第八章 第6讲 双曲线（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第6讲　双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）. 3.了解双曲线的简单应用. [对应学生用书P171] 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 图形 性质 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） 焦距 ｜F1F2｜＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a） 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈（1，＋∞） 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2（c＞a＞0，c＞b＞0） （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为. （4）若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. （5）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有共同渐近线的方程可表示为－＝t（t≠0）. ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线. （　　） （2）方程－＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线. （　　） （3）双曲线－＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程是±＝0. （　　） （4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. （　　） 答案　（1）×　（2）×　（3）√　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A选择性必修第一册P120例1改编）已知双曲线的左、右焦点分别为F1（－3，0），F2（3，0），P为双曲线上一点且｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝4，则双曲线的标准方程为 （　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　由双曲线的定义可得c＝3，2a＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，且焦点在x轴上，所以双曲线的方程为－＝1. 答案　A 3.（人A选择性必修第一册P120例1改编）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为 （　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　由题意可设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）， 因为双曲线的焦距为8，则2c＝8，所以c＝4. 又双曲线的离心率为＝2，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝16－4＝12， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（忽视双曲线的定义致误）已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线C上，且｜PF1｜＝7，则｜PF2｜＝ （　　） A.13 B.16 C.1或13 D.3或16 解析　由双曲线C：－＝1可得a＝3，c＝5. 因为｜PF1｜＝7＜a＋c，所以点P在双曲线C的左支上， 所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2a，则｜PF2｜＝｜PF1｜＋2a＝7＋6＝13. 答案　A 5.（忽视焦点的位置致误）若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的焦距为2，则该双曲线的标准方程为　　　　.  解析　双曲线的焦距为2，所以c＝. 当双曲线的焦点在横轴时，因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以＝3⇒b＝3a. 又因为c2＝a2＋b2，所以解得a2＝1，b2＝9， 所以双曲线方程为x2－＝1； 当双曲线的焦点在纵轴时，因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以＝3⇒a＝3b. 又因为c2＝a2＋b2，所以解得a2＝9，b2＝1，所以双曲线方程为－x2＝1， 因此该双曲线的标准方程为x2－＝±1. 答案　x2－＝±1 [对应学生用书P172] 考点1 双曲线的定义及应用（师生共研） [例1]　（1）与圆（x＋2）2＋y2＝2外切，且与圆x2＋y2－4x＝0内切的圆的圆心在 （　　） A.抛物线上 B.圆上 C.双曲线的一支上 D.椭圆上 解析　由题设，（x＋2）2＋y2＝2的圆心为A（－2，0），半径为；x2＋y2－4x＝0的圆心为B（2，0），半径为2， ∴若所求圆的圆心为C，半径为r，由图及已知条件易得r＞2， ∴｜AC｜＝r＋，｜BC｜＝r－2， 则｜AC｜－｜BC｜＝＋2， 由双曲线定义知，圆心C在以A，B为焦点的双曲线的右支上. 答案　C （2）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为　　　　.  解析　不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝， ∴｜PF1｜·｜PF2｜＝8，∴＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝2. 答案　2 【发散探究】 在本例（2）中，若将“∠F1PF2＝60°”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积为　　　　.  解析　不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2， ∵·＝0，∴⊥，∴在△F1PF2中，有｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2， 即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝4，∴＝｜PF1｜·｜PF2｜＝2. 答案　2 双曲线定义的应用 （1）判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程. （2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立｜PF1｜与｜PF2｜的关系. 注意：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支. 变式训练 1.（2022·河南洛阳·三模）设F1（－2，0），F2（2，0），M（x，y）满足｜MF1｜－｜MF2｜＝2，且x2＋y2＝4，则△F1F2M的面积为 （　　） A.3 B. C.9 D. 解析　依题意｜OM｜＝2＝｜OF1｜＝｜OF2｜，所以∠F1MF2＝90°，｜F1F2｜＝4，所以｜MF1｜2＋｜MF2｜2＝｜F1F2｜2＝16. 又（｜MF1｜－｜MF2｜）2＝4，即｜MF1｜2＋｜MF2｜2－2｜MF1｜·｜MF2｜＝4， 所以｜MF1｜·｜MF2｜＝6，所以＝｜MF1｜·｜MF2｜＝3，故选A. 答案　A 2.(2023·江西赣州·统考一模)已知点A，双曲线E：－＝1的左焦点为F，点P在双曲线E的右支上运动.当△APF的周长最小时，|AP|＋|PF|＝(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 解析　由双曲线E：－＝1得到a＝，b＝，c＝3，则左焦点F(－3，0). 设右焦点F1(3，0).当△APF的周长最小时，则|AP|＋|PF|取到最小值，所以只需求出|AP|＋|PF|的最小值即可.|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PF1|＋2a≥|AF1|＋2a＝＋2＝8.故选C. 答案　C 考点2 双曲线的标准方程（师生共研） [例2]　(1)已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是(　　) A.－＝1(x>2) B.－＝1(y>2) C.－＝1 D.－＝1 解析　如图，设△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F， 由题意得|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝7－3＝4<10. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 则方程为－＝1(x>2). 答案　A (2)(2023·天津卷)双曲线－=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知PF2＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　如图， 因为F2(c，0)，不妨设渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0， 所以|PF2|＝＝＝b，所以b＝2. 设∠POF2＝θ，则tan θ＝＝＝，所以|OP|＝a，所以|OF2|＝c. 因为ab＝c·yP，所以yP＝，所以tan θ＝＝＝，所以xP＝， 所以P.因为F1(－c，0)， 所以k＝＝＝＝＝， 所以(a2＋2)＝4a，解得a＝，所以双曲线的方程为－＝1. 答案　D 求双曲线的标准方程的方法 （1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2. （2）待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ（λ≠0），再根据条件求λ的值. 变式训练 1.（2022·江西师大附中三模）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为，则其方程是 （　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D.x2－＝1 解析　由题意，双曲线－＝1的虚轴长为2，离心率为，可得b＝1，e＝＝，即c＝a，因为c2＝a2＋b2，解得a＝2. 所以双曲线的方程为－y2＝1. 答案　C 2.在平面直角坐标系中，已知圆M：（x＋2）2＋y2＝12，点N（2，0），Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线与直线MQ相交于点P，设点P的轨迹为曲线E，则曲线E的方程为　　　　.  解析　因为P在线段NQ的垂直平分线上，所以｜PQ｜＝｜PN｜， 所以｜｜PM｜－｜PN｜｜＝｜｜PM｜－｜PQ｜｜＝r＝2＜｜MN｜＝4， 由双曲线的定义知点P的轨迹是以M，N为焦点，2为实轴长的双曲线，则c＝2，a＝，得b＝1，所以曲线E的方程为－y2＝1. 答案　－y2＝1 考点3 双曲线的几何性质（多维探究） 角度1　渐近线 [例3]　（1）（2022·河南洛阳·三模）已知双曲线C：－x2＝1（m＞0）的离心率e＝，则双曲线C的渐近线方程为 （　　） A.y＝±2x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 解析　由题意，双曲线C：－x2＝1（m＞0），可得a2＝m，b2＝1， 因为双曲线C的离心率e＝，可得＝＝＝，解得m＝4，所以a＝2，b＝1. 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±2x. 答案　A （2）（2023·山西运城·模拟）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A为虚轴上的端点，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，则C的渐近线方程为 （　　） A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±2x D.y＝±2x 解析　设原点为O，由△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形，可得＝＝tan 30°＝， ∴c＝b，a＝＝b，∴＝＝，故C的渐近线方程为y＝±x. 答案　A （1）渐近线的求法：求双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0. （2）在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2. 角度2　离心率 [例4]　(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________. 解析　依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m， 在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0， 故a＝m或a＝－3m(舍去)， 所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a， 故cos ∠F1AF2＝＝＝， 所以在△AF1F2中，cos ∠F1AF2＝＝， 整理得5c2＝9a2，故e＝＝. 答案　 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程（或不等式），通过解方程（或不等式）求得离心率的值（或范围）. 变式训练 1.（多选）（2022·山东泰安·二模）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且其右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是 （　　） A.双曲线C的方程为－＝1 B.点A到双曲线C的渐近线的距离为 C.若｜PF1｜＝6，则｜PF2｜＝2 D.若·＝0，则△PF1A的外接圆半径为 解析　由离心率为，右顶点为A（2，0）可得a＝2，c＝3，∴b＝，故双曲线C的方程为－＝1，A正确； 双曲线的渐近线方程为y＝±x，故点A到双曲线C的渐近线的距离为＝，B正确； 由双曲线的定义｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝4，｜PF1｜＝6，则｜PF2｜＝2或10，C错误； ·＝0，则⊥，△PF1A的外接圆半径为＝，D正确.故选ABD. 答案　ABD 2.（2022·全国甲卷）记双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值　　　　　　　.  解析　C：－＝1（a＞0，b＞0），所以C的渐近线方程为y＝±x， 结合渐近线的特点，只需0＜≤2，即≤4， 可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝＝≤＝. 又因为e＞1，所以1＜e≤，故答案为2（满足1＜e≤皆可）. 答案　2（满足1＜e≤皆可） 学科网（北京）股份有限公司 $$