第二章 第2讲 函数的单调性与最大（小）值（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第2讲　函数的单调性与最大（小）值 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. [对应学生用书P23] 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数. （　　） （2）函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）. （　　） （3）函数y＝的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）. （　　） （4）对于函数f（x），x∈I，若对任意x1，x2∈I，且x1≠x2，有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，则函数f（x）在区间I上是增函数. （　　） 答案　（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P81练习T3改编）设函数f（x）＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝ （　　） A.4 B.6 C.10 D.24 解析　因为f（x）＝＝2＋，所以f（x）在[3，4]上是减函数. 所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6.所以M＋m＝6＋4＝10. 答案　C 3.（人A必修第一册P79例3改编）函数y＝的单调增区间为 （　　） A. B. C.和 D.∪ 解析　由4＋3x－x2≠0可得x≠－1且x≠4，因为y＝4＋3x－x2开口向下，其对称轴为x＝，所以y＝4＋3x－x2的减区间为和，所以y＝的单调增区间为和. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（忽视函数的定义域致错）函数y＝f（x）为定义在上的增函数，且f（2m）＞f（－m＋1），则实数m的取值范围是　　　　.  解析　由题意得解得＜m＜1.所以实数m的取值范围是. 答案　. 5.（混淆函数的单调区间和在某区间上单调）若函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　.  解析　∵f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3的开口向下， 对称轴方程为x＝－（a＋1），要使f（x）在（－∞，3]上是增函数， 只需－（a＋1）≥3，即a≤－4，∴实数a的取值范围为（－∞，－4]. 答案　（－∞，－4] [对应学生用书P24] 考点1 确定函数的单调性（单调区间）（师生共研） [例1]　(1)(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)＝－ln x B.f(x)＝ C.f(x)＝－ D.f(x)＝3|x-1| 解析　对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f ＝3＝3＝，f(1)＝3|1－1|＝30＝1，f(2)＝3|2－1|＝3， 显然f(x)＝3|x－1|在(0，＋∞)上不单调，D错误. 答