第二章 第8讲 函数与方程（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第8讲　函数与方程 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. [对应学生用书P45] 1.函数的零点 （1）概念：对于一般函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点. （2）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 2.函数零点存在定理 （1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f（a）f（b）＜0. （2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解. 1.若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根. 2.由函数y＝f（x）（图象是连续不断的）在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）f（b）＜0，如图所示，所以f（a）f（b）＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. （　　） （2）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）f（b）＜0. （　　） （3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值. （　　） 答案　（1）×　（2）×　（3）× ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P143例1改编）函数f＝ln x＋2x－6的零点的个数为 （　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析　由于函数f在上是增函数，且f＝－4＜0，f＝ln 3＞0， 故函数f（x）在内有唯一零点，即也在内有唯一零点. 答案　B 3.（人A必修第一册P144练习T2改编）函数f（x）＝x＋log2x的零点所在的区间为 （　　） A. B. C. D. 解析　由已知得f（x）＝x＋log2x为（0，＋∞）上的递增函数， f＝＋log2＝－log23＜0， f＝＋log2＝－＜0， f＝＋log2＝－log23＝＞0，f（1）＝1＞0， 由零点存在定理可知，f（x）在区间内存在零点，故选C. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（不会利用函数的图象致误）方程＝lox的解的个数为 （　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析　在同一坐标系内，作出y＝与y＝lox的图象，如图： 由图象可知，方程只有一个解. 答案　B 5.（忽视二次项系数为0致误）若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为　　　　.  解析　当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点； 当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1. 综上，实数a的取值为a＝0或a＝1. 答案　0或1 [对应学生用书P46] 考点1 函数零点的判断（多维探究） 角度1　函数零点所在区间的判断 [例1]　(2024·云南昆明·模拟)函数f(x)＝x－logx＋1的零点所在的区间为(　　) A. B. C. D. 解析　∵y＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，y＝－logx在(0，＋∞)上单调递增， ∴函数f(x)＝x－logx＋1在(0，＋∞)上单调递增. ∵f ＝－log＋1＝－<0， f ＝－log＋1＝－log23＝log216－log227<0， f ＝－log＋1＝>0，∴函数f(x)＝x－logx＋1的零点所在的区间为. 答案　C 角度2　函数零点个数的判断 [例2]　(1)(2023·河北唐山·一模)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　令g(x)＝0得f(x)＝，在同一直角坐标系中作出f(x)，y＝的大致图象如下： 由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点， 即函数g(x)有3个零点.故选C. 答案　C (2)(2023·河南濮阳·模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，则在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－log2(x＋2)＝0的根的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，