第17章 勾股定理 培优突破练习【4个考点50题专练】课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

第17章 勾股定理 培优突破练习【4个考点50题专练】2023-2024学年人教版数学八年级下册 1 一．勾股定理 二．勾股定理的证明 三．勾股定理的逆定理 四．勾股定理的应用 2 一．勾股定理 3 1.如图，在△ABC中，AC=8，∠A=30°，∠B=45°，点P是AC延长线上一动点，PM⊥BC边与点M，PN⊥AB边与点N，连接MN，则MN的最小值为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：过点C作CH⊥AB， A 4 ∵∠A=30°，AC=8， ∴CH=4，AH=4 ， ∵∠B=45°， ∴BH=CH=4， ∴AB=4+4 ， 连接PB，取PB的中点Q，连接MQ，QN， ∵PM⊥BC PN⊥AB， ∴点P，M，N，B四点共圆，点Q为圆心， ∵∠B=45°， ∴∠MQN=2∠B=90°， 5 ∴MN= QN， ∵PB=2QN， ∴MN= PB， ∴当PB最小时，MN最小， 设PN=x, ∵∠A=30°， ∴PA=2x,AN= x, ∴BN=4+4 - x, ∵PB2=PN2+NB2， 6 ∴PB2=x2+(4+4 - x)2=4x2-(8 +24)x+64+32 ， ∵4＞0， ∴当x= = +3时，即PN= +3时，PB2有最小值， 此时BN=4+4 - x= +1， ∴PN= BN， ∴PB=2BN=2 +2， ∴MN= ×(2 +2)= + ， 故选：A． 7 2.如图，在四边形ABCD中，已知AC⊥BD，AC=4，BD=5，则AD+BC的最小值是( ____ ) A.3 B.6 C. D. 【解析】解：设AC，BD的交点为O，AB，BC，CD，DA的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，如图： D 8 ___ ∵AC，BD互相垂直， ∴△AOD和△BOC为直角三角形，且AD，BC分别为斜边， ∴AD=2OS，BC=2OQ， ∴AD+BC=2(OS+OQ)， ∴当OS+OQ为最小时，AD+BC为最小， 根据“两点之间线段最短”得：OQ+OS≥QS， ∴当点O在线段QS上时，OQ+OS为最小，最小值为线段QS的长， 9 ∵点P，Q分别为AB，BC的中点， ∴PQ为△ABC的中位线， ∴PQ= AC=2，PQ∥AC， 同理：QR= BD= ，QR∥BD，RS= AC=2，RS∥AC，SP= BD= ，SP∥BD， ∴PQ∥AC∥RS，QR∥BD∥SP， ∴四边形PQRS为平行四边形， ∵AC⊥BD，PQ∥AC，SP∥BD， ∴PQ⊥SP， 10 ∴四边形PQRS为矩形， 在Rt△PQS中，PQ=2，SP= ， 由勾股定理得：QS= = ， ∴OQ+OS的最小值为 ， ∴AD+BC的最小值为 ． 故选：D． 11 3.如图，在△ABC中，P为平面内的一点，连接AP、PB、PC，若∠ACB=30°，AC=8，BC=10，则4PA+2PB+2 PC的最小值是( ____ ) A.4 B.36 C.4 +2 +6 D.16 -10 【解析】解：以CP为边，在CP下方构造等边△CPQ， 将CB绕点C逆时针旋转60°得到CD， A 12 连接QD，取CP、CD中点E、F，连接PE、EF， ∵△CPQ为等边三角形， ∴∠PCQ=60°， ∵∠BCD=60°， ∴∠BCP=∠DCQ， ∵BC=DC，PC=QC， ∴△BCP≌△DCQ， ∴BP=DQ， ∵E、F分别是CQ、CD中点， ∴EF是△CDQ的中位线， 13 ∴EF= DQ，即EF= BP， ∵△CPQ为等边三角形，且CE=QE， ∴PE⊥CQ， ∵∠PCQ=60°， ∴PE：PC=sin60°= ，即PE= PC， 由图可得：当A、P、E、F共线时，AP+PE+EF最小， 即PA+ BP+ PC最小， 连接AF，∵∠ACB=30°，∠BCD=60°， ∴APD=90°． 14 ∵AC=8，CF= CD=5， ∴AF= = ， ∴PA+ BP+ PC最小为 ， ∴4(PA+ BP+ PC)最小为4 ， 即4PA+2PB+2 PC的最小值为4 ． 15 __ 故选：A． 16 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以三边分别为边向外作正方形，延长EC，DB分别交GF，AH于点N，K，连结KN交AG于点M，记△AMK的面积为S1，△GMN的面积为S2，若S1=9，S2=4，则NF的长为( ____ ) A. B. C. D. D 17 【解析】解：(1)如图，根据条件得到“K”型△ABC≌△FNC，得到NF=AB=x. (2)连接GK，∵△AKM∽△GNM， ∴ = ，