第三章 第1讲 导数的概念及运算（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第三章　一元函数的导数及其应用 第1讲　导数的概念及运算 1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 5.能求简单的复合函数（形如f（ax＋b））的导数. [对应学生用书P53] 1.导数的概念 （1）如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称瞬时变化率），记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝. （2）当x＝x0时，f'（x0）是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），记为f'（x）（或y'），即f'（x）＝y'＝. 2.导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝0 f（x）＝xα（α∈R，α≠0） f'（x）＝α f（x）＝sin x f'（x）＝cos x f（x）＝cos x f'（x）＝－sin x f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝axln a f（x）＝ex f'（x）＝ex f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ f（x）＝ln x f'（x）＝ 4.导数的运算法则 若f'（x），g'（x）存在，则有： [f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x）； [f（x）g（x）]'＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）； '＝（g（x）≠0）； [cf（x）]'＝cf'（x）. 5.复合函数的定义及其导数 （1）一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数，记作y＝f（g（x））. （2）复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx'＝yu'·ux'，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1.f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，则（f（x0））'＝0. 2.'＝－（f（x）≠0）. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小｜f'（x）｜反映了变化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”. ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率. （　　） （2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）. （　　） （3）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. （　　） （4）曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线与过点P（x0，y0）的切线相同. （　　） 答案　（1）×　（2）×　（3）√　（4）× ｜教材衍化｜ 2.（人A选择性必修第二册P62练习T3改编）已知函数f＝xln x，则的值为 （　　） A.2e B.0 C.1 D.e 解析　根据导数定义，得＝f'，又f'＝1＋ln x，所以f'＝1. 答案　C 3.（人A选择性必修第二册P79例6改编）曲线y＝exsin x在x＝0处的切线斜率为 （　　） A.0 B.1 C.2 D.－2 解析　y'＝exsin x＋excos x，k＝y'｜x＝0＝1. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（不理解复合函数的导数运算法则致错）函数y＝xln的导数为 （　　） A.y'＝2xln B.y'＝ C.y'＝ln＋ D.y'＝ln＋ 解析　因为y＝xln，所以y'＝'＝x'ln＋x'＝ln＋x··'＝ln＋. 答案　D 5.（混淆“在某点处的导数”与“过某点的导数”）曲线f＝e－x的一条切线经过点，则该切线的斜率为　　　　.  解析　因为f＝e－x，所以f'＝－e－x，设切点为，则f'＝－， 所以＝－，解得x0＝0，所以f'＝－e0＝－1，即切线的斜率为－1. 答案　－1 [对应学生用书P54] 考点1 导数的运算（题组通关） 1.设函数f（x）满足＝2，则f'＝ （　　） A.－1 B.1 C.－2 D.2 解析　因为＝－2＝－2f'＝2，所以f'＝－1，故选A. 答案　A 2.