2024年九年级中考数学二轮复习课件　专题4　与圆有关的证明和计算

专题四　与圆有关的证明和计算 1 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E. (1)求证：点E是BC的中点； (2)若∠BOD＝75°，求∠CED的度数． 例1 类型一　利用圆的基本性质 (1)证明：如图，连接AE. ∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E为BC的中点． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD相交于点E. (1)如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE； (2)如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB. 例2 (2)作直径CF，连接DF，如图．∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＋∠CAD＝90°. ∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，∴∠ACB＋∠F＝90°.∵CF为直径，∴∠CDF＝90°，∴∠F＋∠FCD＝90°，∴∠ACB＝∠FCD，即∠OCD＝∠ACB. 如图，△ABC是⊙O内接三角形，AB是⊙O的直径，C是弧AF的中点，弦BC，AF相交于点E，过点A作⊙O切线交BC延长线于D. (1)求证：AD＝AE； (2)若∠OEB＝45°，求tan ∠ABD的值． 例3 类型二　圆与三角函数的综合 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，OD∥BC交AC相交于点E. (1)若AC＝2CB，求证：△ABC≌△DAE； (2)若AB＝6，OD＝8，求BC的长． 例4 类型三　圆与全等形、相似形的综合 针对性练习 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为 (　　) A．90°　　 B．100°　　 C．110°　　 D．120° C　 C　 3．如图，∠MON＝30°，OP是∠MON的角平分线，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心半径为4的圆与ON相切，如果以Q为圆心半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是 (　　) A．4＜r＜12　　 B．2＜r＜12 C．4＜r＜8　　 D．r＞4 A　 B　 5．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝3，则AB＝____． 6　 6．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan ∠ADC＝_____． 7．如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过P作⊙O的切线PD，切点为D，连接AD，BD. (1)若PA＝AD，求证：DP＝DB； (1)证明：如图，连接OD.∵PD与⊙O相切于点D，∴∠PDO＝90°，∴∠PDA＋∠ADO＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∴∠PDA＝∠BDO.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠PDA＝∠B.∵PA＝AD，∴∠P＝∠PDA，∴∠P＝∠B，∴DP＝DB. 8．如图，四边形ABDC是圆O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC. (1)求证：∠ABE＝∠ACD； (2)连接BC，若BC为圆O的直径，求证：△ABE≌△ACD. 证明：(1)∵四边形ABDC是圆O的内接四边形，∴∠ABD＋∠ACD＝180°.∵∠ABE＋∠ABD＝180°，∴∠ABE＝∠ACD. 9．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆上的点(在AB同侧)，过点D的圆的切线交直线AB于点E. (1)若AB＝2，BC＝1，求AC的长； (2)若四边形ACDE是平行四边形，证明：BD平分∠ABC. 10．如图，点M是△ABC的内心，BM的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连接DC，DA，MA，MC，四边形MADC是平行四边形． (1)求证：MA＝MC； 4π　 (1)证明：∵M是△ABC的内心，∴∠ABM＝∠CBM.又∵∠CAD＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵四边形MADC为平行四边形，∴四边形MADC为菱形，∴MA＝MC. 11．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于点G，连接DG，交BC于点H. (1)求证：四边形BECF是平行四边形； (2)求证：DH＝CE. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DF，∴∠DCE＝∠CEB.∵∠F＝∠BEC，∴∠F＝∠DCE，∴BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形． (2)解：∵∠BOD＝75°，∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°.∵∠DAB＋∠DEB＝180°，∠CED＋∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠DAB＝37.5°. 证明：(1)∵AC＝BD，∴＝，即＋＝＋，∴＝，∴∠ADB＝∠CAD，∴AE＝DE. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB