第八章 高考难点突破二 第2课时 定值与定点问题（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第2课时　定值与定点问题 [对应学生用书P182] 考点1 定点问题（师生共研） [例1]　(2023·全国乙卷理科)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2，0)在C上. (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 解　(1)由题意可得解得 所以椭圆方程为＋＝1. (2)证明：由题意可知，直线PQ的斜率存在， 设直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程组消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝. 因为A(－2，0)，则直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得y＝，即M， 同理可得N，则＝＋ ＝ ＝ ＝＝＝3， 所以线段PQ的中点是定点(0，3). 求解直线或曲线过定点问题的基本思路 （1）把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k（x－x0），则直线必过定点（x0，y0）；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点（0，m）. 变式训练 (2023·浙江宁波·统考一模)已知点A(2，0)，B在双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上. (1)求双曲线E的方程； (2)直线l与双曲线E交于M，N两个不同的点(异于A，B)，过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q，当＝时，证明：直线l过定点. 解　(1)由题知解得 所以双曲线E的方程为－y2＝1. (2)证明：由题意知，当l⊥x轴时，Q与N重合，由＝可知，P是MQ的中点，显然不符合题意， 故l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋m(k≠0)， 联立消去y得(1－4k2)x2－8kmx－4m2－4＝0，则 Δ＝64k2m2＋16(m2＋1)(1－4k2)＝16(m2＋1－4k2)>0，即m2＋1>4k2，且1－4k2≠0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 直线AB方程为y＝(x－2)， 令x＝x1，得P， 直线AN方程为y＝(x－2)， 令x＝x1得Q. 由＝，得＝y1＋·y2， 即＋＝， 即(kx1＋m)(x2－2)＋(kx2＋m)(x1－2)＝[x1x2－2(x1＋x2)＋4]， 即(1－4k)x1x2＋(4k－2m－2)(x1＋x2)＋4＋8m＝0. 将x1＋x2＝，x1x2＝－代入，化简得 4m2＋16km＋16k2－16k－8m＝0， 所以(m＋2k)(m＋2k－2)＝0，解得m＝2－2k或m＝－2k， 当m＝2－2k，此时由Δ>0，得k<，符合题意； 当m＝－2k，此时直线l经过点A，与题意不符， 舍去，所以l的方程为y＝kx＋2－2k，即y＝k(x－2)＋2，所以l过定点(2，2). 考点2 定值问题（师生共研） [例2]　（2022·黑龙江·哈九中三模）已知直线l：x＋4＝0，M为平面内一动点，过点M作直线l的垂线，垂足为N，且·＝0（O为坐标原点）. （1）求动点M的轨迹E的方程； （2）已知点P（0，2），直线y＝x＋t（t＞0）与曲线E交于A，B两点，直线PA，PB与曲线E的另一交点分别是点C，D，证明：直线CD的斜率为定值. 解　（1）设M（x，y），则N（－4，y），则＝（x，y），＝（－4，y）， 所以·＝－4x＋y2＝0，则E的方程为y2＝4x. （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， 联立得y2－4y＋4t＝0，则Δ＝16－16t＞0，即0＜t＜1， 且y1＋y2＝4，y1y2＝4t，又直线PA为y＝x＋2， 联立得（y1－2）y2－y＋2＝0， 由韦达定理得y1y3＝，所以y3＝，同理得y4＝. 则kCD＝＝＝＝＝＝＝1， 故直线CD的斜率为定值. 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 （1）求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值. （2）求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得. （3）求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 变式训练 （2023·山东临沂·三模）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，A为C的左顶点，且·＝－5. （1）求C的方程； （2）若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M，N.求证：点M与点N的横坐标之积为定值. 解　（1）易知点A（－a，0），F1（－c，0），F2（c，0），＝（－c＋a，0），＝（c＋a，0）， 所以解得则b＝＝， 所以双曲线C的方程为－＝1. （2）证明：分以下两种情况讨论： ①当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝±2，此时点M，N的横坐标之积为22＝4； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， 由题意可知直线l不与双曲线C的渐近线平行或重合，即k≠±， 设点M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立可得（5－4k2）x2－8kmx－4m2－20＝0， 则Δ＝64k2m2＋4（5－4k2）（4m2＋20）＝0，可得4k2＝m2＋5，则m≠0. 不妨设点M，N分别为直线l与直线y＝x、y＝－x的交点， 联立可得x1＝，联立可得x2＝－， 此时，x1x2＝＝＝＝4. 综上所述，点M与点N的横坐标之积为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$