第八章 高考难点突破二 第3课时 证明与存在性问题（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第3课时　证明与存在性问题 [对应学生用书P184] 考点1 证明问题（师生共研） [例1]　(2023·北京卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4. (1)求E的方程； (2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD. 解　(1)依题意，得e＝＝，则c＝a. 又A，C分别为椭圆的上、下顶点，|AC|＝4， 所以2b＝4，即b＝2， 所以a2－c2＝b2＝4，即a2－a2＝a2＝4，则a2＝9， 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：因为椭圆E的方程为＋＝1， 所以A(0，2)，C(0，－2)，B(－3，0)，D(3，0). 因为P为第一象限E上的动点，设P(m，n)(0<m<3，0<n<2)，则＋＝1， 易得kBC＝＝－，则直线BC的方程为y＝－x－2， kPD＝＝，则直线PD的方程为y＝(x－3)， 联立解得 即M ， 而kPA＝＝，则直线PA的方程为y＝x＋2， 令y＝－2，则－2＝x＋2，解得x＝，即N . 又＋＝1，则m2＝9－，8m2＝72－18n2， 所以kMN＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 又kCD＝＝，即kMN＝kCD， 显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD. 圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法有直接法和转化法，对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题. 变式训练 （2022·山东济宁·三模）已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，点F是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆E上，且｜QF｜的最大值为3，椭圆E的离心率为. （1）求椭圆E的方程； （2）若过点A的直线与椭圆E交于另一点P（异于点B），与直线x＝2交于一点M，∠PFB的角平分线与直线x＝2交于点N，求证：点N是线段BM的中点. 解　（1）由已知可得解得 因此，椭圆E的方程为＋＝1. （2）证明：由对称性，不妨设点P在x轴上方. ①当直线PF的斜率存在时，因为∠PFB的角平分线为FN，所以∠PFB＝2∠NFB， 所以tan ∠PFB＝， 即kPF＝. 设直线AP的方程为y＝k（x＋2），其中k≠0， 联立可得（4k2＋3）x2＋16k2x＋16k2－12＝0， 设点P（x1，y1），则－2x1＝， 所以x1＝， 则y1＝k（x1＋2）＝， 即点P， 所以kPF＝＝＝， 设直线FN的方程为y＝m（x－1），则点N（2，m），M（2，4k）. 因为kPF＝，则＝，整理可得（2k－m）（2km＋1）＝0， 因为km＞0，所以m＝2k，所以＝＝， 所以点N为线段BM的中点； ②当直线PF的斜率不存在时，不妨设点P， 则直线AP的方程为y＝（x＋2）， 所以点M（2，2）. 又因为直线FN的方程为y＝x－1， 所以点N（2，1）， 所以点N为线段BM的中点. 综上可知，点N为线段BM的中点. 考点2 存在性问题（师生共研） [例2]　(2023·四川成都·模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心为O，左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上一点，线段MF1与圆x2＋y2＝2相切于该线段的中点N，且△MF1F2的面积为4. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点F1，且四边形OAPB是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由. 解　(1)连接ON，则ON⊥MF1，ON＝. 因为N为MF1的中点，O为F1F2的中点，所以MF2綉2ON，故MF2⊥MF1，|MF2|＝2， 则S＝|MF1|·|MF2|＝|MF1|＝4，解得|MF1|＝2. 由椭圆定义可知|MF1|＋|MF2|＝4＝2a， 解得a＝2. 由勾股定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2＝8＋8＝16，即4c2＝16，解得c＝2， 故b2＝a2－c2＝8－4＝4， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)存在.理由如下： 由题意得F1(－2，0)，当直线AB的斜率不存在时，即x＝－2， 此时＋＝1，解得y＝±. 设A，B， 由于OA＝OB，由对称性可知，P为椭圆左顶点D，但DF1≠OF1，故不合要求，舍去； 当直线AB的斜率存在时，设为y＝k(x＋2)， 联立消去y得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0， 则Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－8)＝32k2＋32>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4k＝＋4k＝， 则AB中点坐标为Q. 假设存在点P，使得四边形OAPB是平行四边形，则P. 将P代入椭圆C：＋＝1中，得＋2＝8， 解得k＝±， 此时直线AB的方程为y＝±(x＋2). 存在性问题的求解策略 解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. （1）当条件和结论不唯一时要分类讨论. （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. （3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意. 变式训练 （2022·山东潍坊·一模）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的焦距为2，点在C上. （1）求C的方程； （2）若过动点P的两条直线l1，l2均与C相切，且l1，l2的斜率之积为－1，点A，问是否存在定点B，使得·＝0？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由. 解　（1）由题意知，椭圆C的半焦距c＝1，焦点分别为（－1，0），（1，0）， 由椭圆定义得，椭圆长轴长2a＝＋＝2，即a＝，b2＝a2－1＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. （2）设点P（x0，y0），显然x0≠±，过点P的直线方程为y－y0＝k（x－x0）， 由消去y并整理得（1＋2k2）x2＋4k（y0－kx0）x＋2（y0－kx0）2－2＝0. 因为直线l与C相切，则Δ＝16k2（y0－kx0）2－8（1＋2k2）[（y0－kx0）2－1]＝0，得（y0－kx0）2＝1＋2k2， 即（－2）k2－2x0y0k＋－1＝0，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，显然k1，k2是上述关于k的一元二次方程的两个根， 则k1k2＝＝－1，化简得＋＝3，即点P到坐标原点O的距离｜PO｜＝， 故点P在以O为圆心，为半径的圆上，并且是动点，而点A为该圆上一定点， 则当满足·＝0时，AB为圆O的直径，即点B， 所以存在点B满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $$