7.3复数的三角表示（2大知识点+3大题型+分层练习）-2023-2024学年高一下数学知识讲与练（2019人教A版·必修二）

7.3 复数的向量表示 知识点1：复数的三角形式 2 知识点2：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 3 01复数代数形式和三角形式的互化 4 02复数三角形式的乘除运算 4 03复数三角形式乘除法的几何意义 5 【基础练·强化巩固】 6 【拓展练·培优拔高】 9 课堂目标 关键词 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示. 2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系. 3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 ① 辐角 ② 辐角主值 ③三角形式 知识点1：复数的三角形式 如图所示，一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式；r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 2．辐角的主值 规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz，即0≤argz＜2π. 3．复数的两种形式的互化 (1)在a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)中，r＝，cos θ＝，sin θ＝　. (2)在r(cos θ＋isin θ)＝a＋bi中，a＝rcosθ，b＝rsinθ. 知识点2：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 1．复数乘法运算的三角表示 如果z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，那么z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 2．复数乘法的几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图中那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(θ2＞0，如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 3．复数除法运算的三角表示 如果z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，z2≠0，那么＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 4．复数除法的几何意义 如图所示，复数z1，z2对应的向量分别为，，把绕点O按顺时针方向旋转角θ2(θ2＞0，如果θ2＜0，就要把按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商. 【点拨】概念理解 （1）三角形式和代数形式是复数的两种不同的表示形式,对任意一个复数都可以用这两种形式来表示； （2）复数的三角形式的特点:①r≥0;②加号连接;③余弦在前,正弦在后;④0前后一致,可为任意值 01复数代数形式和三角形式的互化 【典例1】把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)． 【变式1-1】复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 02复数三角形式的乘除运算 【典例2】已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 03复数三角形式乘除法的几何意义 【典例3】（多选）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 【变式3-2】设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 【基础练·强化巩固】 一、单选题 1．欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 3．如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 4．欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 5．任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年