第一章 第2讲 常用逻辑用语（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第2讲　常用逻辑用语 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定. [对应学生用书P5] 1.充分条件、必要条件与充要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p⇒q p⇒/q p⇔q 条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 p是q的充分必要条件，简称为充要条件 2.全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题叫做全称量词命题 含有存在量词的命题叫做存在量词命题 命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p（x）” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p（x）” 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 命题 命题的否定 结论 全称量词命题∀x∈M，p（x） ∃x∈M，¬p（x） 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p（x） ∀x∈M，¬p（x） 存在量词命题的否定是全称量词命题 1.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 2.从集合的角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为 （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A＝B，则p是q的充要条件； （3）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律：“改量词，否结论”. ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件. （　　） （2）q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立. （　　） （3）“梯形的对角线相等”是全称量词命题. （　　） （4）“并非∀x∈M，p（x）”是全称量词命题. （　　） 答案　（1）√　（2）√　（3）√　（4）× ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P21例3改编）设x∈R，则“x＜1”是“＞1”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　x＝－1＜1，但＝－1＜1，不充分，＞1时，0＜x＜1，必要性满足，故是必要不充分条件. 答案　B 3.（人A必修第一册P31习题1.5T3改编）已知命题q：∀x∈R，x2＋x－1＞0，则 （　　） A.命题¬q：∀x∈R，x2＋x－1≤0为假命题 B.命题¬q：∀x∈R，x2＋x－1≤0为真命题 C.命题¬q：∃x∈R，x2＋x－1≤0为假命题 D.命题¬q：∃x∈R，x2＋x－1≤0为真命题 解析　显然当x＝0时不满足x2＋x－1＞0，故命题q：∀x∈R，x2＋x－1＞0为假命题， 所以¬q：∃x∈R，x2＋x－1≤0为真命题，故选D. 答案　D ｜易错自纠｜ 4.（否定命题不完全致误）已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x＜1，则¬p为 （　　） A.∃x＜0，ex＜1且sin x≥1 B.∃x≥0，ex＜1且sin x≥1 C.∃x≥0，ex＜1或sin x≥1 D.∃x＜0，ex≥1或sin x≤1 解析　命题p是全称命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x＜1， 所以¬p：∃x≥0，ex＜1且sin x≥1. 答案　B 5.（不理解哪个条件致误）已知a，b为非零实数，下列四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是 （　　） A.a＞b－1 B.a2＞b2 C.2a＞2b D.log2a＞log2b 解析　若a＞b－1，不妨设a＝b＝1，显然a＞b不成立，a＞b⇒a＞b－1，A错误； 若a2＞b2，不妨设a＝－2，b＝1，显然a＞b不成立，B错误； 若2a＞2b，因为y＝2x在R上单调递增，则2a＞2b⇔a＞b，C错误； 若log2a＞log2b，因为y＝log2x在上单调递增，则log2a＞log2b⇒a＞b， 若a＞b，不妨设b＝－2，a＝1，显然log2a＞log2b不成立，D正确.故选D. 答案　D [对应学生用书P6] 考点1 充分、必要条件的判断（师生共研） [例1]　(1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析