第七章 高考重点突破三 第2课时 向量法求距离、探索性及折叠问题（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第2课时　向量法求距离、探索性及折叠问题 [对应学生用书P152] 考点1 空间距离的求法 [例1]　(1)(2023·浙江温州·统考三模)四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为(　　) A. B. C. D. 解析　因为四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°， 即OA，OB，OC两两垂直. 以点O为原点，以射线OA，OB，OC的正方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图. 因为OA＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD， 则A(1，0，0)，D(0，0，1)，G， 于是＝，＝(－1，0，1)， 则||＝＝，||＝， ·＝－×(－1)＋1＝， 所以点G到直线AD的距离 d＝＝＝. 答案　A （2）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝3，若E为AB中点，则点B1到平面D1EC的距离为　　　　.  解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接CB1， 由题意得C（0，3，0），E，D1（0，0，2），B1（2，3，2）， ∴＝，＝（0，－3，2），＝（2，0，2）， 设平面D1EC的法向量为n＝（x，y，z），则 即令z＝6，得n＝（3，4，6）， ∴点B1到平面D1EC的距离d＝＝. 答案　 空间距离求法 （1）点线距的求解步骤：直线的方向向量a→所求点P到直线上一点P'的向量及其在直线的方向向量a上的投影→代入公式. （2）点面距的求解步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 变式训练 已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝，AB与平面ACD所成角的正切值为，则点B到平面ACD的距离为 （　　） A. B. C. D. 解析　以B为原点，BC，BD，BA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设BA＝t，t＞0，B（0，0，0），C，D，A（0，0，t）. ＝（0，0，－t），＝（－，0，t），＝（－，，0）. 设平面ACD的法向量为n＝（x，y，z）， 则令x＝1，得y＝1，z＝，故n＝. 因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为， 所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为. 即＝＝，解得t＝2. 所以平面ACD的一个法向量n＝， 故B到平面ACD的距离为d＝＝＝. 答案　D 考点2 探索性问题 [例2]　（2022·吉林·延边州教育学院一模）在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，CD＝AD＝AB＝1，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD. （1）求证：DE∥平面PBC； （2）在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的长；若不存在，请说明理由. 解　（1）证明：由题意，因为PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD， 如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示. ∵CD＝AD＝AB＝1，而∠PAD＝45°，易知∠PDA＝90°，于是PD＝DA＝1. 又E是PA的中点，故D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1），E， ∴＝（－1，－1，0），＝（0，－1，1）， 设平面PBC的法向量为m＝（x，y，z），则即 令y＝1，则x＝－1，z＝1，可得m＝（－1，1，1）. 又＝，∴m·＝－1×＋0＋1×＝0，∴m⊥. ∵DE⊄平面PBC，∴DE∥平面PBC. （2）设点G坐标为（1，t，0），其中0≤t≤2，则＝（1，t－1，0），＝（1，2，0）， 由CG⊥BD得·＝1＋2（t－1）＝0⇒t＝，∴G， 由＝（－1，0，1），设＝λ＝（－λ，0，λ），λ∈[0，1]，又＝， ∴＝＋＝， 设平面PGC的法向量为n＝（a，b，c）， ＝（0，－1，1），＝， 由得取b＝2， 可得n＝（1，2，2）， 则cos＜，n＞＝＝. ∵GH与平面PGC所成角的正弦值为， ∴＝， 整理得20λ2＋8λ－1＝0， 解得λ＝或λ＝－（舍）， ∴存在满足条件的点H，＝，且AH＝. 探索性问题求解策略：用空间向量解决探索性问题时，不需要进行复杂的作图、论证和推理，只需通过坐标运算进行判断，一般用坐标待定法或比值待定法，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解或是否有规定范围内的解的问题. 变式训练 （2023·广东江门·模拟）如图，在正四棱锥S－ABCD中，AC∩BD＝O，SA＝AB，P在侧棱SD上，SD⊥平面PAC. （1）求平面SAB与平面PAC所成的锐二面角的余弦值； （2）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由. 解　（1）如图，由题意知SO⊥平面ABCD，AC⊥BD，故OS，OB，OC两两垂直. 以O为坐标原点，，，的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. ∵SA＝AB，不妨设AB＝，则SA＝2， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，SO＝. 由题意得S，D（－1，0，0），C（0，1，0），A（0，－1，0），B（1，0，0）. ∴＝，＝， 设平面SAB的一个法向量为m＝（x，y，z），则有可取m＝（，－，1）. ∵SD⊥平面PAC， ∴平面PAC的一个法向量为＝. 设平面SAB与平面PAC所成的锐二面角为θ， ∴cos θ＝＝＝. （2）假设在棱SC上存在一点E使得BE∥平面PAC.在SC上取点E，连接EB， 由（1）设E（x0，y0，z0），且＝λ，即（x0，y0，z0－）＝λ（0，1，－），可得x0＝0，y0＝λ，z0＝－λ，即E（0，λ，－λ）， ∴＝（－1，λ，－λ）. 又平面PAC的一个法向量＝， 若BE∥平面PAC，则·＝0， 即1＋0－3＋3λ＝0，解得λ＝.故SE∶SC＝. ∴侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，且SE∶EC＝2∶1. 考点3 折叠问题 [例3]　(2023·山东烟台·统考三模)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，∠ACB＝60°，E为AB的中点，过点E作ED垂直AC于D，将△ADE沿ED翻折，使得平面ADE⊥平面BCDE，点M是棱AC上一点，且BM∥平面ADE. 　　　 (1)求的值； (2)求二面角M­BE­C的正弦值. 解　(1)因为平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE， 由题意可知AD⊥DE，CD⊥DE，所以∠ADC＝90°. 过点B作BQ垂直CD于点Q，连接QM. 因为BQ∥DE，BQ⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，所以BQ∥平面ADE. 又因为BM∥平面ADE，BQ∩BM＝B，BQ，BM⊂平面BQM， 所以平面BQM∥平面ADE. 又因为平面BQM∩平面ADC＝QM，平面ADE∩平面ADC＝AD， 所以AD∥QM. 在折叠前的图形中，因为BC＝2，∠ACB＝60°， 所以CQ＝1. 因为AC＝＝4，所以AQ＝3， 易知D为AQ的中点，所以DQ＝， 所以＝，所以＝. (2)由(1)知，以D为原点，以DE，DC，DA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则D(0，0，0)，E，C，B，M， 易知平面BCDE的一个法向量m＝(0，0，1)， ＝，＝. 设平面MBE的法向量为n＝(x，y，z)， 所以令x＝，则y＝－1，z＝5，故n＝(，－1，5)， 所以cos 〈m，n〉＝＝， 所以二面角M­BE­C的正弦值为. 处理折叠问题的关键是结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化. 变式训练 (2023·山东青岛·统考二模)如图1，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为CD的中点，现将△ADE，△BCE分别沿AE，BE向上翻折，使点D，C分别到达点M，N的位置，且平面AME，平面BNE均与平面ABE垂直(如图2). 　 (1)证明：M，N，A，B四点共面； (2)求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值. 解　(1)证明：分别取AE，BE的中点F，G，连接MF，NG. 因为MA＝ME，所以MF⊥AE. 因为平面AME⊥平面ABE，平面AME∩平面ABE＝AE，MF⊂平面AME， 所以MF⊥平面ABE. 同理可得NG⊥平面ABE，所以MF∥NG. 在Rt△MAE中，MA＝ME＝2，所以MF＝AE＝×2＝.同理NG＝， 所以四边形MFGN是平行四边形，所以MN∥FG. 因为F，G分别是AE，BE的中点，所以FG∥AB，所以MN∥AB， 所以M，N，A，B四点共面. (2)在图1中，∠AED＝∠BEC＝45°，所以∠AEB＝90°，所以AE⊥EB. 取AB的中点H，连接FH，则FH∥BE， 所以FA⊥FH. 由(1)得FA，FH，FM两两垂直，以F为原点，分别以FA，FH，FM所在直线为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则F(0，0，0)，M(0，0，)，E(－，0，0)，B(－，2，0)，A(，0，0). 设平面ABNM的法向量为n＝(x，y，z)， 因为＝(－，0，)，＝(－2，2，0)， 则 令x＝1，可得n＝(1，1，1). 又因为＝(－2，0，0)，设直线AE与平面ABNM所成的角为θ， 所以sin θ＝＝＝， 所以直线AE与平面ABNM所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$