第八章 第8讲 抛物线（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第8讲　抛物线 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3.了解抛物线的简单应用. [对应学生用书P177] 1.抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0） 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 （0，0） 离心率 e＝1 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则 （1）x1x2＝，y1y2＝－p2； （2）若A在第一象限，B在第四象限，则｜AF｜＝，｜BF｜＝，弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝（α为弦AB的倾斜角）； （3）＋＝； （4）以弦AB为直径的圆与准线相切； （5）以AF或BF为直径的圆与y轴相切； （6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； （7）通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线. （　　） （2）方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1，0）. （　　） （3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形. （　　） （4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切. （　　） 答案　（1）×　（2）×　（3）×　（4）×　 ｜教材衍化｜ 2.（人A选择性必修第一册P134例3改编）已知抛物线x2＝8y上一点T到其焦点的距离为8，则点T在第一象限的横坐标是 （　　） A.8 B.4 C.6 D.4 解析　设T（x，y），由抛物线的方程可得准线方程：y＝－2， 由抛物线的性质可得y－（－2）＝8，可得y＝6，代入抛物线方程可得x＝±4，故选B. 答案　B 3.（人A选择性必修第一册P136T4改编）平面中与点A（1，0）和直线x＝－1的距离相等的点的轨迹方程为 （　　） A.y2＝2x B.y2＝4x C.x2＝2y D.x2＝4y 解析　由抛物线的定义可知＝1，解得p＝2，所以该抛物线方程是y2＝4x，故选B. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（忽视焦点的位置致误）抛物线y＝x2的焦点坐标为 （　　） A. B. C. D. 解析　由题意，抛物线x2＝y的焦点坐标为，故选C. 答案　C 5.（忽视抛物线的开口方向致误）抛物线x2＝my上一点M（x0，－3）到焦点的距离为5，则实数m的值为 （　　） A.－8 B.－4 C.8 D.4 解析　因为抛物线x2＝my过点M（x0，－3），所以m＜0，抛物线x2＝my的焦点为F，由抛物线的定义可知｜MF｜＝｜y0｜＋＝3＋＝3－＝5，解得m＝－8. 答案　A [对应学生用书P178] 考点1 抛物线的定义和标准方程（多维探究） 角度1　抛物线的定义及应用 [例1]　（1）（2022·江西萍乡·二模）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且｜AF｜＝4，则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为 （　　） A. B.2 C.3 D.4 解析　抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线l：x＝－1， 由于｜AF｜＝4，根据抛物线的定义可知，A点的横坐标为3， 由y2＝4×3＝12⇒y＝±2，不妨设A， A关于l的对称点为A1，｜PA｜＝｜PA1｜， 所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值为｜A1F｜＝＝4. 答案　D （2）（2023·山西临汾·二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A在C上.O为坐标原点，若∠OFA＝120°，则△OFA的面积为 （　　） A.1 B.2 C. D.2 解析　依题意作下图： 抛物线C的准线为x＝－1，过A点作准线的垂线，垂足为B， 过点F作直线AB的垂线，垂足为D. 设A（x，y），直线AF的方程为y＝（x－1），所以设A（x，y），且y＝（x－1）， 由于A在抛物线C上，所以3（x－1）2＝4x，解得x＝3或x＝（不符合题意，舍），y＝2，S△OFA＝·｜OF｜·｜DF｜＝×1×2＝，故选C. 答案　C “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径. 角度2　抛物线的标准方程 [例2]　(1)(2023·山东聊城·统考三模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，线段AF的延长线交C于点B，若|AF|＝|FB|＝6，则p＝________. 解析　如图，作BD⊥准线l于D点，交y轴于C点，所以OF∥BC. 因为|AF|＝|FB|＝6，所以|OF|＝|BC|＝，所以|BD|＝|FB|＝＝6，解得p＝4. 答案　4 (2)一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则该抛物线的标准方程为________. 解析　设正三角形边长为x.由三角形的面积公式，得36＝x2sin 60°，解得x＝12. 由抛物线的对称性，可知正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当a>0时，三角形的一个顶点坐标为，代入y2＝ax得a＝2；当a<0时，三角形的一个顶点坐标为，代入y2＝ax得a＝－2.综上，a＝±2， 所以抛物线的标准方程为y2＝±2x. 答案　y2＝±2x 求抛物线的标准方程的方法 （1）定义法； （2）待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论. 变式训练 1.动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M（－4，0）的距离小2，则点P的轨迹是 （　　） A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析　依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M（－4，0）的距离小2， 所以P到直线x－4＝0的距离和它到点（－4，0）的距离相等，所以P点的轨迹是抛物线. 答案　D 2.（2022·全国乙卷）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，则｜AB｜＝ （　　） A.2 B.2 C.3 D.3 解析　由题意，得F（1，0），则｜AF｜＝｜BF｜＝2， 即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1. 不妨设点A在x轴上方，将其横坐标1代入抛物线方程得，A（1，2），所以｜AB｜＝＝2. 答案　B 3.（多选）（2022·山东日照·三模）设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的有 （　　） A.准线l的方程是y＝－2 B.以线段MF为直径的圆与y轴相切 C.｜ME｜＋｜MF｜的最小值为5 D.｜ME｜－｜MF｜的最大值为2 解析　对于A：由抛物线C：y2＝8x，可得焦点坐标为（2，0），准线方程为x＝－2，故A错误； 对于B：设M（x0，y0），MF的中点为D，则｜MF｜＝x0＋＝x0＋2，D坐标为， 所以xD＝＝，即D点到点M，F和y轴距离相等， 所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确； 对于C：过M作准线的垂线，垂足为N，由抛物线定义得｜MF｜＝｜MN｜， 所以｜ME｜＋｜MF｜＝｜ME｜＋｜MN｜， 由图可得，当E，M，N三点共线时，｜ME｜＋｜MN｜有最小值，即为｜EN'｜＝3＋2＝5， 所以｜ME｜＋｜MF｜的最小值为5，故C正确； 对于D：根据三角形中，两边之差小于第三边可得｜ME｜－｜MF｜＜｜EF｜， 如图所示，当E，F，M共线时，｜ME｜－｜MF｜有最大值，且为｜EF｜＝＝， 所以｜ME｜－｜MF｜的最大值为，故D错误. 答案　BC 考点2 抛物线的几何性质（师生共研） [例3]　（1）（2021·新高考全国Ⅱ）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p等于 （　　） A.1 B.2 C.2 D.4 解析　抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝， 解得p＝2（p＝－6舍去）. 答案　B （2）（多选）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线C的准线交于点D.若｜AF｜＝8，则以下结论正确的是 （　　） A.p＝4 B.＝ C.｜BD｜＝2｜BF｜ D.｜BF｜＝4 解析　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则｜PF｜＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，｜AE｜＝｜AF｜， 则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°， 所以｜AF｜＝｜EF｜＝2｜PF｜＝2p＝8，得p＝4，故A正确； 因为｜AE｜＝｜EF｜＝2｜PF｜，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则＝，故B正确； 因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以｜BD｜＝2｜BM｜＝2｜BF｜，故C正确； 因为｜BD｜＝2｜BF｜，所以｜BF｜＝｜DF｜＝｜AF｜＝，故D错误. 答案　ABC 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性. 变式训练 （2021·新高考全国Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为　　　　.  解析　方法一：（解直角三角形法）由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF， 所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－. 方法二：（应用射影定理法）由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜， 即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x＝－. 答案　x＝－ 考点3 直线与抛物线（师生共研） [例4]　（1）过点M（2，1）的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，当点M恰好为AB的中点时，直线AB的方程为 （　　） A.x＋2y－5＝0 B.2x－y－1＝0 C.2x＋y－5＝0 D.2x－y－3＝0 解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），所以＝4x1，＝4x2， 两式相减得（y1＋y2）（y1－y2）＝4（x1－x2）， 因为点M（2，1）为AB的中点，所以y1＋y2＝2， 所以＝2，故直线AB的斜率为2， 所以直线AB的方程为y－1＝2（x－2），即2x－y－3＝0， 联立所以4x2－16x＋9＝0，Δ＝（－16）2－4×4×9＞0，故斜率为2符合题意，因此直线AB的方程为2x－y－3＝0，故选D. 答案　D （2）（多选）（2022·新高考Ⅱ卷T10）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点M（p，0），若｜AF｜＝｜AM｜，则 （　　） A.直线AB的斜率为2 B.｜OB｜＝｜OF｜ C.｜AB｜＞4｜OF｜ D.∠OAM＋∠OBM＜180° 解析　对于A，易得F，由｜AF｜＝｜AM｜可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为＝， 代入抛物线方程可得y2＝2p·＝p2，则A，则直线AB的斜率为＝2，A正确； 对于B，由斜率为2可得直线AB的方程为x＝y＋，联立直线与抛物线方程得y2－py－p2＝0，设B（x1，y1），则p＋y1＝p，则y1＝－，代入抛物线方程得＝2p·x1，解得x1＝，则B， 则｜OB｜＝＝≠｜OF｜＝，B错误； 对于C，由抛物线定义知｜AB｜＝＋＋p＝＞2p＝4｜OF｜，C正确； 对于D，·＝·＝·＋·＝－＜0，则∠AOB为钝角， 又·＝·＝－·＋·＝－＜0，则∠AMB为钝角，又∠AOB＋∠AMB＋∠OAM＋∠OBM＝360°，则∠OAM＋∠OBM＜180°，D正确.故选ACD. 答案　ACD （1）求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用. （2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点（设焦点在x轴的正半轴上），可直接使用公式｜AB｜＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式. 变式训练 1.（2022·陕西·二模）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点M（t，4）为线段AB的中点，则AB的长度为 （　　） A.12 B.18 C.16 D.8 解析　由条件得F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x＝my＋2， 联立得y2－8my－16＝0，∴y1＋y2＝8m，由＝4，得m＝1. ∴x1＋x2＝m（y1＋y2）＋4＝12，∴｜AB｜＝x1＋x2＋4＝16. 答案　C 2.（多选）（2022·新高考Ⅰ卷T11）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，－1）的直线交C于P，Q两点，则 （　　） A.C的准线方程为y＝－1 B.直线AB与C相切 C.｜OP｜·｜OQ｜＞｜OA｜2 D.｜BP｜·｜BQ｜＞｜BA｜2 解析　将点A的坐标代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－，A错误； kAB＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1， 联立可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，故B正确； 设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不符合题意； 所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立得x2－kx＋1＝0， 所以所以k＞2或k＜－2，y1y2＝（x1x2）2＝1. 又｜OP｜＝＝，｜OQ｜＝＝， 所以｜OP｜·｜OQ｜＝＝＝｜k｜＞2＝｜OA｜2，故C正确； 因为｜BP｜＝｜x1｜，｜BQ｜＝｜x2｜， 所以｜BP｜·｜BQ｜＝（1＋k2）｜x1x2｜＝1＋k2＞5，而｜BA｜2＝5，故D正确.故选BCD. 答案　BCD 学科网（北京）股份有限公司 $$