2024年九年级中考数学二轮复习课件　专题5　二次函数综合

专题五　二次函数综合 1 例1 类型一　二次函数与直线的综合 (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上第一象限内的一个动点，连接PC，PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标． 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A′(－1，0)，B′(0，2)，O(0，0)，将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得△AOB. 例2 类型二　二次函数与三角形的综合 (1)某抛物线经过点A′，B，B′，求该抛物线的表达式； (2)点M为第一象限内的抛物线上的一动点，是否存在一点M，使得四边形MB′A′O是平行四边形？若存在，请求出M的坐标，若不存在，说明理由； (3)连接BB′，求△ABB′的面积． 解：(1)由题意得：B(2，0)，设抛物线y＝a(x＋1)·(x－2)，∴a·1×(－2)＝2，∴a＝－1，∴y＝－(x＋1)·(x－2)，∴y＝－x2＋x＋2. (2)存在，过点B′作B′M∥A′O交抛物线于M点．∵B′(0，2)，∴M(x，2)，∵点M(x，2)在抛物线y＝－x2＋x＋2上，∴－x2＋x＋2＝2，∴x1＝1，x2＝0(舍去)，∴M(1，2)，∴A′O＝B′M＝1.又∵B′M∥A′O，∴四边形MB′A′O是平行四边形，∴存在M(1，2). 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(xA＞xB)，与y轴交于点C. (1)求点A，B，C的坐标； 例3 类型三　二次函数与四边形的综合 (2)点M(m，0)是线段AB上的动点，且1＜m＜3.过点M作MP⊥x轴，交抛物线于点P，交直线AC于点E.过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q.过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM.试求矩形PQNM的周长L关于m的函数解析式； (3)在(2)的条件下，当m的值是多少时，矩形PQNM的周长L的值最大？并求出L的值最大时△AEM的面积S. 解：(1)在y＝－x2＋2x＋3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得－x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝－1，∴A(3，0)，B(－1，0)，C(0，3). (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.∵M(m，0)，∴P(m，－m2＋2m＋3)，∴PM＝－m2＋2m＋3，MN＝2|m－1|＝2m－2，∴矩形PQNM的周长L＝2(PM＋MN)＝2(－m2＋2m＋3＋2m－2)＝－2m2＋8m＋2，∴矩形PQNM的周长L关于m的函数解析式为L＝－2m2＋8m＋2(1＜m＜3). 规定：把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成一个新函数，我们称之为原函数的“对称函数”． (1)已知一次函数y＝－2x＋3的图象，求关于直线y＝－x的对称函数的解析式； (2)已知二次函数y＝ax2＋4ax＋4a－1的图象为C1. ①求C1关于点R(1，0)的对称函数图象C2的函数解析式； ②若两抛物线与y轴分别交于A，B两点，当AB＝16时，求a的值； 例4 类型四　二次函数与图形变换的综合 (2)①设对称函数图象C2上任意一点P(x，y)，则P(x，y)关于点R(1，0)的对称点为P′(2－x，－y).∵点P′(2－x，－y)在函数y＝ax2＋4ax＋4a－1的图象上，∴－y＝a(2－x)2＋4a(2－x)＋4a－1，∴y＝－ax2＋8ax－16a＋1. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； 例5 类型五　二次函数与图形面积的综合 (2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C(2，－3).且与x轴交于原点及点B(8，0). (1)求二次函数的表达式； (2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式； (3)判断△ABO的形状，并说明理由； 例6 类型六　二次函数与圆的综合 (3)△ABO是等腰直角三角形．理由：∵△ABO的三个顶点分别是点O(0，0)，点A(4，－4)，点B(8，0)，∴OA2＝32，AB2＝32，OB2＝64. ∵OA2＋AB2＝OB2，∴△ABO为直角三角形．又∵OA＝AB，∴△ABO是等腰直角三角形． 针对性练习 1．如图，二次函数y＝ax2－bx的图象开口向上．且经过第二象限的点A，若点A的横坐标为－1，则一次函数y＝(a＋b)x＋b的图象不经过 (　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 D 　 2．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m－1的顶点，将点P(0，－1)向左平移2个单位得到