1.2.1 矩形的性质 学案 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

矩形 第1课时 矩形的性质 【知识导航】 1. 矩形的定义 有一个角是 的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形. 注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 2. 矩形的性质 包括四个方面： （1） 矩形具有平行四边形的所有性质； （2） 矩形的对角线 ； （3） 矩形的四个角都是 ； （4） 矩形是轴对称图形，它有 对称轴. 注意：（1）矩形的对称轴是分别通过对边中点的两条直线.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （2） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，因此矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看。矩形的对角线互相平分且相等.A C D B 3. 直角三角形斜边上中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于 . 符号语言： ∵∠ACB=90°，D为AB的中点 ∴ 注意：（1）该性质可以用来解决有关线段倍分的问题.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半. 【典例导思】 题型一 矩形边、角性质的应用 例1 （1）如图，在矩形中，，，为上一点，平分，则长为 ． （2）如图，在矩形ABCD中，，，P是AD边上一点，BP平分，则△DBP的面积是 ． 【跟踪训练】 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（   ） A．1 B． C． D． 2.在学习矩形的过程中，小靓遇到一个问题：在矩形中，F是边上一点，E是边的一点，平分，．求证：．她的思路是：连接，过点E作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等使问题得到解决．请根据小舰的思路完成下面的作图与填空：    证明：用直尺和圆规，过点E作的垂线，垂足为点G，连接（只保留作图痕迹）． ∵在矩形中， ∴． ∵， ∴， ∵平分． ∴． ∵______， ∴（HL）， ∴______ ∵， ∴． ∵， ∴______（HL） ∴______． ∵， ∴． 题型二 矩形对角线性质的应用 例2 如图，在矩形中，对角线和相交于O点，平分交于点E，连接OE，且．      (1)求证：ODC为等边三角形； (2)求的度数． 【跟踪训练】 3.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BF于点F，连接AF，若，求AF的长. 题型三 直角三角形斜边上的中线的性质的应用 例3 如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，点F，M分别是DE，BC的中点.求证：FM⊥DE. 【跟踪训练】 5.如图，在中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，于点D，点E为AB的中点．连接CE，若，则AB的长为（    ） A．4 B． C． D．6 6.．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°． (1)求证：CE=CM． (2)若AB=4，求线段FC的长． 【课时达标】 第一阶 基础夯实 1.一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 3.如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为（　　） A． B． C． D． 4.如图，在矩形中，对角线相交于点O，的度数为 ． 5.如图，两点，分别在矩形的和边上，，，，且，点为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6.如图，是矩形对角线的中点，是的中点，若，则的长为 . 7.如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③S△AOE＝S△COE，其中正确结论有 . 8.如图，四边形为矩形，为矩形的一条对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：在的左侧作，射线与的延长线交于点E．连接与交于