第二章 第6讲 对数与对数函数（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第6讲　对数与对数函数 1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数. [对应学生用书P38] 1.对数的概念 （1）定义：一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）常用对数与自然对数 2.对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： （1）loga（MN）＝logaM＋logaN. （2）loga＝logaM－logaN. （3）logaMn＝nlogaM（n∈R）. 3.换底公式 logab＝（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0）. 4.对数函数的概念 一般地，函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）. 5.对数函数的图象及性质 项目 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 1.换底公式的三个重要结论 （1）logab＝；（2）lobn＝logab；（3）logab·logbc·logcd＝logad. 2.对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到此规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大. ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）log2x2＝2log2x. （　　） （2）函数y＝log2（x＋1）是对数函数. （　　） （3）函数y＝ln与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同. （　　） （4）当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b. （　　） 答案　（1）×　（2）×　（3）√　（4）× ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P126练习T3（2）改编）计算：log23·log34＋＝ （　　） A.2 B.4 C.5 D.6 解析　log23·log34＋＝log23·＋4＝2＋4＝6. 答案　D 3.（人A必修第一册P131练习T1改编）已知a＝ln 2，b＝ln 3，c＝log32，则 （　　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.b＞a＞c D.b＞c＞a 解析　因为f＝ln x在上单调递增，2＜3，所以ln 2＜ln 3，即a＜b. 又c＝log32＝＜ln 2＝a，所以b＞a＞c. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.函数f＝log2的图象为 （　　） 解析　函数f＝log2的定义域为∪，可以排除选项B、C； 由f＝log2＝log2＝f， 可知函数f（x）为偶函数，其图象应关于y轴对称，可以排除选项D. 答案　A 5.不等式lox＞lo的解集为　　　　.  解析　因为lox＞lo，则解得0＜x＜2.因此，原不等式的解集为. 答案　 [对应学生用书P39] 考点1 对数式的化简与求值（题组通关） 1.（2022·浙江卷）已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝ （　　） A.25 B.5 C. D. 解析　因为2a＝5，b＝log83＝log23，即23b＝3， 所以4a－3b＝＝＝＝. 答案　C 2.计算：＝________. 解析　原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. 答案　1 3.设5a＝2b＝10，则＋＝　　　　，＋＋的值为　　　　.  解析　由5a＝2b＝10，得a＝log510，b＝log210， 所以＝lg 5，＝lg 2，所以＋＝lg 5＋lg 2＝1， ＋＋＝＋lg 5·lg 2＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. 答案　1　1 4.log381－log98·log23－＋lg＋lg＝　　　.  解析　原式＝log334－·log32·log23－3＋lg＝4－－3＋＝0. 答案　0 对数式化简与求值的基本原则和方法 （1）基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. （2）两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数； ②“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）. 考点2 对数函数的图象及应用（师生共研） [例1]　(1)已知函数f(x)＝loga(3x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A.0<a