD 平分∠ABC,CD 平分 ∠ACB,连接 AD,作 DE⊥AB,DE= 2,AC= 4, 求△ADC 的面积. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 8 页 第四周　 一元一次不等式(2. 1-2. 4) 测试时间:40 分钟　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 在下列数学表达式:①x+y<0,②x +3 2 >x -5 3 , ③x= y,④x3 +2x2 +1,⑤5>-3,⑥a+b≠1 中, 是不等式的有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 2. 若 a>b,则下列不等式变形错误的是(　 　 ) A. a+5>b+5 B. a-5>b-5 C. -5a>-5b D. a 5 > b 5 3. 在数轴上表示不等式 3-x≤1 的解集,正确 的是(　 　 ) A. B. C. D. 4. 如果关于 x 的不等式(a+1) x>a+1 的解集 为 x<1,则 a 的取值范围是(　 　 ) A. a<0 B. a<-1 C. a>1 D. a>-1 5. 第 24 届北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪 容融”受到大家的喜爱,某网店出售这两种 吉祥物,“冰墩墩”售价 48 元 / 个,“雪容融” 售价 30 元 / 个,小明妈妈一共买了 10 个吉 祥物,总共花费不超过 400 元,若设购买“冰 墩墩”x 个,则能够得到的不等式是(　 　 ) A. 48x+30(10-x) >400 B. 48x+30(10-x) <400 C. 48x+30(10-x)≥400 D. 48x+30(10-x)≤400 6. 老师设计了接力游戏,用合作的方式完成解 一元一次不等式,规则是:每人只能看到前 一人给的式子,并进行一步计算,再将结果 传递给下一人,最后完成化简. 过程如图 所示: 接力 中, 自 己 负 责 的 一 步 出 现 错 误 的 是(　 　 ) A. 只有乙 B. 甲和乙 C. 乙和丙 D. 乙和丁 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. [跨学科试题]某弹簧测力计的测量范围是 0 至 50 N(含 50 N),佳佳未注意到弹簧测 力计的测量范围,用这个弹簧测力计测量一 个物体,取下物体后,发现弹簧没有恢复原 状. 设这个物体的重力为 G,则这个物体的 重力范围用不等式表示为　 　 　 　 . 8. 不等式 2x-3≤5x 的非正整数解有　 　 　 　 个. 9. 在一次知识竞赛中有 50 道题,评分标准:答 对一道得 2 分,答错一道倒扣 1 分,不答得 0 分,某学生有 4 道题没有答,这个学生至 少答对 　 　 　 　 道题,成绩才能不低于 82 分. 10. 对 m、n 定义一种新运算“ ∗”,规定:m∗n =am-bn+ 5(a、b 均为非零常数),等式右 边的运算是通常的四则运算,例如 3∗4 = 3a-4b+5. 已知 2∗3 = 1,3∗( -1) = 10. 则 关于 x 的不等式 x∗(2x-3) <9 的最小整 数解为　 　 　 　 . 三、解答题(共 30 分) 11. ( 10 分) 解不等式, 并将解集表示在数 轴上. (1)2x-3(x+1)≤1; 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 9 页 (2)2x -3 3 >3x +1 6 -1. 12. (10 分)某商店用 1 200 元购进了甲、乙两 种圆珠笔. 已知甲种笔进价为每支 12 元, 乙种笔进价为每支 10 元. 商店在销售时, 甲种笔售价为每支 15 元,乙种笔售价为每 支 12 元,全部售完后共获利 270 元. (1) 求这个商店购进甲、乙两种笔各多 少支; (2)若该商店以原价再次购进甲、乙两种 笔,且购进甲种笔的数量不变,而购进乙种 笔的数量是第一次的 2 倍,乙种笔按原售 价销售,而甲种笔降价销售,当两种笔销售 完毕时,要使再次购进的笔获利不少于 340 元,甲种笔最低售价每支应为多少元? 13. (10 分)【阅读思考】 阅读下列材料: 已知“x-y = 2,且 x>1,y<0,试确定 x+y 的 取值范围”有如下解法: 解:∵ x-y= 2,∴ x = y+2. 又∵ x>1,∴ y+2> 1,∴ y>-1. 又∵ y<0,∴ -1<y<0. ①同理 1< x<2. ②由①+②得-1+1<x+y<0+2,∴ x+y 的取值范围是 0<x+y<2. 【启发应用】 请按照上述方法,完成下列问题: 已知 x-y= 3,且 x>2,y<1,则 x+y 的取值范 围是 　 　 　 ; 【拓展推广】 请按照上述方法,完成下列问题: 已知 x+y= 2,且 x>1,y>-4,试确定 x-y 的 取值范围. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 10 页 第五周　 一元一次不等式(组)与一次函数(2. 5-2. 6) 测试时间:40 分钟　 测试分数:65 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 利用一次函数 y = ax+b 的图象解关于 x 的 不等式 ax+b<0,若它的解集是 x>-2,则一 次函数 y=ax+b 的图象为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 将一箱苹果分给若干位小朋友,若每位小朋 友分 5 个苹果,则还剩 12 个苹果,若每位小 朋友分 8 个苹果,则有一位小朋友分到了苹 果但不足 8 个,则有小朋友(　 　 ) A. 7 位 B. 6 位 C. 5 或 6 位 D. 37 或 42 位 3. 一次函数 y1 = mx+n 与 y2 = -x+a 的图象如 图所示,则 mx+n>-x+a 的解集为(　 　 ) A. x>3 B. x<3 C. x<2 D. x>2 4. 不等式组 x+1≥2 -2x>-4{ 的解集在数轴上表示 为(　 　 ) A. B. C. D. 5. 已知关于 x 的不等式组 x-a<0 2x+3>0{ 的解集中 至少有 5 个整数解,则整数 a 的最小值 为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 研究表明,运动时将心率 p(次)控制在最佳 燃脂心率范围内,能起到燃烧脂肪并且保护 心脏功能的作用. 最佳燃脂心率最高值不应 该超过( 220 -年龄) × 0. 8,最低值不低于 (220-年龄) ×0. 6. 以 30 岁为例计算,220- 30 = 190,190×0. 8 = 152,190×0. 6 = 114,所 以年龄为 30 岁的最佳燃脂心率的范围可表 示为(　 　 ) A. 114≤p≤152 B. 114<p<152 C. 114≤p≤190 D. 114<p<190 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. 已知,一次函数 y = kx+b(k≠0)的图象经过 点(3,2),且 y 随 x 的增大而减小,则不等式 kx+b>2 的解集为　 　 　 　 . 8. 在平面直角坐标系中, 如果点 A ( m +3 2 , 2m-1 3 ) 在 第 四 象 限, 则 m 的 取 值 范 围 是　 　 　 　 . 9. “输入一个实数 x,然后经过如图的运算,到 判断是否大于 154 为止”叫做一次操作,那 么恰好经过三次操作停止,则 x 的取值范围 是　 　 　 　 . 三、解答题(共 38 分) 10. (8 分)解不等式组 3x-1<x+5 x-3 2 <x-1 ì î í ï ï ï ï ,把它的解 集表示在数轴上,并求出这个不等式组的 整数解. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 11 页 11. ( 8 分 ) 已 知 关 于 x、 y 的 方 程 组 x-2y=m① 2x+3y= 2m+4②{ 的 解 满 足 不 等 式 组 3x+y≤0 x+5y≥0{ ,求满足条件的 m 的整数值. 12. (11 分)如图,直线 y = kx+b 经过点 A( -5, 0),B( -1,4) . (1)求点 D 的坐标; (2)求直线 CE:y = -2x-4 与直线 AB 及 y 轴围成图形的面积; (3)根据图象,直接写出关于 x 的不等式 kx+b>-2x-4 的解集. 13. (11 分)某工艺品店购进 A,B 两种工艺 品,已知这两种工艺品的单价之和为 100 元,购进 2 个 A 种工艺品和 3 个 B 种工艺 品需花费 260 元. (1)求 A、B 两种工艺品的单价; (2)该店主欲用 4 800 元进货,且最多购进 A 种工艺品 37 个,B 种工艺品的数量不超 过 A 种工艺品的 2 倍,共有几种进货方案? (不需要写出每种进货方案) (3)已知每个 A 种工艺品售价为 54 元,每 个 B 种工艺品售价为 78 元,该店主决定每 售出一个 A 种工艺品就为希望工程捐款 m 元. 在(2)的条件下,若 A、B 两种工艺品全 部售出后所有方案获利均相同, 求 m 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 12 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 3 一元一次不等式(组)的解 ———教材 P47 例 2 变式 变式角度 1　 添加一个不等式,变成不等式组 1. 解不等式组: 5x>x-10 3-x≥x -3 4 ì î í ï ï ïï ,并把解集在数轴 上表示出来. 变式角度 2　 设问改为求整数解 2. 求不等式 2(x +1) 3 < 5(x -1) 6 + 1 的最小整 数解. 变式角度 3　 添加含参不等式,求取值范围 3. 若关于 x 的不等式组 2x-3>0 x-2a<3{ 恰好有 3 个 整数解,求实数 a 的取值范围. 变式角度 4　 与方程(组)的解结合 4. 已知方程组 2x-y= 1+2a x+4y= 2+a{ 的解满足- 1<x+y ≤3. (1)求 a 的取值范围; (2)当 a 为何整数时,不等式 2ax-x>2a-1 的解集为 x<1? 针对训练 5. 若不等式x +1 6 -2x-5 4 ≥1 的解都能使不等式 3x<2x+a 成立,求 a 的取值范围. 6. 已知不等式 3(2x+5) >2(4x+3)的最大整数 解是方程 2x-ax= 16 的解,求 a 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 13 页 7. 已知不等式组 x-m>0 x-m<1{ 的解集中任意一个 x 的值均不在 4≤x≤7 的范围内,求 m 的取 值范围. 8. 若关于 x 的不等式组 -2(x-2) -x<2 k-x 2 ≥- 1 2 +x ì î í ï ï ïï 最多有 2 个整数解,且关于 y 的一元一次方程 3(y- 1) -2(y-k) = 7 的解为非正数,求符合条件 的所有整数 k 的和. 9. 请阅读下面求含绝对值的不等式 | x | <3 和 | x | >3 的解集过程. 对于含绝对值的不等式 | x | <3,从图 1 的数 轴上看:大于-3 而小于 3 的数的绝对值小 于 3,所以 | x | <3 的解集为-3<x<3;对于含 绝对值的不等式 | x | > 3,从图 2 的数轴上 看:小于-3 或大于 3 的数的绝对值大于 3, 所以 | x | >3 的解集为 x<-3 或 x>3. (1) 含绝对值的不等式 | x | > 2 的解集 为　 　 　 　 ; (2) 已知含绝对值的不等式 | x - 1 | < a (a≥0)的解集为 b<x<3,求实数 a,b 的值; (3)已知关于 x,y 的二元一次方程 x+y= -m -1 的解满足 | x+y | ≤2,其中 m 是正数,求 m 的取值范围. 图 1 图 2 10. 定义:如果一元一次不等式①的解都是一 元一次不等式②的解,那么称一元一次不 等式①是一元一次不等式②的蕴含不等 式. 例如:不等式 x<-3 的解都是不等式 x< -1 的解,则 x<-3 是 x<-1 的蕴含不等式. (1)在不等式 x>1,x>3,x<4 中,是 x>2 的 蕴含不等式的是　 　 　 　 ; (2)若 x>-6 是 3(x-1) >2x-m 的蕴含不等 式,求 m 的取值范围; (3)若 x<-2n+4 是 x<2 的蕴含不等式,试 判断 x<-n+2 是否是 x<2 的蕴含不等式, 并说明理由. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 14 页 第六周　 图形的平移与旋转 测试时间:40 分钟　 测试分数:65 分 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. 下列图形是中心对称图形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中,把点 A( -1,-3)先向 左平移 2 个单位,再向上平移 4 个单位得点 A′,则 A′的坐标是(　 　 ) A. ( -3,1) B. (3,1) C. ( -3,-7) D. (1,-7) 3. 如图所示的 Rt△ABC 向右翻滚,下列说法 正确的有(　 　 ) (1)①⇒②是旋转;(2)①⇒③是平移; (3)①⇒④是平移;(4)②⇒③是旋转. A. 1 种 B. 2 种 C. 3 种 D. 4 种 4. 如图,在正方形网格中,△EFG 绕某一点旋 转某一角度得到△RPQ,则旋转中心可能 是(　 　 ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 (0,3),点 B 的坐标为(4,0),连接 AB. 若将 △ABO 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 90°, 得 到 △A′BO′,则 A′的坐标为(　 　 ) A. (3,4) B. (4,3) C. (7,4) D. (8,3) 6. 如图,将 Rt△ABC 绕直 角顶点 C 顺时针旋转 90°,得到△A′B′C,连接 AA′,若 ∠AA′ B′ = 20°, 则∠CB′A′的度数是(　 　 ) A. 70° B. 65° C. 60° D. 55° 7. 如图,直线 a、b 垂直相交于点 O,曲线 C 关 于点 O 成中心对称,点 A 的对称点是点 A′, AB⊥a 于点 B,A′D⊥b 于点 D. 若 OB = 3, OD= 2,则阴影部分的面积之和为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,面积为 3 的等腰△ABC,AB = AC,点 B、点 C 在 x 轴上,且 B(1,0)、C(3,0),规定 把△ABC“先沿 y 轴翻折,再向下平移 1 个 单位”为一次变换,这样连续经过 2 023 次 变换后,△ABC 顶点 A 的坐标为(　 　 ) A. (2,-2 021) B. ( -2,-2 021) C. ( -2,-2 020) D. (2,-2 020) 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 9. 点 A(5,-m)和点 B(n,-4)关于原点对称, 则 m+n 的值为　 　 　 　 . 10. 如图,五角星围绕中心 O 旋转,至少旋转 　 　 　 　 °能与自身重合. 第 10 题图 　 　 第 12 题图 11. 线段 CD 是由线段 AB 平移得到的,点 A(3, -1)的对应点 C 的坐标是( -2,5),则点 B (0,4)的对应点 D 的坐标是　 　 　 　 . 12. 某小区有一块长方形的草地(如图),长 18 米,宽 10 米,空白部分为两条宽度均为 2 米 的小路,则草地的实际面积为　 　 　 　 m2. 13. 如图,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到 △EDC,若点 A,D,E 在 同一条直线上,且 AB = 1,BC= 2,则 AD 的值为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 15 页 三、解答题(共 26 分) 14. (7 分)如图,平面直角坐标系中,△ABC 三 个顶点的坐标分别为 A( - 3,5),B( - 5, 3),C( -2,2) . (1)平移△ABC 到△A1B1C1,其中点 A 的 对应点 A1 的坐标为( 3,3),请在图中画 出△A1B1C1; (2)以点 O 为旋转中心,将△A1B1C1 按顺 时针方向旋转 180°得△A2B2C2,请在图中 画出△A2B2C2; (3)△A2B2C2 与△ABC 关于某点成中心对 称,请直接写出该点的坐标为 　 　 　 . 15. ( 9 分) 如图, 正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1 关于某点中心对称,已知 A,A1, B1 三点的坐标分别是 ( 0, 5), ( 0, 1), (3,1) . (1)求对称中心的坐标; (2)写出顶点 D,B,D1,C1 的坐标. 16. (10 分)在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠ABC = 30°,BC = 3 . 将△ABC 绕点 B 顺时针旋 转 α(0° < α ≤ 120°)得到△A′BC′,点 A,点 C 旋转后的对应点分别为点 A′和点 C′. (1)如图 1,当点 C′恰好为线段 AA′的中点 时,α=　 　 　 　 °,AA′= 　 　 　 　 ; (2)当线段 AA′与线段 CC′有交点时,记交 点为点 D. 在图 2 中补全图形,猜想线段 AD 与 A′D 的数量关系并加以证明. 图 1 　 　 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 16 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 4 利用旋转进行计算 ———教材 P77 练习 1 变式 变式角度 1　 改为三角形 1. 如图,将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到 △AEF,点 E 落在 BC 边上,EF 与 AC 交于 点 G. (1)求证:△ABE 是等边三角形; (2)若∠ACB= 28°,求∠FGC 的度数. 变式角度 2　 改为直角三角形 2. 如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB = 90°, ∠B= 30°,以点 C 为旋转中心,将△ABC 旋 转到△A′B′C 的位置,且使 A′B′经过点 A. (1)求∠ACA′的度数,判断△ACA′的形状; (2)求线段 AC 与线段 A′B′的数量关系. 变式角度 3　 改为正方形 3. 在正方形 ABCD 中,E 是 CD 边上一点. (1)填空:如图 1,将△ADE 绕点 A 按顺时针 方向旋转,使 AD 与 AB 重合,得到△ABF. 由 此可得,与线段 DE 相等的线段是 　 　 　 　 , 与∠AFB 相等的角是 　 　 　 　 　 ,点 F、B、 C 三点是否共线? 　 　 　 　 (填“是”或“不 是”) (2)如图 2,点 P,Q 分别是正方形 ABCD 的 边 BC,CD 上的点,且∠PAQ= 45°,连接 PQ. ①试运用旋转的方法证明 DQ+BP=PQ. ②如图 3,连接 BD 分别交 AP、AQ 于点 M、 N,若 BM= 2,DN= 1,求 MN 的长. 图 1 　 图 2 　 图 3 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 17 页 针对训练 4. 数学兴趣小组活动时,提出了如下问题:如 图 1,在△ABC 中,若 AB = 5,AC = 3,求 BC 边上的中线 AD 的取值范围. 解决方法:延长 AD 到 E,使得 DE=AD. 再连 接 BE(或将△ACD 绕点 D 逆时针旋转 180° 得到△EBD) . 把 AB,AC,AD 集中在△ABE 中,利用三角形的三边关系可得 2<AE< 8, 则 1<AD<4. 感悟:解题时,条件中若出现“中点” “中线” 字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中 心对称图形,把分散的已知条件和所求证的 结论集中到同一个三角形中. 迁移应用:请参考上述解题方法,解答以下 问题: 如图 2,在△ABC 中,D 是 BC 边上的中点, DE⊥DF,DE 交 AB 于点 E,DF 交 AC 于点 F,连接 EF. (1)求证:BE+CF>EF; (2)若∠A= 90°,探索线段 BE,CF,EF 之间 的等量关系,并加以证明. 图 1 　 　 图 2 5. 在学习了图形的旋转知识后,某数学兴趣小 组对教材中有关图形旋转的问题进行了进 一步探究. (1)问题梳理 问题呈现:如图 1,点 D 在等边△ABC 的边 BC 上,过点 C 画 AB 的平行线 l,在 l 上取 CE=BD,连接 AE,则在图 1 中会产生一对 旋转图形. 请 结 合 问 题 中 的 条 件, 证 明: △ABD ≌△ACE; (2)初步尝试 如图 2,在△ABC 中,∠ACB = 60°,∠BAC = 75°,AC= 6,点 D 是边 BC 上的任意一点,连 接 AD,将线段 AD 绕点 A 按逆时针方向旋 转 75°,得到线段 AE,连接 CE,求线段 CE 长度的最小值. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 18 页 期中测前题组训练 选填题 满分:66 分 一、选择题(每小题 3 分,共 39 分) 1. [传统文化]我国民间,流传着许多含有吉 祥意义的文字图案,表示对幸福生活的向 往,良辰佳节的祝贺. 比如下列图案分别表 示“福” “禄” “寿” “喜”,其中是轴对称图 形,但不是中心对称图形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. △ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别记为 a,b,c,由下列条件不能判定△ABC 为直角 三角形的是(　 　 ) A. a2 =c2-b2　 　 　 B. ∠A ∶∠B ∶∠C= 3 ∶2 ∶5 C. ∠A=∠B=∠C D. a ∶b ∶c= 3 ∶4 ∶5 3. 下列说法错误的是(　 　 ) A. 若 a+3>b+3,则 a>b B. 若 a 1+c2 > b 1+c2 ,则 a>b C. 若 a>b,则 ac>bc D. 若 a>b,则 a+3>b+2 4. 不等式组 x-1≥0 x+8>4x+2{ 的解集在数轴上表示 正确的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 5. 用反证法证明“在△ABC 中,三角形的三边 分别为 a,b,c,且 a<b<c,若这个三角形是直 角三角形,则 a2 +b2 = c2 . ”第一步应假设 (　 　 ) A. a2 +b2 >c2 B. a2 +b2 <c2 C. a2 +b2≤c2 D. a2 +b2≠c2 6. 如图,△ABC 中,AB= 4,BC= 6,∠B= 60°,将 △ABC 沿 射 线 BC 的 方 向 平 移, 得 到 △A′B′C′,再将△A′B′C′绕点 A′逆时针旋转 一定角度后,点 B′恰好与点 C 重合,则平移 的距离和旋转角的度数分别为(　 　 ) A. 4,30° B. 2,60° C. 1,30° D. 3,60° 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,△ABC 中,AC = 8,点 D,E 分别在 BC, AC 上,F 是 BD 的中点. 若 AB = AD,EF = EC,则 EF 的长是(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 三名同学分别站在一个三角形三个顶点的 位置上,他们在玩抢凳子的游戏,要求在他 们中间放一个凳子,抢到凳子者获胜,为使 游戏公平,凳子应放的最适当的位置在三角 形的(　 　 ) A. 三条角平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边上高所在直线的交点 D. 三边的垂直平分线的交点 9. 如图,已知 AB⊥BD,CD⊥BD,若用“ HL”判 定 Rt△ABD 和 Rt△CDB 全等,则需要添加 的条件是(　 　 ) A. AD=CB B. ∠A= ∠C C. BD=DB D. AB=CD 第 9 题图 　 　 第 10 题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 19 页 10. 如图,直线 y = x+b 和 y = kx+4 与 x 轴分别 相交 于 点 A ( - 4, 0 ), 点 B ( 2, 0 ), 则 x+b>0 kx+4>0{ 解集为(　 　 ) A. -4<x<2 B. x<-4 C. x>2 D. x<-4 或 x>2 11. 一次智力测验,有 20 道选择题. 评分标准 是:对 1 题给 5 分,错 1 题扣 2 分,不答题 不给分也不扣分. 小明有两道题未答,至少 答对几道题,总分才不会低于 60 分. 则小 明至少答对的题数是(　 　 ) A. 11 道 B. 12 道 C. 13 道 D. 14 道 12. [计算与推理能力]如图所示,运行程序规 定:从“输入一个值 x”到“结果是否> 79” 为一次程序操作,如果程序操作进行了三 次才停止,那么 x 的取值范围是(　 　 ) A. x>9 B. x≤19 C. 9<x≤19 D. 9≤x≤19 13. 如图,△ABC 中,∠ABC、∠EAC 的平分线 BP、AP 交于点 P,延长 BA、BC,PM⊥BE, PN ⊥ BF, 则 下 列 结 论 中 正 确 的 个 数(　 　 ) ①CP 平分 ∠ACF; ② ∠ABC + 2 ∠APC = 180°;③∠ACB= 2∠APB. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 二、填空题(每小题 3 分,共 27 分) 14. 如果(m+1) x |m | >2 是一元一次不等式,则 m= 　 　 　 　 . 15. 命题“等腰三角形两底角的平分线相等” 的逆命题是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 16. 如图,若将线段 AB 平移至 A1B1,则 a+b 的 值为　 　 　 　 . 第 16 题图 　 　 第 17 题图 17. 如图, △ABC 中, AB = AC = 4,BC = 6, 则 △ABC 的面积为　 　 　 　 . 18. 若关于 x 的不等式组 x<4m -x+8<0{ 有解,则 m 的取值范围为　 　 　 　 . 19. 若 x 为实数,则[x]表示不大于 x 的最大整 数,例如[1. 6] = 1,[π] = 3,[ -2. 82] = -3 等. [x] +1 是大于 x 的最小整数,对任意的 实数 x 都满足不等式[x]≤x<[x] +1①. 利 用这个不等式①,求出满足[ x] = 2x-3 的 所有解,其所有解为　 　 　 　 . 20. 如图,在正方形网格中, 线段 A′B′是线段 AB 绕 某点逆时针旋转角 α 得 到的,点 A′与点 A 对应, 则角 α 等于　 　 　 　 . 21. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,D 为线段 CE 的中点,BE = AC. 若∠CAD = 18°,则∠B 的 度数为　 　 　 　 . 第 21 题图 　 　 第 22 题图 22. 如图,△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = 8 cm, AC= 6 cm,在射线 BC 上有一个动点 D 从 点 B 出发,以 1 cm / s 的速度向左运动,设 运动的时间是 x 秒,当△ADB 是等腰三角 形时,x 的值是　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 20 页 期中测前题组训练 解答题(一)(针对 16-20 题) 满分:90 分 1. (8 分)下面是小英解不等式x +5 2 -2<3x +2 2 的 过程: ①去分母,得 x+5-2<3x+2, ②移项、合并同类项,得-2x<-1, ③两边都除以-2,得 x> 1 2 . 先阅读以上解题过程,然后解答下列问题. (1)小英的解题过程从哪一步开始出现错 误? 请写出该步的代号　 　 　 　 ; (2)错误的原因是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)第③步的依据是　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (4)该不等式的解集应该是　 　 　 　 . 2. (8 分)解不等式组 7x+13≥4(x+1) x-4<x -8 3 ì î í ï ï ïï ,并求 它的所有整数解的和. 3. (10 分)如图,△ABC 三个顶点的坐标分别 为 A(1,1),B(4,2),C(3,4) . (1)请画出△ABC 向左平移 5 个单位长度 后得到的△A1B1C1; ( 2 ) 请 画 出 △ABC 关 于 原 点 对 称 的△A2B2C2; (3)在 x 轴上求作一点 P,使△PAB 的周长 最小,请画出△PAB,点 P 的坐标为　 　 　 . 4. (10 分)如图 1,把△ABC 绕着点 C 顺时针 旋转后,顶点 A 旋转到了点 D. (1 ) 用 尺 规 作 图, 作 出 △ACB 旋 转 后 的△DCE. (2)指出旋转角和旋转中心. (3)在图 2 中,△DEF 是△ABC 绕着点 P 旋 转得到的,点 A、B、C 的对应点分别是点 D、 E、F,请确定点 P 的位置,并简要说明画图 步骤. 图 1 　 图 2 5. (8 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,CE = 6, 直线 ED 是线段 AC 的垂直平分线,∠BAC= 120°,求线段 BE 的长. 6. (8 分)尺规作图:(要求保留作图痕迹,不 要求写出作法) 如图,已知线段 m,求作一个等腰直角三角 形,使它的斜边等于 m. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 21 页 7. (9 分)阅读材料:已知△ABC 中,AD 平分 ∠BAC,AD 是△ABC 的中线,求证:AB=AC. 小明根据已知条件发现若 AD 平分∠BAC 可得∠BAD = ∠CAD,又由 AD 是△ABC 的 中线,可得 BD=CD,加上公共边的条件 AD =AD,有两条边和一个角对应相等,就下结 论得到△ABD 和△ACD 是全等的,从而得 到 AB=AC 成立. 小芳的方法是用角平分线的性质得到 DE = DF,再由中线分三角形的面积为相等两部 分,用等面积的方法可以得到结论. 小明和小芳的证明思路谁正确? 请任选择 一个方法进行完整的证明. (可以与小明和 小芳的方法不同) 　 　 8. (10 分)如图,点 C、D、E、F 在同一条直线 上,∠A= ∠B = 90°,AC =BF,CD =EF,AE 与 BD 相交于点 O. (1)求证:EA=DB; (2)若∠AEC = 30°,AC = 5,DE = 6,求线段 CD 的长度. 9. (9 分)阅读以下材料: 对于三个数 a,b,c,用 M{a,b,c}表示这三 个数的平均数,用 min{a,b,c}表示这三个 数中最小的数. 例如:M{ -1,2,3} = -1+2+3 3 = 4 3 ; min { - 1, 2, 3} = - 1; min { - 1, 2, a} = a(a≤-1)-1(a>-1){ . 解决下列问题: (1)填空:如果 min{2,2x+2,4-2x} = 2x+2, 则 x 的取值范围为　 　 　 　 . (2)如果 M{2,x+1,2x} = min{2,x+1,2x}, 求 x 的值. 10. (10 分)如图,△ABC 中,AD 是∠BAC 的平 分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F 为垂足,连接 EF 交 AD 于 G. (1)求证:AE=AF. (2)试判断 AD 与 EF 的位置关系,并说明 理由. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 22 页 期中测前题组训练 解答题(二)(针对 21-23 题) 满分:60 分 1. (9 分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比 赛购买奖品. 已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元;购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元. (1)求 A,B 两种奖品的单价; (2)学校准备购买 A,B 两种奖品共 30 个, 且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 1 3 . 请 设计出最省钱的购买方案. 2. (9 分)某汽车租赁公司要购买轿车和面包 车共 10 辆,其中轿车至少要购买 3 辆,轿车 每辆 12 万元,面包车每辆 8 万元,公司可投 入的购车款不超过 100 万元; (1)符合公司要求的购买方案有哪几种? (2)如果每辆轿车的日租金为 250 元,每辆 面包车的日租金为 150 元,假设新购买的这 10 辆车每日都可租出,要使这 10 辆车的日 租金不低于 2 000 元,那么应选择以上哪种 购买方案? 3. (10 分)如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC, ∠C= 90°,DE⊥AB 于点 E,点 F 在 AC 上, BD=DF. (1)求证:CF=EB. (2)若 AB= 12,AF= 8,求 CF 的长. 4. (10 分)如图 1,点 P、Q 分别是边长为 6 cm 的等边△ABC 的边 AB、BC 上的动点,点 P 从顶点 A、点 Q 从顶点 B 同时出发,且它们 的速度都是 1 cm / s. (1)连接 AQ、CP 交于点 M,则在 P、Q 运动 的过程中,∠CMQ 的度数变化吗? 若变化, 则说明理由,若不变,则求出它的度数; (2)连接 PQ,何时△PBQ 是直角三角形? (3)如图 2,若点 P、Q 在运动到终点后继续 在射线 AB、BC 上运动,直线 AQ、CP 的交点 为 M,则∠CMQ 的度数为　 　 　 　 . 图 1 　 　 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 23 页 5. (11 分)在△OAB 中,OA=OB,∠AOB= n°,C 为平面内一点,连接 OC,将 OC 绕点 O 逆时 针旋转 n°得到线段 OD,连接 AC、BD 交于 点 M. (1)如图 1,若 n= 35,填空: ①AC 与 BD 的数量关系为　 　 　 　 ; ②∠AMB 的度数为　 　 　 　 ; (2)如图 2,若 n= 90: ①判断 AC 与 BD 之间存在怎样的数量关 系? 并说明理由; ②求∠AMB 的度数; (3)在(2)的条件下,当∠CAB = 30°,且点 C 与点 M 重合时,请直接写出 OD 与 OA 之间 存在的数量关系. 图 1 　 　 图 2 备用图 6. (11 分)在△ABC 中 AB = AC,点 P 在平面 内,连接 AP 并将线段 AP 绕点 A 顺时针方 向旋转与∠BAC 相等的角度,得到线段 AQ, 连接 BQ. 【发现问题】如图 1,如果点 P 是 BC 边上任 意一点,则线段 BQ 和线段 PC 的数量关系 是　 　 　 　 ; 【探究猜想】如图 2,如果点 P 为平面内任意 一点. 前面发现的结论是否仍然成立? 若 成立,请给予证明;若不成立,请说明理由. 请仅以图 2 所示的位置关系加以证明(或 说明); 【拓展应用】如图 3,在△ABC 中,AC = 2, ∠ACB = 90°,∠ABC = 30°,P 是线段 BC 上 的任意一点,连接 AP,将线段 AP 绕点 A 顺 时针方向旋转 60°,得到线段 AQ,连接 CQ, 请直接写出线段 CQ 长度的最小值. 图 1 　 图 2 图 3 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 24 页 第七周　 因式分解(4. 1 ~ 4. 3) 测试时间:40 分钟　 测试分数:75 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 下列各式从左边到右边的变形,是因式分解 的是(　 　 ) A. x2 -y2 -1 = (x+y)(x-y) -1 B. x3 +x2 = x2(x+1) C. x2 +1 = x(x+ 1 x ) D. a(a-b)(b+1)= (a2 -ab)(b+1) 2. 多项式 x2 - 4y2 与 x2 + 4xy + 4y2 的公因式 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x-4y B. x+4y C. x-2y D. x+2y 3. 已知 a、b、c 是三角形的三条边,那么代数式 (a-b) 2 -c2 的值(　 　 ) A. 大于 0 B. 等于 0 C. 小于 0 D. 无法确定 4. 若多项式 2x2 +ax-6 能分解成两个一次因式 的积,且其中一个一次因式是 2x-3,则 a 的 值为(　 　 ) A. 1 B. 5 C. -1 D. -5 5. 当 n 为自然数时,(n+1) 2 -(n-3) 2 一定能 被下列哪个数整除? (　 　 ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 解决次数较高的代数式问题时,通常可以用 降次的思想方法. 已知:x2 -x- 1 = 0,则 x4 - 2x3 +x2 的值是(　 　 ) A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图,边长为(m+ 3)的正方形纸片剪去一 个边长为 m 的正方形之后, 余下部分又剪 拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则此长 方形的面积是(　 　 ) A. 2(m+3) B. 2(2m+3) C. 3(2m+3) D. 3(m+3) 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 8. 【结论开放性试题】一个二次三项式分解因 式后,其中一个因式为 x+1,请写出一个满 足条件的二次三项式:　 　 　 　 . 9. 因式分解:8a3b2 -12ab3c= 　 　 　 　 . 10. 多项式 x2 +mx+ 5 因式分解得( x+ 5) ( x+ n),则 m= 　 　 　 　 . 11. 若一个整数能表示成 a2 +b2(a,b 是整数) 的形式,则称这个数为“完美数” . 例如,因 为 5 = 22 + 12,所以 5 是一个“完美数” . 已 知 M 是一个“完美数”,且 M = x2 +4xy+5y2 -12y+k(x,y 是两个任意整数,k 是常数), 则 k 的值为　 　 　 　 . 三、解答题(共 42 分) 12. (12 分)因式分解: (1)4a(x-y) -2b(y-x); (2)x2y2 -x2(y-1) 2; (3)a2(x-y) +4(y-x); (4) -(x2 +2) 2 +6(x2 +2) -9. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 25 页 13. (6 分)若 xy = 3 8 ,x+y = 1 2 ,求多项式 x3y+ 2x2y2 +xy3 的值. 14. (6 分) 观察下面的解题过程,然后解答 问题 题目:化简(2+1) ×(22 +1) ×(24 +1) 解:(2+1) ×(22 +1) ×(24 +1) = (2-1) ×(2+1) ×(22 +1) ×(24 +1) = (22 -1) ×(22 +1) ×(24 +1) = (24 -1) ×(24 +1) = 28 -1 问题:化简(3+1) ×(32 +1) ×(34 +1) ×(38 + 1) ×…×(364 +1). 15. (8 分)阅读下列材料: 常用的分解因式方法有提公因式法、公式 法等. 但有的多项式只用上述方法就无法 分解,如 x2 - 4y2 + 2x- 4y,细心观察这个式 子会发现前两项符合平方差公式,后两项 可提取公因式,分解过程为: 　 x2 -4y2 +2x-4y = (x2 -4y2) +(2x-4y)…分组 = (x-2y)(x+2y) +2(x-2y) …组内分解因式 = (x-2y)(x+2y+2) …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法,利用 这种方法解决下列问题: (1)分解因式:9x2 -9x+3y-y2; (2)已知△ABC 的三边 a、b、c 满足 a2 -ab- ac+bc= 0,判断△ABC 的形状并说明理由. 16. (10 分)如图(1)所示是一个长为 2m,宽为 2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀平分成四 个相等的小长方形,然后按图(2)的方式 拼成一个正方形. (1) 图( 2) 中阴影部分正方形的边长等 于　 　 　 　 . (2)请用两种不同的方法表示图(2)中阴 影部分的面积: 方法 ① 　 　 　 　 ; 方法 ②　 　 　 　 ; (3) 观察图(2),你能写出(m+n) 2,(m- n) 2,mn 这三个代数式之间的等量关系吗? (4)根据( 3) 中的等量关系,解决如下问 题:若 a-b= 6,ab= 5,求(a+b) 2 . 图(1) 　 　 图(2) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 26 页 第八周　 分式、分式的运算(5. 1 ~ 5. 3) 测试时间:40 分钟　 测试分数:80 分 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. 下列式子:m, 1 π , x-1 2 , 1 x+y , 其中分式共 有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 要使分式 x 2 -16 x+4 的值为零,则 x 的取值应满 足(　 　 ) A. x≠-4 B. x= 4 C. x= -4 D. x= ±4 3. 分式 x x2 -4 ·(x+2)可化简为(　 ) A. x -2 x B. x C. x x-2 D. x-2 4. 如果把 2y 2x-3y 中的 x 和 y 都扩大 5 倍,那么 分式的值(　 　 ) A. 扩大 5 倍 B. 不变 C. 缩小 5 倍 D. 扩大 4 倍 5. 分式- 5 6x2y 和 3 4xyz 的最简公分母是(　 　 ) A. 12xyz B. 12x2yz C. 24xyz D. 24x2yz 6. 计算 4 a-2 +a+2 2-a 的值(　 　 ) A. 1 B. -1 C. 2 -a a-2 D. a +2 2-a 7. 计算 a 2 a2 -1 ÷( 1 a-1 +1)的结果是(　 　 ) A. 1 a+1 B. 1 a-1 C. a a+1 D. a a-1 8. 如图,数轴上有两点 A,B,表示的数分别是 m,n. 已知 m,n 是两个连续的整数,且 m+n = -1,则分式 m 2 -2m m-1 ÷ m 2 1-m 的值为(　 　 ) A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 9. 要使式子 1 x-2 025 有意义,则 x 的取值范围 为　 　 　 　 . 10. 如果 a2 - 2a- 6 = 0,那么代数式(a- 4 a ) · a2 a+2 的值为　 　 　 　 . 11. 轮船由 A 地到达 B 地顺流航行 40 km,然 后又返回 A 地,已知水流速度为每小时 2 km,设轮船在静水中的速度为每小时 x km,则轮船往返共用的时间为　 　 　 　 . 12. [跨学科试题]照相机成像应用了一个重 要原理,用公式 1 f = 1 u + 1 v ( v≠f)来表示,其 中 f 表示照相机镜头的焦距,u 表示物体到 镜头的距离,v 表示胶片(像)到镜头的距 离,已知 f,u,则 v= 　 　 　 　 . 三、解答题(共 44 分) 13. (12 分)计算: (1)(1+ 1 x+1 )·x 2 +x x ; (2) x 2 -4 x2 -4x+4 ÷x 2 +2x 2x-4 - 1 x ; (3) a 2 a+b +b 2 +2ab a+b . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 27 页 14. (8 分)化简求值:( 5 x-2 -x-2) ÷x 2 -6x+9 x-2 + x x-3 ,再从-1<x<4 的范围内选取一个你喜 欢的值代入求值. 15. (8 分)先化简,再求值:(1+ 1 x+1 ) ÷ x 2 -4 2x+2 , 其 中 x 是 整 数 且 满 足 不 等 式 组 2x≤x-1 x+1≤4x+10{ . 16. (8 分)请仿照例子解题: M x+1 + N x-1 = 1-3x x2 -1 恒成立,求 M,N 的值. 解: ∵ M x+1 + N x-1 = 1-3x x2 -1 , ∴ M(x-1)+N(x+1) (x+1)(x-1) = 1-3x x2 -1 ,则Mx -M+Nx+N (x+1)(x-1) = 1-3x x2 -1 , 即 (M +N)x-M+N (x+1)(x-1) = -3x+1 x2 -1 , 故 M+N= -3 -M+N= 1{ ,解得 M= -2 N= -1{ . 请你按照上面的方法解题: 若 M x+2 - N x-2 = x-8 x2 -4 恒成立,求 M,N 的值. 17. (8 分)阅读下面的解题过程: 已知 x x2 +1 = 1 3 ,求 x 2 x4 +1 的值. 解:由 x x2 +1 = 1 3 知 x≠0,所以x 2 +1 x = 3,即 x+ 1 x = 3. 所以 x4 +1 x2 = x2 + 1 x2 = (x+ 1 x ) 2 -2 = 32 -2 = 7. 故 x2 x4 +1 的值为 1 7 . 该题的解法叫做“倒数法”,请你利用“倒 数法”解决下面的题目: 已知 x x2 -3x+1 = 1 5 ,求 x 2 x4 +x2 +1 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 28 页 第九周　 分式方程(5. 4) 测试时间:40 分钟　 测试分数:65 分 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. 给出下列方程:x -3 4 = 1, 3 x = 2,x +3 x+5 = 1 2 , x 3 - x 2 = 1,其中分式方程的个数为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 解方程 x 2 -3x x-2 +x 2 -3 2-x = 5,以下去分母正确的 是(　 　 ) A. x2 -3x-x2 -3 = 5 B. x2 -3x-x2 +3 = 5 C. x2 -3x-x2 -3 = 5(x-2) D. x2 -3x-x2 +3 = 5(x-2) 3. 分式方程 3 x-2 - 4 2x+3 = 0 的解是(　 　 ) A. x= 1 2 B. x= -17 2 C. x= 7 4 D. x= -1 4. 关于 x 的方程m x - 1 x+1 = 0 有解,则 m 的取值 范围是(　 　 ) A. m≠0 B. m≠1 C. m≠0 或 m≠1 D. m≠0 且 m≠1 5. 在解分式方程 2 x-1 + x x-1 = 1 时,我们第一步 通常是去分母,即方程两边同乘以最简公分 母(x- 1),把分式方程变形为整式方程求 解. 解决这个问题的方法用到的数学思想 是(　 　 ) A. 转化思想 B. 从特殊到一般 C. 数形结合 D. 模型思想 6. 端午节是我国首个入选世界非物质文化遗 产的传统节日,吃粽子是端午节的习俗之 一,某超市豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒 便宜 10 元,用 6 000 元购进豆沙粽的盒数 和用 8 000 元购进肉粽的盒数相同,设豆沙 粽每盒的进价为 x 元,可列方程为(　 　 ) A. 6 000 x = 8 000 x-10 B. 6 000 x = 8 000 x+10 C. 8 000 x = 6 000 x-10 D. 8 000 x = 6 000 x+10 7. 斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对 生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度. 如图,某路口的斑马线路段 A-B-C 横穿双向 行驶车道,其中 AB=BC= 12 米,在绿灯亮时, 小敏共用 22 秒通过 AC 路段,其中通过 BC 路段的速度是通过 AB 路段速度的 1. 2 倍, 则小敏通过 AB 路段时的速度是(　 　 ) A. 0. 5 米 / 秒 B. 1 米 / 秒 C. 1. 5 米 / 秒 D. 2 米 / 秒 8. 若整数 a 使得关于 x 的分式方程 16 x(x-4) + 2 x = a x-4 有正整数解,且使得关于 y 的不等 式组 y+1 2 -y-1 3 >1 1-y 2 ≥3-a ì î í ï ïï ï ïï 有解,那么符合条件的所 有整数 a 的和为(　 　 ) A. 23 B. 20 C. 16 D. 10 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 9. 代数式 3 x+2 与代数式 2 x-1 的值相等,则 x = 　 　 　 　 . 10. 若关于 x 的方程x -2 x+1 = m x+1 有增根,则 m 的 值是　 　 　 　 . 11. 北京第 24 届冬奥会开启“坐着高铁看冬 奥”新模式. 北京赛区到延庆赛区乘高铁 与乘班车通行路程均约 60 公里,已知高铁 的平均速度是班车平均速度的 3 倍,乘高 铁用时比乘班车少 40 分钟. 设从北京赛区 到延庆赛区乘高铁所需时间约为 x 分钟, 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 29 页 依据题意可得方程　 　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(共 32 分) 12. (8 分)解分式方程: (1) 2 x = 3 x+2 ; (2)x +1 x-1 + 4 x2 -1 = 1. 13. (8 分)王涵想复习分式方程,由于印刷问 题,有一个数“?”看不清楚: x x-3 = 2- ? x-3 . (1)她把这个数“?”猜成-2,请你帮王涵解 这个分式方程; (2)王涵的妈妈说:“我看到标准答案是:x = 3 是方程的增根,原分式方程无解. ” 请 你求出原分式方程中 “?” 代表的数是 多少? 14. (8 分)小明解分式方程 1- x -3 2x+2 = 3x x+1 时, 出现了错误,他的解答过程如下: 解:方程两边同乘 2x+2,得 2x+2-(x-3)= 3x. …第一步 解得 x= 5 2 . …第二步 所以,原分式方程的解为 x = 5 2 . …第 三步 (1)小明的解答过程是从第　 　 　 　 步开 始 出 错 的, 这 一 步 正 确 的 解 答 为 　 　 　 　 　 　 　 　 ,此步的根据是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)小明的解答过程缺少的步骤是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)请你写出此题正确的解答过程. 15. (8 分)一粥一饭当思来之不易,半丝半缕 恒念物力维艰. 开展“光盘行动”,拒绝“舌 尖上的浪费”,已经成为一种时尚. 某学校 食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费,针 对每餐后光盘的学生奖励苹果或砂糖橘一 份. 近日,学校食堂花了 2 800 元和 2 500 元分别采购了砂糖橘和苹果,采购的砂糖 橘比苹果多 250 千克,砂糖橘每千克的价 格比苹果每千克的价格低 30%. 求苹果每 千克的价格. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·BS·数学　 第 30 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《铺路帮手》答案 第一周　 等腰三角形(1. 1) 1. D　 2. D　 3. D　 4. C 5. A　 【解析】∵ ∠C = 90°,AB = 8,∠B = 30°,∴ AC = 1 2 AB= 1 2 ×8 = 4. ∵ 点 P 是 BC 边上的动点,∴ 4< AP<8,∴ AP 的值不可能是 3. 5. 故选 A. 6. A　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,PR⊥AB,PS ⊥AC,∴ ∠B = ∠C = 60°,∠BRP = ∠CSP = 90°. ∵ PR=PS,∴ △BPR≌△CPS(AAS),∴ BR = CS,∴ AR= AS,②正确:在△ARP 和△ASP 中, AR=AS PR=PS AP=AP ì î í ïï ï , ∴ △ARP≌△ASP(SSS),∴ ∠RAP= ∠SAP,∴ 点 P 在∠BAC 的 平 分 线 上, ① 正 确. ∵ AQ = PQ, ∴ ∠PQC= 2 ∠PAC = 60° = ∠BAC,∴ PQ∥AR,③正 确;由 ③ 得, △PQC 是等边三角形, ∴ △PQS ≌ △PCS,又由 ② 可知, △BPR ≌ △CPS, △BRP ≌ △QSP,④也正确. 故选 A. 7. 90°　 8. 45° 9. 6　 【解析】∵ 等边三角形 ABC 的边长为 6,E,F 是 边 BC 上的三等分点,∴ BC = 3EF = 6. ∵ ED∥AB, FD∥AC,∴ ∠DEF = ∠B = 60°,∠DFE = ∠C = 60°, ∴ ∠DEF= ∠DFE = 60°,∴ △DEF 是等边三角形, ∴ C△DEF = 3EF= 6. 10. 100°或 160°或 130°　 【解析】∵ △ADC≌△BOC, ∴ CD = OC,∠ACD = ∠BCO,∠ADC = ∠BOC = α. ∵ △ABC 是 等 边 三 角 形, ∴ ∠ACB = 60°, ∴ ∠ACO+∠ACD = ∠ACO+∠BCO = 60°,∴ △COD 为等边三角形,∴ ∠COD = 60°,则 α+100°+60°+ ∠AOD= 360°. 即∠AOD = 200°-α. ∵ △COD 为等 边三角形, ∴ ∠ADO = α - 60°. 当 OD = OA 时, ∠OAD= ∠ODA= α- 60°,∴ ∠AOD = 180°- 2(α- 60°)= 200° -α,解得 α = 100°,当 OD = AD 时, ∠AOD= 180° -(α-60°) 2 = 200°-α,解得 α = 160°, 当 OA=AD 时,∠AOD=α-60° = 200°-α,解得 α = 130°. 综上所述,α 的度数为 100°或 160°或 130°. 11. 解:(1)∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠B = 60°. ∵ DE∥AB, ∴ ∠EDC = ∠B = 60°. ∵ EF ⊥DE, ∴ ∠DEF= 90°,∴ ∠F= 30°; (2)∵ ∠ACB = 60°,∠EDC = 60°,∴ △EDC 是等 边三角形. ∴ ED = DC = EC = 3. ∵ ∠F = 30°, ∠ACB = 60°,∴ ∠CEF = 30°,∴ EC = CF,∴ DF = DC+CF= 6. 12. 解:过 A 作 AE⊥CP 于 E,过 B 作 BF⊥DQ 于 F. 在 Rt△ACE 中,∵ ∠ACP= 30°,∴ AE= 1 2 AC = 1 2 × 54 = 27(cm),同理可得,BF= 27cm. 又∵ 点 A 与 B 之间的距离为 10cm,∴ 通过闸机的物体的最大 宽度为 27+10+27 = 64(cm). 13. 解:(1)是 (2 ) ∵ △ABC 是 “ 钻石三角形”, 直线 BD 是 △ABC 的“钻石分割线”,∴ △BCD 与△ABD 是 等腰三角形. ∵ ∠A>∠B>∠C,∴ BC>AC>AB,∴ 在△BCD 中,BC 最长,不可能为腰. ∴ CD = BD, 设∠C = x, 则 ∠DBC = ∠C = x, ∠ADB = ∠C + ∠DBC = 2x. 在△ABD 中,当 AB = BD 时, ∠A = ∠ADB= 2x, ∴ ∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 3x,即 3 ∠C + ∠ABC = 180°; 当 AB = AD 时. ∵ ∠ADB= 2∠C= 2x,∠ABD = ∠ADB = 2x,∴ ∠ABC = 3x,∴ ∠ABC = 3 ∠C;当 AD = BD 时, ∴ ∠A = ∠ABD= 90°-x,∴ ∠ABC = 180°-∠A-∠C = 90°, ∴ AC 是最长边,这与 BC 是最长边矛盾,∴ 不合 题意,舍去;综上所述,∠ABC = 3 ∠C 或 3 ∠C + ∠ABC= 180°. 等腰三角形的三线合一 1. 解:过点 O 作 OF⊥BC 于点 F,在△ABO 和△DCO 中, ∠AOB= ∠DOC ∠A= ∠D AB=DC ì î í ïï ï ,∴ △ABO≌△DCO(AAS),∴ OB = OC. ∴ △BOC 是等腰三角形. ∵ OF ⊥BC, ∠OBC= 30°,BO = 6,∴ OF = 3,∴ BF = 62 -32 = 3 3 ,∴ BC= 2BF= 6 3 . 2. 证明:过点 E 作 EF⊥BC 于点 F,∵ BE =CE,∴ BF =CF. ∵ BC= 2AB,∴ AB=BF. ∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABE = ∠EBF. ∵ BE = BE, ∴ △ABE ≌ △FBE (SAS),∴ ∠BAE= ∠BFE= 90°,∴ AE⊥AB. 3. (1)证明:连接 AD. ∵ AB=AC,D 为 BC 中点,∴ BD= CD 且 AD 平分∠BAC,AD⊥BC,∵ ∠A = 90°,∴ ∠B =∠C= 45°,∠BAD = ∠CAD = 45°,∴ AD =BD = CD. 在 △BDE 和 △ADF 中, BD=AD ∠B=∠DAF= 45° BE=AF ì î í ïï ï , ∴ △BDE≌△ADF(SAS),∴ DE=DF,∠BDE= ∠ADF. ∵ ∠BDE+∠ADE = 90°,∴ ∠ADF+∠ADE = 90°,即 ∠EDF= 90°,∴ △EDF 为等腰直角三角形. (2) 解:仍为等腰直角三角形. 证明:连接 AD. 由 (1)可得 AD =BD,AD⊥BC,∠ABD = ∠BAD = 45°. ∴ ∠DBE= 135°. ∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠BAF = 90°,∴ ∠DAF= ∠BAF+∠BAD = 135°,∴ △AFD≌△BED (SAS), ∴ DF = DE, ∠ADF = ∠BDE. ∵ ∠ADF + ∠FDB= 90°,∴ ∠BDE+∠FDB = 90°,即∠EDF = 90°,∴ △DEF 为等腰直角三角形. 4. 证明:延长 BE 交 AC 于 M. ∵ BE⊥AE,∴ ∠AEB = ∠AEM= 90°. 在△ABE 中. ∵ ∠1+∠ABE+∠AEB = 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 27 页 180°,∴ ∠ABE = 90° - ∠1. 同理, ∠AME = 90° - ∠2. ∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠ABE = ∠AME,∴ AB = AM. ∵ BE⊥AE,∴ BM = 2BE,∴ AC-AB = AC-AM =CM. ∵ ∠AME = ∠MBC + ∠C, ∠ABC = 3 ∠C, ∠ABC = ∠ABE+∠MBC= ∠AME+∠MBC,∴ 3∠C = ∠AME +∠MBC= 2∠MBC+∠C,∴ ∠MBC = ∠C,∴ CM = BM,∴ AC-AB=BM= 2BE. 第二周　 直角三角形(1. 2) 1. B　 2. C　 3. B 4. C　 【解析】(1)锐角△ABC 中,AB= 13,AC = 15,BC 边上高 AD = 12,在 Rt△ABD 中,AB = 13,AD = 12, 由勾股定理得 BD = AB2 -AD2 = 5,在 Rt△ACD 中, AC = 15, AD = 12, 由 勾 股 定 理 得 CD = AC2 -AD2 = 9,故 BC = BD+DC = 9+5 = 14;(2)钝 角△ABC 中,∠B 为钝角,同理可得 BD= 5,CD= 9, 故 BC 的长为 DC-BD= 9-5 = 4. 故选 C. 5. A　 【解析】∵ 在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠A= 25°,∴ ∠B=180°-90°-25°=65°,根据折叠可得∠CED= 65°, ∴ ∠ADE=65°-25°=40°. 故选 A. 6. B　 【解析】在 Rt△ABC 中,AB = 1,BC = 1,根据勾 股定理得 AC = 12 +12 = 2 ,在△ACD 中,CD = 2, AD= 6 ,∴ AC2 +CD2 = AD2,∴ △ACD 为直角三角 形,则 S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD = 1 2 ×1×1+ 1 2 ×2× 2 = 1 2 + 2 . 故选 B. 7. B　 8. 假　 9. 7 10. 45　 【解析】设网格边长为 1,延长 AP 交格点于 D,连接 BD,则 PD2 =BD2 = 12 +22 = 5,PB2 = 12 +32 = 10,∴ PD2 +DB2 =PB2,∴ ∠PDB = 90°,∴ ∠DPB = ∠PAB+∠PBA= 45°. 11. 5 或 10 　 【解析】 ∵ ∠ACB = ∠PAQ = 90°,PQ = AB,∴ 当 AP = CB = 5 时,Rt△PQA≌Rt△BAC;当 AP=CA = 10 时,Rt△PQA≌Rt△ABC;即 AP 为 5 或 10 时,△ABC 和△PQA 全等. 12. 证明:在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,AB = 3,BC = 2,∴ AC = AB2 +BC2 = 13 . 在 Rt △EDC 中, ∠D = 90°,CD = 6,DE = 4,∴ CE = 62 +42 = 2 13 . ∵ AC2 = 13,CE2 = 52,AE2 = 65,∴ AE2 = AC2 +CE2,∴ △ACE 是直角三角形,∠ACE= 90°. 13. 证明:∵ AB⊥CB,∴ ∠ABC = 90°,∠CBF = 90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中, AB=BC AE=CF{ ,∴ Rt△ABE≌ Rt△CBF(HL),∴ BE=BF. 14. 解:(1)过点 A 作 AH⊥ON 于 H. ∵ ∠O = 30°,OA = 80 米,∴ AH = 1 2 OA = 40 米,∴ 卡车 P 与学校 A 的距离为 40 米; (2)以点 A 为圆心 50 米为半径画圆,交 ON 于 C、 D 两点. 当 AC= AD = 50 米时,则卡车在 CD 段对 学校 A 有影响, 由 ( 1) 知 AH = 40 米, ∴ CH = AC2 -AH2 = 30 米,∴ CD= 2CH= 60 米,∴ 60÷5 = 12(秒),∴ 卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次,它 给学校 A 带来噪声影响的总时间为 12 秒. 第三周　 线段的垂直平分线、角平分线(1. 3-1. 4) 1. C 2. C　 【解析】∵ DE 是 AB 的垂直平分线,AE = 4,∴ EB=EA= 4,∴ BC=EB+EC= 4+2 = 6. 故选 C. 3. B 4. D　 【解析】∵ DE⊥AB,∠C = 90°,DE = DC,∴ BD 平分∠ABC,∴ ∠EBD= ∠CBD = 26°,∴ ∠A = 90°- ∠ABC= 90°-2×26° = 38°. 故选 D. 5. A　 【解析】∵ MG、NH 分别垂直平分 AB、AC,∴ GA =GB,HA = HC,∴ ∠B = ∠BAG,∠C = ∠HAN,而 ∠B+ ∠C + ∠BAC = 180°, ∴ ∠B + ∠C = 36°, ∴ ∠BAG+∠HAN= 36°,∴ ∠GAH = 144°-36° = 108°. 故选 A. 6. D　 【解析】过点 P 作 PE⊥OA 于点 E. ∵ OC 平分 ∠AOB,PE⊥OA,PN⊥OB,∴ PE = PN. ∵ PE = PN, OP=OP,∴ △OPE≌△OPN(HL),∴ OE=ON= 5. ∵ OM= 3,ON= 5∴ MN= 2. 若点 D 在线段 OE 上,∵ PM =PD,PE=PN,∴ △PMN≌△PDE(HL),∴ DE =MN = 2,∴ OD=OE-DE= 3;若点 D 在射线 EA 上,∵ PM =PD,PE=PN,∴ △PMN≌△PDE(HL),∴ DE =MN = 2,∴ OD=OE+DE= 7. 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【方法点拨】过点 P 作 PE⊥OA 于点 E,分点 D 在线 段 OE 上,点 D 在射线 EA 上两种情况讨论,利用角 平分线的性质可得 PN=PE,即可求出 OE =ON = 5, 由题意可证△PMN≌△PDE,即可求 OD 的长. 7. 65°　 【解析】∵ △ABC 中,∠B = 55°,∠C = 30°,∴ ∠BAC= 180°-55°- 30° = 95°. ∵ 直线 MN 是线段 AC 的垂直平分线,∴ ∠C = ∠CAD = 30°,∴ ∠BAD = ∠BAC-∠CAD= 65°. 8. 24 5 　 【解析】过 D 作 DM′⊥AC 于 M′,连接 DM. 长 方形 ABCD 中,AD = BC = 3,AB = CD = 4,∴ AC = 5, ∴ S△ADC = 1 2 AD·CD = 1 2 AC·DM′,∴ DM′ = 12 5 . ∵ M 关于边 AD,DC 的对称点分别为 M1,M2,∴ DM1 =DM=DM2,∴ M1M2 = 2DM,∴ 线段 M1M2 长度最 小即 DM 长度最小,此时 DM⊥AC,即 M 与 M′重 合,∴ M1M2 最小值为 2DM′= 24 5 . 9. 2　 【解析】过 P 作 PM⊥AB 于 M. 由题意,得 PM= 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 28 页 PE= 3,∠PEA= 90°. ∵ AE= 4,∴ S△PEA = 1 2 ×AE×PE = 1 2 ×4×3 = 6,∴ 1 2 ×AF×PM = 1 2 ×6. ∵ PM = 3,∴ AF= 2. 10. 解: 11. 解:(1)CD　 垂直平分线 (2)过点 C 作 OD 的垂线,垂足为点 E,则∠CEO = ∠CED = 90°. 在 Rt △COE 和 Rt △CDE 中, CO=CD CE=CE{ ,∴ Rt△COE≌Rt△CDE( HL),∴ OE = DE,∴ CE 是线段 OD 的垂直平分线,∴ 点 C 在线 段 OD 的垂直平分线上. 12. 解:(1)AB=PB (2)存在,证明:连接 BQ. ∵ BC 垂直平分 OQ,∴ BO =BQ,∴ ∠BOQ= ∠BQO. ∵ OF 平分∠MON,∠BOQ = ∠FON,∴ ∠AOF = ∠FON = ∠BQC,∴ ∠BQP = ∠AOB. ∵ OA=PQ,∴ △AOB≌△PQB(SAS),∴ AB= PB. 三角形的角平分线 1. 解:(1)FE = FD. 在 AC 上截取 AG = AE,连接 FG. ∵ AD 是∠BAC 的平分线, ∴ ∠EAF = ∠GAF,在 △EAF 和△GAF 中, AE=AG ∠EAF= ∠FAG AF=AF ì î í ïï ï ,∴ △EAF≌ △GAF ( SAS ), ∴ FE = FG, ∠EFA = ∠GFA. ∵ ∠ACB = 90°, ∠B = 60°, AD、 CE 平 分 ∠BAC、 ∠BCA,∴ ∠BAC = 30°, ∠FAC = 1 2 ∠BAC = 15°, ∠FCA= 1 2 ∠ACB= 45°,∴ ∠FAC+∠FCA = 60°,∴ ∠AFC= 120°,∴ ∠AFE = ∠DFC = 60°,∴ ∠AFG = ∠AFE= 60°,∴ ∠GFC= 60°,∴ ∠DFC = ∠GFC. 在 △FDC 和△FGC 中, ∠DFC= ∠GFC FC=FC ∠FCD= ∠FCG ì î í ïï ï ,∴ △FDC≌ △FGC(ASA),∴ FD=FG. ∴ FE=FD. (2)结论 FE=FD 仍成立. 证明:在 AC 上截取 AH= AE,连接 FH. 同(1)可得△EAF≌△HAF,∴ FE = FH, ∠EFA = ∠HFA, 又由 ( 1 ) 可知 ∠FAC = 1 2 ∠BAC, ∠FCA = 1 2 ∠ACB, ∴ ∠FAC + ∠FCA = 1 2 (∠BAC+∠ACB)= 1 2 (180°-∠B) = 60°,∴ ∠AFC = 180°-(∠FAC+∠FCA)= 120°,∴ ∠EFA= ∠HFA = 180°-120° = 60°,∴ ∠DFC = ∠CFH = 60°,同(1) 可得△FDC≌△FHC,∴ FD=FH,∴ FE=FD. 2. (1)解:∵ AD∥BC,∴ ∠C= 180°-∠D= 180°-90° = 90°. ∵ ∠CPB= 30°,∴ ∠PBC = 90°-∠CPB = 60°. ∵ PB 平分∠ABC,∴ ∠ABC= 2∠PBC = 120°. ∵ AD ∥BC,∴ ∠DAB+ ∠ABC = 180°,∴ ∠DAB = 180° - 120° = 60°. ∵ AP 平分∠DAB,∴ ∠PAD = 1 2 ∠DAB = 30°; (2)证明:过 P 点作 PE⊥AB 于 E 点,∵ AP 平分 ∠DAB,PD⊥AD,PE⊥AB,∴ PE = PD. ∵ BP 平分 ∠ABC,PC⊥BC,PE⊥AB,∴ PE = PC,∴ PD = PC, ∴ P 是线段 CD 的中点. 3. 解:作 DF⊥AC 于 F,DH⊥BC 于 H. ∵ BD 平分 ∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC,∴ DH =DE = 2. ∵ CD 平 分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC, ∴ DF = DH = 2, ∴ S△ADC = 1 2 DF·AC= 1 2 ×2×4 = 4. 第四周　 一元一次不等式(2. 1-2. 4) 1. C　 2. C　 3. D 4. B　 【解析】由题意,得 a+1<0,解得 a<-1. 故选 B. 5. D　 6. B　 7. G>50　 8. 2 9. 43　 【解析】设这个学生答对 x 道题. 根据题意得 2x-(50-x-4)≥82,解得 x≥128 3 . ∵ x 为整数,∴ x 的最小值为 43,则这个学生至少答对 43 道题,成 绩才能不低于 82 分. 10. 1 　 【解析】 ∵ 2 ∗ 3 = 1, 3 ∗ ( - 1) = 10, ∴ 2a-3b+5= 1 3a+b+5= 10{ ,解得 a= 1 b= 2{ . ∵ x∗(2x-3)<9,∴ ax-b (2x-3)+5= -3x+11<9,解得 x> 2 3 ,∴ 关于 x 的不 等式 x∗(2x-3)<9 的最小整数解为 1. 11. 解:(1)去括号,得 2x-3x-3≤1. 移项,得 2x-3x≤ 1+3. 合并同类项,得-x≤4. 两边都除以-1,得:x ≥-4. 在数轴上表示不等式的解集如下: (2)去分母,得 2(2x-3) >3x+1-6. 去括号,得 4x- 6>3x+1-6. 移项,得 4x-3x>1-6+6. 合并同类项, 得 x>1. 在数轴上表示不等式的解集如下: 12. 解:(1)设商店购进甲种圆珠笔 x 支,乙种圆珠笔 y 支. 由题意得, 12x+10y= 1200 (15-12)x+(12-10)y= 270{ ,解 得 x= 50 y= 60{ . 即这个商店购进甲种圆珠笔 50 支,乙 种圆珠笔 60 支. 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 29 页 (2)设甲种笔每支的售价为 m 元,由题意得,50 (m-12) +2×60×(12-10)≥340,解得 m≥14. ∵ m 为整数,∴ m 的最小值为 14. 故甲种笔最低售价 为每支 14 元. 13. 解:【启发应用】1<x+y<5 【拓展推广】∵ x+y= 2,∴ x = 2-y,又∵ x>1,∴ 2-y >1,∴ y<1,又∵ y>-4,∴ -4<y<1,∴ -1<-y<4. ① 同理得:1<x<6. ②由①+②得-1+1<x-y<4+6,∴ x-y 的取值范围是:0<x-y<10. 第五周　 一元一次不等式(组)与一次函数(2. 5-2. 6) 1. A 2. C　 【解析】设有 x 位小朋友,则共有(5x+12)个苹 果. 依题意得 5x+12>8(x-1) 5x+12<8x{ ,解得 4<x< 20 3 ,又∵ x 为整数,∴ x= 5 或 6. 故选 C. 3. A　 4. B 5. C　 【解析】不等式组整理得 x<a x>- 3 2 ì î í ïï ï ,解得- 3 2 <x<a. ∵ 不等式组解集中至少有 5 个整数解,即至少 5 个整 数解为-1,0,1,2,3,∴ a>3,则整数 a 的最小值为 4.故 选 C. 6. A　 7. x<3 8. -3<m< 1 2 　 【解析】由题意,得 m+3 2 >0 2m-1 3 <0 ì î í ï ï ï ï ,解得-3< m< 1 2 ,即 m 的取值范围是-3<m< 1 2 . 9. 20 3 <x≤18　 【解析】第一次的结果为:3x-2,没有输 出,则 3x-2≤154,解得 x≤52;第二次的结果为: 3(3x-2)-2= 9x-8,没有输出,则 9x-8≤154,解得 x ≤18;第三次的结果为 3(9x-8)-2 = 27x-26,输出, 则 27x-26>154,解得 x>20 3 . 综上可得 x 的取值范围 是 20 3 <x≤18. 10. 解: 3x-1<x+5① x-3 2 <x-1② ì î í ïï ï ,由①得 x<3,由②得 x>-1,∴ 不等式组的解集为-1<x<3,解集在数轴上表示, 如图所示: ,则 该不等式组的整数解为 0,1,2. 11. 解:①+②得 3x+y = 3m+4,②-①得 x+5y =m+4. ∵ 3x+y≤0 x+5y≥0{ ,∴ 3m+4≤0 m+4≥0{ ,解得-4≤m≤- 4 3 . ∴ 满足条件的 m 的整数值为-4,-3,-2. 12. 解:(1)∵ 直线 y= kx+b 经过点 A( -5,0),B( -1, 4),∴ -5k+b= 0 -k+b= 4{ ,解得 k= 1 b= 5{ ,∴ y = x+ 5,当 x = 0 时,y= 5,∴ 点 D 的坐标为(0,5); (2)由 y= -2x-4 y= x+5{ ,解得 x= -3 y= 2{ ,故点 C( -3,2) . ∵ y= -2x-4 与 y = x+ 5 分别交 y 轴于点 E 和点 D (0,5),∴ E(0,-4),∴ 直线 CE:y= -2x-4 与直线 AB 及 y 轴围成图形的面积为: 1 2 DE· | xC | = 1 2 × 9×3 = 27 2 ; (3)根据图象可得 x>-3. 13. 解:(1)设 A 种工艺品的单价为 x 元,B 种工艺品 的单 价 为 y 元. 依 题 意 得 x+y= 100 2x+3y= 260{ , 解 得 x= 40 y= 60{ .即 A 种工艺品的单价为 40 元,B 种工艺品 的单价为 60 元. (2)设购进 A 种工艺品 a 个,则购进 B 种工艺品 4800-40a 60 个. 依题意得 a≤37 4800-40a 60 ≤2a ì î í ïï ï ,解得 30 ≤a≤37,又∵ a,4800 -40a 60 均为正整数,∴ a 可以 为 30,33,36,∴ 共有 3 种进货方案. (3)设两种工艺品全部销售完获得的利润为 w 元,则 w= (54-40-m) a+(78-60) ·4800 -40a 60 = (2-m) a+1440,又∵ 在(2)的条件下,若 A、B 两 种工艺品全部售出后所有方案获利均相同,∴ 2- m= 0,∴ m= 2. 一元一次不等式(组)的解 1. 解: 5x>x-10① 3-x≥x -3 4 ② ì î í ïï ï ,解不等式①,得 x>- 5 2 ,解不等 式②,得 x≤3,∴ 不等式组的解集为- 5 2 <x≤3. 解 集在数轴上表示如图所示. 2. 解:解不等式,得 x>3,∴ x 的最小整数解为 4. 3. 解:解不等式组,得 x> 3 2 x<3+2a ì î í ïï ï . ∵ 不等式组恰好有 3 个整数解,∴ 整数解为 2,3,4,∴ 4<3+2a≤5,解得 1 2 <a≤1. 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 30 页 4. 解:(1)两个方程相加可得 3x+3y= 3a+3,∴ x+y=a+ 1,根据题意,得-1<a+1≤3,解得-2<a≤2,即 a 的 取值范围是-2<a≤2; (2)由不等式 2ax-x>2a-1,得(2a-1) x>2a-1. ∵ 不等式 2ax-x>2a-1 的解集为 x<1,∴ 2a-1<0,得 a<0. 5,又∵ -2<a≤2 且 a 为整数,∴ a= -1 或 0. 5. 解:解不等式x +1 6 -2x-5 4 ≥1,得 x≤ 5 4 . ∵ 3x<2x+a,∴ x <a. ∵ 不等式x +1 6 -2x-5 4 ≥1 的解都能使不等式 3x<2x +a 成立,∴ a> 5 4 . 6. 解:由 3(2x+5) >2(4x+3),解得 x<4. 5,∴ 不等式 3(2x+5) >2(4x+3)的最大整数解是 x = 4,由题意, 得 2×4-4a= 16,解得 a= -2,即 a 的值是-2. 7. 解: x-m>0① x-m<1②{ ,解①得 x>m,解②得 x<m+1,所以 不等式组的解集为 m<x<m+1. ∵ 不等式的解集中 任意一个 x 的值均不在 4≤x≤7 的范围内,∴ m+1 ≤4 或 m≥7,∴ m≤3 或 m≥7. 8. 解:解不等式组,得 x> 2 3 x≤k +1 3 ì î í ï ï ï ï . ∵ 关于 x 的不等式组 -2(x-2)-x<2 k-x 2 ≥- 1 2 +x ì î í ïï ï 最多有 2 个整数解,∴ 2 3 <x≤k +1 3 , ∴ k +1 3 <3,解得 k<8;解 3(y-1) -2(y-k)= 7,得 y = 10-2k. ∵ 方程的解为非正数,∴ 10-2k≤0,解得 k≥ 5,综上:5≤k<8,符合条件的 k 的整数值为:5,6,7, 和为 5+6+7= 18. 9. 解:(1)x>2 或 x<-2 (2)∵ | x-1 | <a(a≥0),∴ -a<x-1<a,解得-a+1<x< a+1. ∵ 解集为 b<x<3,∴ -a+1=b a+1= 3{ ,解得 a= 2 b= -1{ ; (3)∵ | x+y | ≤2,∴ -2≤x+y≤2. ∵ x+y = -m-1,∴ -2≤-m-1≤2,解得-3≤m≤1,又∵ m 是正数,∴ 0<m≤1. 10. 解:(1)x>3 (2)解不等式 3(x-1) >2x-m 可得 x>3-m,则 3 -m≤-6,解得 m≥9. 故 m 的取值范围是 m≥9; (3)是. 理由:依题意有-2n+4≤2,解得 n≥1,∴ -n+2≤1,∴ x<-n+2 的范围是 x<1,故 x<-n+2 是 x<2 的蕴含不等式. 第六周　 图形的平移与旋转 1. A　 2. A 3. C　 【解析】观察图形可知,(2)①⇒③需要改变旋 转中心,经过两次旋转得到,不属于平移,错误;正 确的有三种. 故选 C. 4. C　 5. C 6. B　 【解析】由题意,得 AC =CA′,∴ ∠CAA′= ∠CA′A = 45°,∵ ∠AA′B′= 20°,∴ ∠CA′B′= 25°,∴ ∠CB′A′ = 90°-∠CA′B′= 90°-25°= 65°. 故选 B. 7. D　 【解析】如图,∵ 直线 a、b 垂直相交于点 O,曲线 C 关于点 O 成中心对称,点 A 的对称点是点 A′,AB ⊥a 于点 B,A′D⊥b 于点 D,OB = 3,OD = 2,∴ AB = 2,∴ 图形①与图形②面积相等,∴ 阴影部分的面积 之和=长方形 ABOE 的面积= 3×2= 6. 故选 D. 8. C　 【解析】∵ 面积为 3 的等腰△ABC,AB = AC,B (1,0)、C(3,0),∴ 点 A 在 BC 的垂直平分线上,∴ A(2,3),由题意得第 1 次变换后 A 的坐标为(-2, 2),第 2 次变换后 A 的坐标为(2,1),第 3 次变换 后 A 的坐标为(-2,0),第 4 次变换后 A 的坐标为 (2,-1),第 5 次变换后 A 的坐标为(-2,-2),以此 可发现规律:当经过 n 次变换后,n 为奇数时,点 A 的横坐标为-2,纵坐标为 3-n;n 为偶数时,点 A 的 横坐标为 2,纵坐标为 3-n,∴ 第 2023 次变换后, 点 A 的坐标为(-2,-2020) . 故选 C. 9. -9　 【解析】由题意,得 n= -5,m = -4,∴ m+n = -4 -5 = -9. 10. 72　 【解析】根据已知图形可知,图形是旋转对称 图形,最小旋转角为360° 5 = 72°,∴ 图形绕中心至 少旋转 72°能与自身重合. 11. ( -5,10)　 【解析】∵ 点 A(3,-1)的对应点为 C (-2,5),-2-3 = -5,5-(-1)= 6,∴ 平移规律是向 左平移 5 个单位,向上平移 6 个单位,∴ 0 - 5 = -5,4+6 = 10,∴ 点 D 的坐标是(-5,10) . 12. 128　 【解析】由题意,得草地的实际面积为(18- 2)×(10-2)= 16×8 = 128(m2) . 13. 7 　 【解析】 连接 BD,由旋转得 BC = CD = 2, ∠BCD= 90°,在 Rt△BCD 中,BD = BC2 +CD2 = 2 2 ,由旋转得 CA = CE,∠ACE = 90°,∴ ∠CAE = ∠E= 45°,由旋转得∠CAB = ∠E = 45°,∴ ∠BAD = ∠CAB+∠CAE = 90°,在 Rt△ABD 中,AB = 1,∴ AD= BD2 -AB2 = (2 2 ) 2 -12 = 7 . 14. 解:(1)如图,△A1B1C1 为所作; (2)如图,△A2B2C2 为所作; 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 31 页 (3)( -3,1) 15. 解:(1)根据对称中心的性质,可得对称中心是对 应点连线的中点,∵ A,A1 的坐标分别为(0,5), (0,1),∴ 对称中心的坐标是(0,3); (2)∵ A1,B1 的坐标分别为(0,1),(3,1),∴ 正方 形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1 的边长都是 3,∴ D1,C1 的坐标分别是(0,4),(3,4) . ∵ A 的坐标 是(0,5),∴ D 的坐标是(0,2),B 的坐标是( -3, 5) . 16. 解:(1)60　 2 (2)①补全图形如图所示:结论:AD=A′D. 理由:如图,过点 A 作 A′C′的平行线,交 CC′于点 E,记∠1 = β. ∵ 将 Rt△ABC 绕点 B 顺时针旋转 α 得到 Rt△A′BC′,∴ ∠A′C′B= ∠ACB = 90°,A′C′ = AC,BC′=BC. ∴ ∠2 = ∠1 =β. ∴ ∠3 = ∠ACB-∠2 = 90°-β,∠A′C′D = ∠A′C′B+∠1 = 90°+β. ∵ AE∥A′ C′,∴ ∠AED = ∠A′C′D = 90° + β. ∴ ∠4 = 180° - ∠AED= 180°-(90°+β)= 90°-β. ∴ ∠3 = ∠4. ∴ AE =AC,∴ AE=A′C′.在△ADE 和△A′DC′中,∠ADE= ∠A′DC′,∠AED = ∠A′C′D,AE = A′C′,∴ △ADE≌ △A′DC′(AAS),∴ AD=A′D. 利用旋转进行计算 1. (1) 证明:∵ 由旋转,得 AB = AE,∠BAE = 60°,∴ △ABE 是等边三角形. (2)解:∵ 由旋转,得∠BAE= ∠CAF= 60°,∠ACB= ∠AFE= 28°,∴ ∠FGC= ∠CAF+∠AFE= 88°. 2. 解:(1)∵ ∠ACB = 90°,∠B = 30°,∴ ∠BAC = 60°; 由旋转得△ABC≌△A′B′C,∴ ∠A′ = ∠BAC = 60°, AC=A′C,∴ ∠A′= ∠A′AC= 60°,∴ ∠ACA′= 60°,∴ △ACA′是等边三角形; (2)∵ △ABC≌△A′B′C,∴ A′B′ = AB,∵ ∠ACB = 90°,∠B= 30°,∴ AB= 2AC,∴ A′B′= 2AC. 3. 解:(1)BF　 ∠AED　 是 (2)①证明:将△ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转使 AD 与 AB 重合,得到△ABG,由(1) 知,点 G、B、P 三点共线,∴ △ABG≌△ADQ,∴ DQ =BG,∠BAG = ∠DAQ, AG = AQ, ∴ ∠DAQ + ∠BAP = ∠GAP = ∠QAP= 45°. ∵ AP=AP,∴ △GAP≌△QAP(SAS), ∴ PQ=PG=BG+BP=DQ+BP; ②解:将△ADN 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ABH, 连接 MH. ∴ ∠ABH = ∠ADN = ∠ABM = 45°,BH = DN= 1,∠BAH = ∠DAN,AH = AN,∴ ∠HBM = 90°, 由勾股定理得,MH = BH2 +BM2 = 5 ,∵ ∠BAH = ∠DAQ,∠HAM = ∠HAB+∠BAM,∠PAQ = 45°,∴ ∠HAM = ∠NAM = 45°. ∵ AM = AM, ∴ △HAM ≌ △NAM(SAS),∴ MN=HM= 5 . 4. (1)证明:延长 FD 到 G,使得 DG = DF,连接 BG、 EG. (或把△CFD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到 △BGD),∴ CF = BG,DF = DG. ∵ DE⊥DF,∴ EF = EG. 在△BEG 中,BE+BG>EG,即 BE+CF>EF. (2)解:BE2 +CF2 = EF2 . 证明如下:∵ ∠A = 90°,∴ ∠EBC+∠FCB= 90°,由(1)知∠FCD = ∠DBG,EF =EG,∴ ∠EBC+∠DBG= 90°,即∠EBG = 90°,∴ 在 Rt△EBG 中,BE2 +BG2 =EG2,∴ BE2 +CF2 =EF2 . 5. 解:(1)∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC,∠BAC = ∠B= 60°. ∵ CE∥AB,∴ ∠ACE = ∠BAC = 60°,∴ ∠B = ∠ACE, 在 △ABD 和 △ACE 中, AB=AC ∠B= ∠ACE BD=CE ì î í ïï ï ,∴ △ABD≌△ACE(SAS); (2)在 AB 上截取 AN=AC,连接 DN,作 NH⊥BC 于 H,作 AM⊥BC 于 M. ∵ ∠CAB = ∠DAE,∴ ∠EAC = ∠DAN. ∵ AE = AD, AC = AN, ∴ △EAC ≌ △DAN (SAS),∴ CE=DN,∴ 当 DN 的值最小时,EC 的值最 小,在 Rt△ACM 中. ∵ ∠ACM= 60°,AC= 6,∴ ∠CAM = 30°,∴ AM= 3 3 . ∵ ∠MAB= ∠BAC-∠CAM= 45°, ∠B= 180°-∠BAC-∠ACB= 45°,∴ ∠MAB= ∠ABM, ∴ BM=AM= 3 3 ,∴ AB = AM2 +BM2 = 3 6 ,∴ NB = AB-AN= 3 6 -6,在 Rt△NHB 中. ∵ ∠B = 45°,∴ 由 勾股定理,得 NH2 +BH2 = 2NH2 =BN2,∴ NH= 2 2 BN, ∴ NH= 3 3 -3 2 ,根据垂线段最短可知,当点 D 与 H 重合时,DN 的值最小,∴ CE 的最小值为 3 3 - 3 2 . 期中测前题组训练 选填题 1. C　 2. C　 3. C　 4. B　 5. D 6. B　 【解析】∵ ∠B= 60°,∴ 由平移和旋转得∠A′B′C = 60°,AB=A′B′=A′C= 4,∴ △A′B′C 是等边三角形, ∴ B′C= 4,∠B′A′C= 60°,∴ BB′= 6-4 = 2,∴ 平移的 距离和旋转角的度数分别为:2,60°. 故选 B. 7. B　 【解析】连接 AF,∵ AB = AD,F 是 BD 的中点, ∴ AF⊥BD,∴ ∠AFD = 90°,∴ ∠EAF+∠C = 90°, ∠AFE+∠EFC = 90°. ∵ EF = EC,∴ ∠EFC = ∠C, ∴ ∠EAF= ∠AFE,∴ EA = EF,∴ EF = EA = EC = 1 2 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 32 页 AC= 4. 故选 B. 8. D　 【解析】∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三 个顶点的距离相等,∴ 为使游戏公平,凳子应放的 最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交 点. 故选 D. 9. A 10. A　 【解析】∵ 当 x>-4 时,y = x+b>0,当 x<2 时,y = kx+4>0,∴ x +b>0 kx+4>0{ 的解集为-4<x<2,故选 A. 11. D　 【解析】设小明至少答对的题数是 x 道,5x-2 (20-2-x)≥60,x≥13 5 7 ,故应为 14. 故选 D. 12. C 　 【解析】依题意得 2(2x +1)+1≤79 2[2(2x+1)+1]+1>79{ ,解 得 9<x≤19. 故选 C. 13. D　 【解析】①过点 P 作 PD⊥AC 于 D,∵ PB 平分 ∠ABC,PA 平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥ AC,∴ PM = PN,PM = PD,∴ PN = PD,∴ 点 P 在 ∠ACF 的平分线上,即 CP 平分∠ACF,故①正 确;② ∵ PM ⊥ AB, PN ⊥ BC, ∴ ∠ABC + 90° + ∠MPN+90° = 360°,∴ ∠ABC+∠MPN = 180°. 在 Rt△PAM 和 Rt△PAD 中, PM =PD PA=PA{ ,∴ Rt△PAM ≌Rt △PAD ( HL), ∴ ∠APM = ∠APD,同理 Rt △PCD≌ Rt △PCN(HL),∴ ∠CPD = ∠CPN,∴ ∠MPN= 2∠APC,∴ ∠ABC+2∠APC = 180°,②正 确;③∵ PA 平分∠CAE,BP 平分∠ABC,∴ ∠CAE = ∠ABC+ ∠ACB = 2 ∠PAM,∠PAM = 1 2 ∠ABC + ∠APB,∴ ∠ACB= 2∠APB,③正确. 故选 D. 14. 1 15. 有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形 16. -3 17. 3 7 　 【解析】过点 A 作 AD⊥BC,垂足为点 D. ∵ AB=AC= 4,BC = 6,∴ BD =CD = 1 2 BC = 1 2 ×6 = 3, 在 Rt△ABD 中,AD = AB2 -BD2 = 42 -32 = 7 , ∴ S△ABC = 1 2 BC·AD= 1 2 ×6× 7 = 3 7 . 18. m>2　 【解析】解不等式-x+8<0,得 x>8. ∵ 关于 x 的不等式组 x<4m-x+8<0{ 有解,∴ 4m>8,解得 m>2. 19. x= 2. 5 或 x = 3　 【解析】∵ 对任意的实数 x 都满 足不等式[x]≤x<[x]+1,[x] = 2x-3,∴ 2x-3≤x< 2x-3+1,解得 2<x≤3. ∵ 2x-3 是整数,∴ x= 2. 5 或 x= 3. 20. 90°　 【解析】如图,连接 AA′,BB′,作线段 AA′, BB′的垂直平分线交点为 O,点 O 即为旋转中心. 连接 OA,OB′,∠AOA′即为旋转角,∴ 旋转角为 90°. 21. 36°　 【解析】连接 AE,∵ EF 垂直平分 AB,∴ AE= BE. ∵ BE = AC,∴ AE = AC,∴ △ACE 是等腰三角 形. ∵ D 为线段 CE 的中点,∴ AD⊥BC,∴ ∠ADC = 90°. ∵ ∠CAD= 18°,∴ ∠C = 72°. ∵ AE = AC,∴ ∠AEC= ∠C = 72°,∴ ∠B+∠BAE = 72°. ∵ AE = BE,∴ ∠B= ∠BAE= 36°. 22. 16 或 10 或25 4 　 【解析】由题意得 BD = xcm. 在 △ABC 中,∠ACB= 90°,BC = 8cm,AC = 6cm,由勾 股定理得 AB = BC2 +AC2 = 10cm. ∵ △ADB 为等 腰三角形,分三种情况:①当 AB = AD 时,则 BD = 2BC= 16cm,∴ x= 16;②当 BA =BD = 10cm 时. x = 10;③当 DA = DB 时,DC = (8 -x) cm,AD = BD = xcm,在 Rt△ACD 中,由勾股定理得 DC2 +AC2 = AD2,∴ (8-x) 2 +62 = x2,解得 x = 25 4 ,综上所述:x 的值为 16 或 10 或25 4 . 期中测前题组训练 解答题(一)(针对 16-20 题) 1. 解:(1)① (2)去分母时漏乘不含分母的项 (3)不等式的基本性质 3 (4)x>- 1 2 2. 解: 7x+13≥4(x+1)① x-4<x -8 3 ②{ ,解不等式①得 x≥-3,解不 等式②得 x<2,∴ 不等式组的解集是-3≤x<2,∴ 它 的整数解为:-3,-2,-1,0,1,-3-2-1+0+1 = -5,∴ 所有整数解的和为-5. 3. 解:(1)△A1B1C1 如图所示; (2)△A2B2C2 如图所示; (3)△PAB 如图所示,P(2,0) . 4. 解:(1)如图 1,△DCE 即所求; (2)根据旋转的性质可得,旋转中心是点 C,旋转 角是∠ACD(或∠BCE); (3)如图 2,连接两对对应点 A、D 和 B、E,并分别 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 33 页 作这两条线段的垂直平分线,它们的交点就是旋 转中心 P 的位置. 图 1 　 　 　 　 图 2 5. 解:连接 AE. ∵ AB=AC,∠BAC = 120°,∴ ∠B = ∠C = 1 2 (180° -∠BAC) = 30°. ∵ 直线 ED 是线段 AC 的垂直平分线, ∴ EA = EC = 6, ∴ ∠EAC = ∠C = 30°,∴ ∠BAE= ∠BAC-∠EAC = 90°,∴ BE = 2AE = 12,∴ 线段 BE 的长为 12. 6. 解: 7. 解:∵ ∠BAD= ∠CAD,BD =CD,AD = AD,不能证明 △ABD 和△ACD 全等,∴ 小明的证明思路不正确, 小芳的证明思路正确. 证明:过点 D 作 DE⊥AB 于 点 E,作 DF⊥AC 于点 F. ∵ AD 是∠BAC 的平分 线,∴ DE = DF. ∵ AD 是△ABC 的中线,∴ S△ABD = S△ACD,∴ 1 2 AB×DE= 1 2 AC×DF,∴ AB=AC. 8. (1)证明:∵ CD = EF,∴ CD+DE = EF+DE,∴ CE = FD. ∵ ∠A= ∠B = 90°,∴ 在 Rt△CAE 和 Rt△FBD 中, CE =FD AC=BF{ ,∴ Rt△CAE≌Rt△FBD(HL),∴ EA= DB; (2)解:∵ ∠AEC = 30°,∠A = 90°,AC = 5,∴ CE = 2AC = 10 . ∵ DE = 6,∴ CD = CE-DE = 10 - 6 = 4,即 CD 的长是 4 . 9. 解:(1)x≤0　 【解析】由 min{2,2x+2,4-2x} = 2x+ 2,得 2x +2≤2 2x+2≤4-2x{ ,解得 x≤0; (2)∵ M{2,x+1,2x} = min{2,x+1,2x},而M{2,x+ 1,2x} = 1 3 (2+x+1 + 2x) = x+ 1,∴ x +1≤2 x+1≤2x{ ,解得 x≤1 x≥1{ ,∴ x= 1. 10. (1)证明:∵ AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DF ⊥AC,∴ DE = DF. 在 Rt △ADE 和 Rt △ADF 中, DE=DF AD=AD{ ,∴ Rt △ADE≌Rt △ADF( HL),∴ AE = AF; (2)解:AD 垂直平分 EF,理由如下:∵ DE = DF, AE=AF,∴ AD 是 EF 的垂直平分线. 期中测前题组训练 解答题(二)(针对 21-23 题) 1. 解:(1)设 A 奖品的单价为 x 元,B 奖品的单价为 y 元,根据题意,得 3x +2y= 120 5x+4y= 210{ ,∴ x= 30 y= 15{ ,∴ A 奖品 的单价为 30 元,B 奖品的单价为 15 元; (2)设购买 A 奖品 z 个,则购买 B 奖品(30-z)个, 购买奖品的花费为 W 元,由题意可知,z≥ 1 3 (30- z),∴ z≥15 2 ,W = 30z+15(30-z) = 450+15z,∵ z 为 正整数,∴ 当 z= 8 时,W 有最小值为 570 元,即购 买 A 奖品 8 个,购买 B 奖品 22 个,花费最少. 2. 解:(1)设公司购买 x 辆轿车,则购买(10-x)辆面 包车,依题意,得 x≥312x+8(10-x)≤100{ ,解得 3 ≤x ≤5. 又∵ x 为正整数,∴ x 可以取 3,4,5,∴ 该公司 共有 3 种购买方案,方案 1:购买 3 辆轿车,7 辆面 包车;方案 2:购买 4 辆轿车,6 辆面包车;方案 3: 购买 5 辆轿车,5 辆面包车; (2)依题意,得 250x+150(10-x) ≥2000,解得 x≥ 5. 又∵ 3≤x≤5,∴ x= 5,∴ 公司应该选择购买方案 3:购买 5 辆轿车,5 辆面包车. 3. (1)证明:∵ AD 平分∠BAC,∠C = 90°,DE⊥AB 于 E, ∴ DE = DC. 在 Rt △CDF 与 Rt △EDB 中, DF=DB CD=DE{ ,∴ Rt △CDF≌ Rt △EDB ( HL), ∴ CF = EB. (2)解:设 CF = x,则 BE = CF = x,∴ AE = 12 -x. 由 ( 1 ) 知 CD = DE. 在 Rt △ACD 与 Rt △AED 中, AD=AD CD=DE{ ,∴ Rt △ACD≌ Rt △AED ( HL), ∴ AC = AE,即 8+x= 12-x,解得 x= 2,即 CF= 2. 4. 解:(1) ∠CMQ = 60°,不变. ∵ 等边三角形中,AB = AC, ∠B = ∠CAP = 60°, 由条件得 AP = BQ, 在 △ABQ 和 △CAP 中, AP=BQ ∠B= ∠CAP AB=AC { , ∴ △ABQ ≌ △CAP ( SAS ), ∴ ∠BAQ = ∠ACP, ∴ ∠CMQ = ∠ACP+∠CAM= ∠BAQ+∠CAM= ∠BAC= 60°. (2)设时间为 t,则 AP = BQ = t,PB = 6 - t, ① 当 ∠PQB= 90°时,∵ ∠ABC= 60°,∴ PB= 2BQ,得 6-t = 2t,t = 2;②当∠BPQ = 90°时,∵ ∠ABC = 60°,∴ BQ= 2BP,得 t= 2(6-t),t= 4;∴ 当第 2 秒或第 4 秒 时,△PBQ 为直角三角形; (3)120° 　 【解析】 ∵ 在等边三角形中,BC = AC, ∠ABC=∠ACB=60°,∴ ∠PBC=∠ACQ= 120°,由条件 得 BP=CQ,在△PBC 和△QCA 中, BC=AC ∠PBC=∠ACQ BP=CQ { , ∴ △PBC≌△QCA(SAS),∴ ∠BPC = ∠MQC. 又∵ ∠PCB=∠MCQ,∴ ∠CMQ=∠PBC=120°. 5. (1)解:①AC=BD　 ②35° (2)解:①AC = BD. 理由:∵ ∠AOB = ∠COD = 90°, ∴ ∠AOB + ∠AOD = ∠COD + ∠AOD, ∴ ∠BOD = 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 34 页 ∠AOC. 由旋转得 OD=OC. 在△BOD 和△AOC 中, OB=OA ∠BOD= ∠AOC OD=OC { ,∴ △BOD≌△AOC( SAS),∴ BD =AC; ②∵ △BOD≌△AOC,∴ ∠OBD = ∠OAC. ∵ ∠OAB +∠OBA= 90°,∠ABO= ∠ABM+∠OBD,∴ ∠MAB+ ∠MBA= ∠OAC+∠OAB+∠ABM= ∠OBD+∠ABM+ ∠OAB= 90°. ∴ ∠AMB= 180°-(∠ABM+∠BAM)= 90°; (3)OD= 3 -1 2 OA 或 OD= 3 +1 2 OA. 　 【解析】如图 3 所示,∠AOB = ∠COD = 90°,OA = OB,OC = OD, ∠CAB= 30°,∴ ∠OAB= ∠OBA= ∠OCD= ∠ODC = 45°,AB = 2 OA,CD = 2 OC,由(2)同理得△BOD ≌△AOC(SAS),∴ ∠ACO= ∠BDO= 45°,BD = AC, ∴ ∠ACD= ∠ACO+∠OCD= 90°,∴ ∠ACB = 90°,∴ BC= 1 2 AB,由勾股定理得,AC = AB2 -BC2 = 3 2 AB,∴ CD=BD-BC = AC-BC = 3 -1 2 AB,∴ 2 OC = 3 -1 2 × 2 OA,∴ OD = OC = 3 -1 2 OA,如图 4,同上 由勾股定理得:AC= AB2 -BC2 = 3 2 AB,∴ CD=BD +BC=AC+BC = 3 +1 2 AB,∴ 2 OC = 3 +1 2 × 2 OA, ∴ OD=OC = 3 +1 2 OA,综上所述,OD = 3 -1 2 OA 或 OD= 3 +1 2 OA. 图 3 　 　 　 图 4 6. 解:【发现问题】BQ=PC 【探究猜想】结论:BQ=PC 仍然成立,理由:由旋转 知,AQ=AP. ∵ ∠PAQ = ∠BAC,∴ ∠PAQ-∠BAP = ∠BAC- ∠BAP,∴ ∠BAQ = ∠CAP. ∵ AB = AC, ∴ △BAQ≌△CAP(SAS),∴ BQ=CP; 【拓展应用】线段 CQ 长度最小值是 1. 　 【解析】在 AB 上取一点 E,使 AE=AC = 2,连接 PE,过点 E 作 EF⊥BC 于 F,由旋转知,AQ = AP,∠PAQ = 60°. ∵ ∠ACB = 90°, ∠ABC = 30°, ∴ ∠EAC = 60°, ∴ ∠PAQ = ∠EAC, ∴ ∠CAQ = ∠EAP, ∴ △CAQ ≌ △EAP(SAS),∴ CQ = EP,要使 CQ 最小,则有 EP 最小,而点 E 是定点,点 P 是 BC 上的动点,∴ 当 EF⊥BC (点 P 和点 F 重合) 时,EP 最小,在 Rt △ACB 中,∠ABC= 30°,AC= 2,∴ AB = 4. ∵ AE =AC = 2,∴ BE = AB-AE = 2,在 Rt△BFE 中,∠EBF = 30°,BE= 2,∴ EF = 1 2 BE = 1,故线段 CQ 长度最小 值是 1. 第七周　 因式分解(4. 1~ 4. 3) 1. B　 2. D　 3. C　 【解析】∵ a、b、c 是三角形的三条边,∴ a+c>b, b+c>a,∴ a-b+c>0,a-b-c<0,∴ (a-b) 2 -c2 = (a-b +c)(a-b-c)<0. 故选 C. 4. A　 5. D　 6. B　 7. C 8. x2 +3x+2(答案不唯一)　 9. 4ab2(2a2 -3bc) 10. 6 11. 36　 【解析】∵ M= x2 +4xy+5y2 -12y+k=(x+2y) 2 + (y-6) 2 +k-36,∴ k= 36 时,M 是完美数. 12. 解:(1)原式= 4a(x-y) +2b(x-y) = 2(x-y) (2a+ b); (2)原式= x2[y2 -(y-1) 2 ] = x2 [y+(y-1)] [y-(y -1)] = x2(2y-1); (3)原式=a2(x-y) -4(x-y)= (x-y) (a2 -4)= (x -y)(a+2)(a-2); (4)原式 = -[(x2 +2) 2 -6(x2 +2) +9] = -(x2 +2- 3) 2 = -(x2 -1) 2 = -(x+1) 2(x-1) 2 . 13. 原式= xy(x2 +2xy+y2 ) = xy(x+y) 2 . ∵ xy = 3 8 ,x+y = 1 2 ,∴ 原式= 3 8 ×( 1 2 ) 2 = 3 32 . 14. 解:原式= 1 2 ×(3-1)×(3+1)×(32 +1)×(34 +1)×(38 +1)×…×(364 +1)= 1 2 ×(32 -1) ×(32 +1) ×(34 +1) × (38 +1) ×…×(364 +1)= 1 2 ×(34 -1) ×(34 +1) ×(38 + 1)×…×(364 +1)= … = 1 2 ×(364 -1) ×(364 +1)= 1 2 × (3128 -1). 15. 解:(1)9x2 -9x+3y-y2 = (9x2 -y2 ) -(9x-3y)= (3x +y)(3x-y) -3(3x-y)= (3x-y)(3x+y-3); (2)△ABC 为等腰三角形. 理由:∵ a2 -ab-ac+bc= 0,∴ a(a-b) -c(a-b)= 0,∴ (a-b)(a-c)= 0,∴ a -b= 0 或 a-c= 0. ∴ a= b 或 a= c,∴ △ABC 为等腰 三角形. 16. 解:(1)m-n (2)(m-n) 2 　 (m+n) 2 -4mn (3)三个代数式之间的等量关系为(m-n) 2 = (m+ n) 2 -4mn. (4)∵ a-b= 6,ab= 5,∴ (a+b) 2 = (a-b) 2 +4ab = 62 +4×5 = 36+20 = 56. 第八周　 分式、分式的运算(5. 1~ 5. 3) 1. A 2. B　 【解析】由题可知 x2 -16 = 0 且 x+4≠0,解得 x= 4. 故选 B. 3. C　 4. B　 5. B　 6. B 7. C　 【解析】原式= a 2 (a+1)(a-1) ÷1+a-1 a-1 = a a+1 . 故选 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 35 页 C. 8. D　 【解析】原式 = m(m -2) m-1 · -(m-1) m2 = -m-2 m . ∵ m,n 是两个连续的整数,且 m+n = -1,∴ m = -1,n = 0,则原式= - -1-2 -1 = -3,故选 D. 9. x≠2025 10. 6　 【解析】原式 = a 2 -4 a · a 2 a+2 = (a+2)(a-2) a · a2 a+2 =a2 -2a. ∵ a2 -2a-6 = 0,∴ a2 -2a= 6. 11. 80x x2 -4 h 12. fu u-f 　 【解析】∵ 1 f = 1 u + 1 v ,∴ 1 v = 1 f - 1 u = u-f fu ,∴ v= fu u-f . 13. 解:(1)原式= x +2 x+1 ·x(x +1) x = x+2; (2) 原式 = (x +2)(x-2) (x-2) 2 · 2(x -2) x(x+2) - 1 x = x+2 x-2 · 2(x-2) x(x+2) - 1 x = 2 x - 1 x = 1 x ; (3)原式=a 2 +2ab+b2 a+b = (a+b) 2 a+b =a+b. 14. 解: 原 式 = ( 5 x-2 - x 2 -4 x-2 ) ÷ (x -3) 2 x-2 + x x-3 = -(x+3)(x-3) x-2 · x -2 (x-3) 2 + x x-3 = - x+3 x-3 + x x-3 = - 3 x-3 . ∵ x-2≠0,x-3≠0,∴ x≠2 且 x≠3,∴ 取 x = 1,则原式= - 3 1-3 = 3 2 . (答案不唯一) 15. 解:原式=x +2 x+1 · 2(x +1) (x-2)(x+2) = 2 x-2 . 解不等式组可 得-3≤x≤-1. ∵ x 是整数,∴ x = -1,-2,-3. ∵ x+1 ≠0,x+2≠0,x-2≠0,∴ x≠-1 且 x≠-2 且 x≠2, ∴ 取 x= -3.当 x= -3 时,原式= - 2 5 . 16. 解: M x+2 - N x-2 = x-8 x2 -4 ,∴ M(x -2) -N(x+2) (x+2)(x-2) = x-8 x2 -4 , ∴ (M -N)x-2M-2N x2 -4 = x-8 x2 -4 ,∴ M -N= 1 -2M-2N= -8{ ,解 得 M= 2. 5 N= 1. 5{ . 17. 解:由 x x2 -3x+1 = 1 5 知 x≠0,∴ x 2 -3x+1 x = 5,即 x-3 + 1 x = 5,∴ x+ 1 x = 8,∴ x 4 +x2 +1 x2 = x2 + 1 + 1 x2 = ( x+ 1 x ) 2 -1 = 82 -1 = 63,∴ x 2 x4 +x2 +1 = 1 63 . 第九周　 分式方程(5. 4) 1. B　 2. D　 3. B 4. D　 【解析】解分式方程得 x = - m m-1 . ∵ 方程有解, ∴ x≠0,x+1≠0,m-1≠0,∴ m≠0 且 m≠1. 故选 D. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【易错提醒】当分式方程有解时,解的分母里含有未 知数的话,不要忘记解的分母也不等于 0. 5. A　 6. B 7. B　 【解析】设小敏通过 AB 路段时的速度是 x 米 / 秒,则小敏通过 BC 路段时的速度是 1. 2x 米 / 秒, 依题意得 12 x + 12 1. 2x = 22,解得 x = 1,经检验,x = 1 是 原方程的解,且符合题意,∴ 小敏通过 AB 路段时 的速度是 1 米 / 秒. 故选 B. 8. C　 【解析】解分式方程得,x = 8 a-2 . ∵ 分式方程的 解为正整数解,∴ a-2 = 1 或 2 或 4 或 8. 又∵ x≠4 且 x≠0,∴ a≠4,∴ a= 3 或 6 或 10. ∵ 关于 y 的不 等式组 y+1 2 -y-1 3 >1① 1-y 2 ≥3-a② ì î í ï ï ï ï 有解,解①得 y>1,解②得 y ≤2a-5,∴ 2a-5>1,解得 a>3,综上,符合题意的整 数 a 的值有 6,10,符合条件的所有整数 a 的和为 16. 故选 C. 9. 7 10. -3　 【解析】解分式方程得 x = 2+m. ∵ 分式方程 有增根,∴ x+1 = 0,∴ x = -1,把 x = -1 代入 x = 2+ m 中解得 m= -3. 11. 60 x = 60 x+40 ×3 12. 解:(1)方程两边同乘 x(x+2),得 2(x+2) = 3x, 解得 x= 4. 检验:当 x = 4 时,x(x+2) ≠0,∴ 原分 式方程的解为 x= 4. (2)方程两边同乘( x+1) ( x-1),得( x+1) 2 +4 = (x+1)(x-1),解得 x= -3. 检验:当 x= -3 时,(x+ 1)(x-1)≠0,∴ 原分式方程的解为 x= -3. 13. 解:(1) 方程两边同乘( x- 3),得 x = 2 ( x - 3) - ( -2),解得 x = 4. 经检验,x = 4 是原分式方程的 解. (2)设原分式方程中“?”代表的数为 m,则有 x x-3 = 2 - m x-3 . 方 程 两 边 同 时 乘 ( x - 3 ), 得 x = 2(x-3) -m. ∵ x= 3 是原分式方程的增根,∴ 把 x = 3 代入上面的等式,得 m = -3. ∴ 原分式方程中 “?”代表的数是-3. 14. 解:(1)一　 2x+2-(x-3)= 6x　 分式的基本性质 (2)检验 (3)方程两边同乘 2x+2,得 2x+2-(x-3)= 6x,解 得 x= 1. 检验:当 x= 1 时,2x+2≠0. ∴ 原分式方程 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 36 页 的解为 x= 1. 15. 解:设苹果每千克的价格为 x 元,则砂糖橘每千 克的价格为(1-30%)x 元,依题意得 2800 (1-30%)x - 2500 x = 250,解得 x = 6,经检验,x = 6 是原方程的 解,且符合题意. 故苹果每千克的价格为 6 元. 第十周　 平行四边形的性质与判定(6. 1~ 6. 2) 1. D　 2. B　 3. A　 4. B　 5. C 6. C　 【解析】由作法得 BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE = ∠CBE. ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AD∥ BC,AD=AE+DE = 10+6 = 16,AB = CD,∴ ∠CBE = ∠AEB,∴ ∠ABE = ∠AEB,∴ AB = AE = 10,∴ CD = 10. ∵ CE⊥DE,∴ ∠CED= 90°,在 Rt△CDE 中,DE = 6,CD= 10,∴ CE = CD2 -DE2 = 8,∴ ▱ABCD 的 面积为 AD×CE= 16×8 = 128. 故选 C. 7. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ BC∥ AD,∴ ∠GBF = ∠HDE,AD = BC. ∵ E、F 分别为 AD,BC 中点,∴ DE = BF. 在△GBF 和△HDE 中, BF=DE ∠GBF= ∠HDE BG=DH { ,∴ △GBF≌△HDE(SAS),∴ GF =EH,∠BGF = ∠DHE,∴ ∠FGH = ∠EHG,∴ GF∥ EH,∴ 四边形 EGFH 是平行四边形,∴ EG =FH,故 ②③④正确. ∵ ∠FGH 不一定等于 90°,∴ GF⊥BD 不正确. 故选 C. 8. 21　 9. 10 10. 2 或 6　 【解析】①当点 F 在 C 的左侧时,根据题 意,得 AE= tcm,BF = 2tcm,则 CF = (6-2t) cm. ∵ AG∥BC,∴ 当 AE=CF 时,四边形 AECF 是平行四 边形,即 t= 6-2t,解得 t= 2;②当点 F 在 C 的右侧 时,根据题意,得 AE = tcm,BF = 2tcm,则 CF = (2t -6)cm. ∵ AG∥BC,∴ 当 AE=CF 时,四边形 AEFC 是平行四边形,即 t= 2t-6,解得 t = 6. 综上,当 t = 2 或 6s 时,以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行 四边形. 11. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ DA∥BC, DA=BC. ∵ AE = CF,∴ DA+AE = BC+CF,即 DE = BF. ∵ DA∥BC,∴ DE∥BF,∴ ∠E = ∠F,∠EDO = ∠FBO. 在△EOD 和△FOB 中, ∠E= ∠F DE=BF ∠EDO= ∠FBO { , ∴ △EOD≌△FOB(ASA),∴ OE=OF. 12. (1)证明:∵ ∠ACB= 90°,∴ AC⊥BC. ∵ DE⊥BC, ∴ AC∥DF,∴ ∠A= ∠BDF. ∵ ∠A= ∠F,∴ ∠BDF = ∠F,∴ CF∥AB. ∵ AC∥DF,∴ 四边形 ADFC 是 平行四边形; (2) 解: ∵ CD 平分∠ADE,∴ ∠ADC = ∠FDC,在 △ADC 和△FDC 中,∠A = ∠F,∠ADC = ∠FDC,CD =CD,∴ △ADC≌△FDC(AAS),∴ AD=DF,由(1)得 四边形 ADFC 是平行四边形,∴ S四边形ADFC = 2S△CDF, AD=CF=DF = 10,设 EF = x,则 DE = 10-x,∵ CD2 - DE2 =CF2-EF2,∴ 122-(10-x)2 =102-x2,解得 x= 14 5 , ∴ CE= 48 5 ,∴ S四边形ADFC = 2S△CDF = 2× 1 2 DF·CE = 2× 1 2 ×10×48 5 =96. 13. 解:(1)∵ DE∥AC,DF∥AB,∴ 四边形 AEDF 是平 行四边形,∴ DE=AF,∠FDC = ∠B. 又∵ AB = AC, ∴ ∠B= ∠C,∴ ∠FDC = ∠C,∴ DF = FC,∴ DE+ DF=AF+FC=AC; (2)当点 D 在边 BC 的延长线上时,在图 2 中,DE -DF=AC;当点 D 在边 BC 的反向延长线上时,在 图 3 中,DF-DE=AC. (3)当在图 1 的情况下,DF = AC-DE = 10-7 = 3; 当在图 3 的情况,DF=AC+DE= 10+7 = 17. 平行四边形的性质与判定 1. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ DC = AB, DC∥AB. ∴ ∠BAC = ∠DCA. ∴ ∠BAE = ∠DCF. 在 △ABE 和△CDF 中, AB=CD ∠BAE= ∠DCF AE=CF { ,∴ △ABE≌ △CDF(SAS) . ∴ BE=DF. 2. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,O 为 BD 的 中点,∴ BO = DO,AD∥BC. ∴ ∠EDB = ∠FBO,在 △EOD 和△FOB 中, ∠EDO= ∠OBF DO=BO ∠EOD= ∠FOB { ,∴ △DOE≌ △BOF(ASA),∴ DE=BF. 3. 证明:连接 AC 交 BD 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是平 行四边形, ∴ OA = OC. ∵ AE∥CF, ∴ ∠AEO = ∠CFO,在△AOE 和△COF 中, ∠AEO= ∠CFO ∠AOE= ∠COF OA=CO { , ∴ △AOE≌ △COF ( AAS), ∴ AE = CF. 又∵ AE∥ CF,∴ 四边形 AECF 为平行四边形,∴ AF=CE. 4. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OA = OC, OB=OD,又∵ AF = CE,BH = DG,∴ AF-OA = CE- OC,BH-OB=DG-OD,∴ OF =OE,OG =OH,∴ 四边 形 EGFH 是平行四边形,∴ GF∥HE. 5. (1)解:∵ AE⊥BD,∴ ∠AEO= 90°. ∵ ∠AOE= 55°, ∴ ∠EAO = 35°. ∵ CA 平分 ∠DAE, ∴ ∠DAC = ∠EAO= 35°. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD ∥BC,∴ ∠ACB= ∠DAC= 35°; (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OA = OC. ∵ AE⊥BD,CF⊥BD,∴ ∠AEO = ∠CFO = 90°, 在△AEO 和△CFO 中, ∠AOE= ∠COF ∠AEO= ∠CFO OA=OC { ,∴ △AEO ≌△CFO(AAS),∴ AE=CF. 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ CD∥ AB,∴ ∠AFN = ∠CEM. ∵ FN = EM, AF = CE, ∴ △AFN≌△CEM(SAS) . (2) 解: ∵ △AFN≌ △CEM, ∴ ∠NAF = ∠ECM. ∵ ∠CMF= ∠CEM+∠ECM,∴ ∠ECM= 107°-72° = 35°, ∴ ∠NAF=35°. 7. 解:(1)证明:在▱ABCD 中. ∵ AD∥BC,∴ ∠EAO = 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 37 页 ∠FCO, ∠AEO = ∠CFO,在 △EAO 和 △FCO 中, ∠AEO= ∠CFO ∠EAO= ∠FCO AO=CO { ,∴ △EAO≌△FCO( AAS),∴ EA =FC,又∵ EA∥FC,∴ 四边形 AECF 是平行四边 形; (2)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ BO =DO,∴ S△ AOB = 1 2 S△ ABD = 1 4 S▱ ABCD,∵ S四边形 AGOE = 1 4 S▱ ABCD, ∴ S△ AOB = S四边形 AGOE, 即 S△ AOG + S△ BOG = S△ AOG + S△ AOE,∴ S△ BOG =S△ AOE,∴ S△ AOB· BG AB = S△ AOD· AE AD , 且 S△ AOB =S△ AOD,∴ AE= 5 3 . 第十一周　 三角形的中位线、多边形的内角和 与外角和(6. 3~ 6. 4) 1. C　 【解析】设这个多边形是 n 边形,根据题意得: (n-2)·180° = 1260°,解得 n = 9,则这个多边形是 九边形. 故选 C. 2. B　 【解析】∵ 多边形从一个顶点出发可引出 2 条 对角线,∴ n-3 = 2,解得 n = 5,∴ 内角和 = (5-2) × 180° = 540°. 故选 B. 3. C　 4. D　 5. C　 6. C 7. B　 【解析】∵ E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中点, ∴ EF= 1 2 BC,EG= 1 2 AC,FG= 1 2 AB,∴ △EFG 的周 长为:64 × 1 2 ,同理可得:△A′B′C′的周长为:64 × ( 1 2 ) 2, …… 则 第 n 个 三 角 形 的 周 长 为: 64 × ( 1 2 ) n-1 . 故选 B. 8. A　 【解析】过点D 作DE⊥BC 于E,则当点P 与点E 重合时,DP 最小,在 Rt △CDE 中,∠C = 30°,CD = 13,则 DE= 1 2 CD= 13 2 . ∵ M 为 AD 中点,N 是 AP 中点,∴ MN= 1 2 DP,∴ 线段 MN 的最小值为 13 4 . 故 选 A. 9. 720°　 【解析】360° ÷60° = 6,(6-2) ×180° = 720°. 即这个多边形的内角和是 720°. 10. 6 或 7 11. 6 　 【解析】 延 长 CD 交 AB 于 F. ∵ BD 平 分 ∠ABC,BD⊥CD,∴ BF=BC= 18,CD=DF,∴ AF = AB-BF= 12. ∵ CD = DF,CE = EA,∴ DE = 1 2 AF = 6. 12. 15°　 【解析】∵ ABCDEF 为正六边形,ABGH 为正 方形,∴ AB = BC = BG,∴ ∠BCG = ∠BGC. ∵ 正六 边形 ABCDEF 的每一个内角是 4×180°÷6 = 120°, 正方形 ABGH 的每个内角是 90°,∴ ∠CBG = 360° -120°-90° = 150°,∴ ∠BCG= ∠BGC= 1 2 ×(180°- 150°)= 15°. 13. 解:1140°÷180° = 6……60°,则边数是 6+1+2 = 9. ∴ 他们是在求九边形的内角和. 180°-60° = 120°, ∴ 少加的那个内角为 120°. 14. 解:在△ABD 中,由三角形中位线定理,得 BD = 2EF= 4. 由 BD2 +CD2 = 42 +32 = 25,BC2 = 52 = 25, 得 BD2 +CD2 =BC2,∴ ∠BDC= 90°. 由三角形的面 积公式,得 S△DBC = 1 2 BD·CD= 1 2 ×4×3 = 6. 15. (1)证明:在△ABC 中. ∵ D、E 分别为 AB、AC 的 中点,∴ DE 为△ABC 的中位线,∴ DE∥CF,DE = 1 2 BC,∵ CF = 1 2 BC,∴ DE = CF. ∴ 四边形 DEFC 是平行四边形,∴ CD=EF. (2) 2 3 　 【解析】过点 D 作 DH⊥BC 于 H. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC =BC,∠ACB = 60°. ∵ AD=BD,∴ CD⊥AB,∠DCB= 1 2 ∠ACB = 30°. ∵ BC = 4,∴ BD = 2,∴ CD = BC2 -BD2 = 42 -22 = 2 3 . ∵ ∠DHC= 90°,∴ DH = 1 2 DC = 3 . ∵ DE =CF = 1 2 BC= 2,∴ S四边形DEFC =CF·DH= 2× 3 = 2 3 . 16. 解:(1)DE∥BC,且 DE= 1 2 BC (2)∵ 点 E 是 AC 的中点,∴ AE = CE. 又∵ EF = ED,∠AED= ∠CEF,∴ △ADE≌△CFE(SAS) . ∴ AD=CF,∠A= ∠ECF. ∴ AD∥CF. ∴ AB∥CF. ∵ 点 D 是 AB 的中点,∴ AD=BD. ∴ BD=CF. ∴ 四边形 BDFC 是平行四边形. ∴ DE∥BC,DF = BC. ∵ DE =FE,∴ DE= 1 2 DF= 1 2 BC. (3)∵ DF= 8,∴ BC= 8. ∵ CE= 3,∴ AC= 6. ∴ BC- AC<AB<BC+AC,即 2<AB<14. 期末测前题组训练 选填题 1. D　 2. B　 3. A　 4. C 5. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】正多边形的镶嵌有三个限制条件: ①边长相等;②有公共顶点;③在一个顶点处各 正多边形的内角之和为 360°. 判断一种或几种 图形是否能够镶嵌,只要看拼在同一顶点处的几 个角能否构成周角,若能构成 360°,则说明能够 进行平面镶嵌,反之则不能. 6. A 7. C　 【解析】过 D 点作 DH⊥AB 于 H. ∵ S△ABD = 1 2 DH·AB = 60,∴ DH = 6. ∵ AD 平分∠BAC,DC⊥ AC,DH⊥AB,∴ DH=DC= 6. 故选 C. 8. A　 【解析】设 BF= x. ∵ ∠BAF = 30°,∠AFB = 90°, ∴ AB= 2x,AF= 3 x. ∵ EF = 1,∴ 3 x-1 = x,解得 x = 3 +1 2 ,∴ AB= 2x= 3 +1. 故选 A. 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 38 页 9. D　 10. A 11. C　 【解析】由[x +2 3 ] = 5,得 5≤x +2 3 <6,解得 13≤ x<16. 故选 C. 12. C 13. C　 【解析】由题意,得 BC = BP = BA,∴ ∠BCP = ∠BPC,∠BPA= ∠BAP. ∵ ∠ABC+∠PAB+∠APC +∠PCB = 360°,∠ABC = 90°,∴ ∠BPC+∠BPA = 135° = ∠CPA. ∵ ∠CPA = ∠AHC+∠PAH = 135°, ∴ ∠PAH= 135°-90° = 45°,∴ ∠PAH 的度数是定 值. 故选 C. 14. C　 【解析】∵ AC⊥BC,∴ ∠ACB = 90°. ∵ BC = 6, AC= 8. ∴ AB = 10. ∵ AD∥BC,∴ ∠ADB = ∠DBC. ∵ BD 为∠ABC 的平分线,∴ ∠ABD = ∠CBD,∴ ∠ABD= ∠ADB,∴ AB = AD = 10,连接 BF 并延长 交 AD 于点 G. ∵ AD∥BC,∴ ∠GAC = ∠BCA. ∵ F 是 AC 的中点,∴ AF =CF,在△AFG 和△CFB 中, ∠AFG= ∠CFB AF=CF ∠GAC= ∠BCA { ,∴ △AFG≌△CFB(ASA),∴ BF =FG,AG=BC= 6,∴ DG= 10-6 = 4. ∵ E、F 分别是 BD、BG 中点,∴ EF= 1 2 DG= 2. 故选 C. 15. 1260°　 16. m<-1 且 m≠-3　 17. x<1 18. 2≤a<3 19. 1. 5　 【解析】∵ AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB, DF⊥AC,∴ DF =DE,∠F = ∠DEA = 90°,∠DAF = ∠DAE,在△ADF 和△ADE 中, ∠DAF= ∠DAE ∠F= ∠DEA AD=AD { , ∴ △ADF≌△ADE(AAS),∴ AE=AF. ∵ DG 是 BC 的垂 直 平 分 线, ∴ CD = BD, 在 Rt △CDF 和 Rt△BDE 中, CD =BD DF=DE{ ,∴ Rt △CDF ≌ Rt △BDE (HL),∴ BE = CF,∴ AB = AE+BE = AF+BE = AC+ CF+BE=AC+2BE. ∵ AB= 6,AC= 3,∴ BE= 1. 5. 20. 2 或 3　 【解析】设点 P 运动了 t 秒,∴ CQ= 2tcm, AP= 4tcm,BQ=(18-2t) cm,PD = (12-4t) cm,① 当 BQ= AP 时,且 AD∥BC,则四边形 APQB 是平 行四边形,即 18-2t= 4t,∴ t= 3;②当 CQ=PD 时, 且 AD∥BC,则四边形 CQPD 是平行四边形,即 2t = 12-4t,∴ t= 2,综上所述:当直线 PQ 在四边形 ABCD 内部截出一个平行四边形时,点 P 运动了 2 秒或 3 秒. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】当题中没有明确指出平行四边形的四 个顶点时要进行分情况讨论. 本题中分为四边形 ABQP 为平行四边形或四边形 PDCQ 为平行四边 形,即 BQ=AP 或 CQ = PD 两种情况,再列出方程, 求出方程的解即可. 期末测前题组训练 解答题 1. 解:(1)原式= y(x2 -2xy+y2)= y(x-y) 2; (2)去分母,得 2x-4+2(2x-1)= -3,解得 x = 1 2 ,检 验:把 x= 1 2 代入 2x-1,得 2x-1 = 0,∴ x= 1 2 是增根, 原分式方程无解. 2. 解:原式 = x +1 (x+2)(x-2) ·1 +x+1 x+1 = x+2 (x+2)(x-2) = 1 x-2 ,由不等式组 x +1≥0 5-2x>3{ ,得-1≤x<1. ∴ x = -1, 0. ∵ 当 x = -1 时,原分式无意义,∴ x = 0,当 x = 0 时,原式= - 1 2 . 3. 解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求,(2,-3); (2)如图,△A2B2C2 即为所求,( -2,-4); (3)(4,5)或(0,3)或(2,-1) . 4. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥CB, ∴ ∠2 = ∠FCB. ∵ ∠1 = ∠2,∴ ∠1 = ∠FCB,∴ AE ∥FC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形,∴ AE=CF. 5. 解:△AFD 是直角三角形. 理由如下:∵ AB =AD,∴ ∠ADB= ∠B = 64°,∴ ∠BAD = 180°-2×64° = 52°, ∠DAC= 72°-52° = 20°. ∵ AD =DE,∴ ∠DAE = ∠E = 55°,∴ ∠ADE = 180° - 2 × 55° = 70°. ∵ ∠DAC + ∠ADE= 90°,∴ ∠AFD= 90°,∴ △AFD 是直角三角 形. 6. 解:(1)原式= x2 +2x-3+1-1 = x2 +2x+1-4 = (x+1) 2 -4 = [(x+1) -2][(x+1) +2] = (x-1)(x+3); (2)由(1)得 x2 +2x-3=(x+1)2 -4,(x+1)2 ≥0,∴ 当 x= -1 时,代数式 x2 +2x-3 有最小值,最小值是-4. 7. 解:(1)由题意得2000 a = 400 a-320 ,解得 a = 400,经检 验,a= 400 是原方程的解,且符合题意,故表中 a 的值为 400; (2)由(1)可知,a-320 = 80,设 A 种产品要购进 x 件,则 B 种产品要购进(50-x)件,由题意得(500- 400)x+(120-80)(50-x)≥3200,解得 x≥20,故 A 种产品至少要购进 20 件. 8. 解:(1)依据 1:角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等;依据 2:线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等; (2)证明:如图 2,作 EF⊥AB 交 BA 的延长线于点 F,EG⊥BC 于点 G. ∵ BE 平分∠ABC,∴ EF = EG. ∵ DE 垂直平分 AC,∴ EA = EC. ∵ EF⊥AB,EG⊥ BC,∴ ∠F = ∠EGC = 90°,在 Rt△AEF 与 Rt△CEG 中, AE=CEEF=EG{ ,∴ Rt△AEF≌Rt△CEG(HL),∴ ∠FAE = ∠GCE. 又 ∵ ∠BAE + ∠FAE = 180°, ∴ ∠BAE + ∠GCE= 180°,∴ ∠BAE 与∠BCE 互为补角. 追梦之旅铺路卷·八年级下·BS·数学　 第 39 页