第八章 第7讲 直线和椭圆、双曲线（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第7讲　直线和椭圆、双曲线 [对应学生用书P174] 考点1 直线与椭圆、双曲线的位置关系（师生共研） [例1]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： （1）有两个不重合的公共点； （2）有且只有一个公共点； （3）没有公共点. 解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144. （1）当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点. （2）当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. （3）当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点. 1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）＝0.消去y（或x）得到一个关于变量x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）. （1）当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离. （2）当a＝0时，即得到一个一元一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合. 2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点. 变式训练 1.（2022·安徽·合肥市第八中学模拟）直线l：y＝k（x－1）与双曲线C：x2－y2＝2没有公共点，则斜率k的取值范围是 （　　） A.（－∞，－）∪（，＋∞） B.（－，） C.（－∞，－1）∪（1，＋∞） D.（－1，1） 解析　联立直线y＝k（x－1）和双曲线：x2－y2＝2，消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－2＝0. 当1－k2＝0，即k＝±1时，此时方程为2x－3＝0，解得x＝，此时直线与双曲线有且只有一个交点，不符合题意； 当1－k2≠0，此时Δ＝4k4＋4（1－k2）（k2＋2）＝4（2－k2）＜0，解得k＞或k＜－， 所以k∈（－∞，－）∪（，＋∞）时，直线与双曲线无交点，故选A. 答案　A 2.过点（4，5）与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有 （　　） A.一条 B.两条 C.三条 D.四条 解析　由双曲线方程可得a＝4，b＝5， 当过点（4，5）的直线斜率不存在时，直线方程为x＝4， 此时显然直线与双曲线只有一个公共点，符合题意； 当过点（4，5）的直线斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y＝k（x－4）＋5， 代入双曲线方程可得（25－16k2）x2＋16（8k2－10k）x－16（16k2－40k＋50）＝0， 当25－16k2＝0时，即k＝±， 当k＝时，16x－16＝0显然无解，不符合题意； 当k＝－时，16x－16＝0有一解， 此时直线与双曲线有一个交点，符合题意； 当25－16k2≠0，令Δ＝162（8k2－10k）2＋64（25－16k2）（16k2－40k＋50）＝0， 解得k＝，不符合题意， 综上所述，满足题意的直线有两条，故选B. 答案　B 考点2 中点弦及弦长问题（多维探究） 角度1　中点弦问题 [例2]　(2023·全国乙卷理科)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A.(1，1) B.(－1，2) C.(1，3) D.(－1，－4) 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M， 可得kAB＝，k＝＝. 因为A，B在双曲线上，则两式相减得(x－x)－＝0， 所以kAB·k＝＝9. 对于选项A，可得k＝1，kAB＝9，则直线AB：y＝9x－8， 联立方程组消去y得72x2－2×72x＋73＝0， 此时Δ＝(－2×72)2－4×72×73＝－288<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B，可得k＝－2，kAB＝－，则直线AB：y＝－x－， 联立方程组消去y得45x2＋2×45x＋61＝0， 此时Δ＝(2×45)2－4×45×61＝－4×45×16<0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C，可得k＝3，kAB＝3，则直线AB：y＝3x. 由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则直线AB：y＝3x为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，k＝4，kAB＝，则直线AB：y＝x－， 联立方程组消去y得63x2＋126x－193＝0， 此时Δ＝1262＋4×63×193>0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确.故选D. 答案　D 解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法 角度2　弦长问题 [例3]　(2022·河南郑州·统考三模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A.2 B. C. D. 解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m， 由消去y得3x2＋4mx＋2(m2－1)＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝· ＝·， ∴当m＝0时，|AB|取得最大值.故选D. 答案　D 弦长的求解方法 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. （2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种： ①｜AB｜＝｜x1－x2｜＝； ②｜AB｜＝｜y1－y2｜＝（k≠0）. 变式训练 1.（2023·云南曲靖·二模）设直线l与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，若M是线段AB的中点，直线l与直线OM（O是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则双曲线C的离心率为 （　　） A.2 B.3 C. D. 解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），易知x1≠x2，x1≠－x2，则直线AB的斜率为，直线OM的斜率为，则·＝2. 因为点A，B在双曲线C上，所以有－＝1，－＝1， 两式相减并整理可得＝·，所以有＝2，离心率为e＝＝. 答案　D 2.过椭圆＋y2＝1的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则｜AB｜＝　　　　.  解析　∵椭圆方程为＋y2＝1，∴焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0）. ∵直线AB过左焦点F1，倾斜角为60°，∴直线AB的方程为y＝（x＋1），将直线AB方程与椭圆方程联立消去y，得7x2＋12x＋4＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1＋x2＝－，x1x2＝，∴｜x1－x2｜＝＝， 因此｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝. 答案　 考点3 直线与椭圆、双曲线的综合问题（师生共研） [例4]　设双曲线C：－y2＝1，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点. （1）求直线l倾斜角θ的取值范围； （2）直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求△ABD面积的最小值，并求此时l的方程. 解　（1）由双曲线C：－y2＝1，得c2＝3＋1＝4，c＝2， 则右焦点F（2，0），显然直线l的斜率不为0. 设直线l的方程为x＝my＋2，由 得（m2－3）y2＋4my＋1＝0. 因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， Δ＝16m2－4（m2－3）＞0，y1＋y2＝，y1y2＝， 则 解得－＜m＜. 当m＝0时，直线l的倾斜角θ＝； 当m≠0时，直线l的斜率k＞或k＜－. 综上，直线l倾斜角θ的取值范围为. （2）因为O是AD的中点，所以 S△ABD＝2S△OAB＝2×｜OF｜｜y1－y2｜＝2 ＝2＝2， 令t＝m2－3，则t∈[－3，0）， S△ABD＝4＝4＝4， 其中u＝，且u∈. 又y＝4u2＋u在上单调递减，所以S△ABD≥， 当u＝－，即m＝0时，等号成立，此时△ABD面积的最小值为，直线l的方程为x＝2. 1.求解直线与椭圆、双曲线的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法. 2.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝ty＋m避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋b的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记对斜率不存在的情况进行讨论. 变式训练 （2022·北京·人大附中模拟）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－2，0），F2（2，0）.过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点F1作AB的垂线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的周长为4. （1）求椭圆C的方程； （2）求的取值范围. 解　（1）由题得c＝2，由椭圆定义得△MNF2的周长为4a＝4⇒a＝，所以b＝＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）当l⊥x轴时，MN与x轴重合，不符合题意； 当直线l与x轴重合时，｜MN｜＝＝，｜AB｜＝2a＝2，所以＝； 当直线l斜率存在且不为0时，设l：x＝ty－2，A（x1，y1），B（x2，y2），则MN：x＝－y－2， 联立⇒（t2＋3）y2－4ty－2＝0，Δ＝（4t）2＋8（t2＋3）＞0， 由韦达定理，得y1y2＝－，y1＋y2＝， 所以｜AB｜＝｜y1－y2｜＝＝， 同理｜MN｜＝，所以＝＝∈. 综上所述，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$