第八章 第2讲 两条直线的位置关系（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第2讲　两条直线的位置关系 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. [对应学生用书P158] 1.两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0（其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝（A1，B1），l4的法向量v2＝（A2，B2））的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且 b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2.三种距离公式 （1）两点间的距离公式 ①条件：点P1（x1，y1），P2（x2，y2）. ②结论：｜P1P2｜＝. ③特例：点P（x，y）到原点O（0，0）的距离｜OP｜＝. （2）点到直线的距离 点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝. 1.直线系方程 （1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）. （2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0（n∈R）. （3）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2. 2.五种常用对称关系 （1）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（－x，－y）. （2）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y），关于y轴的对称点为（－x，y）. （3）点（x，y）关于直线y＝x的对称点为（y，x），关于直线y＝－x的对称点为（－y，－x）. （4）点（x，y）关于直线x＝a的对称点为（2a－x，y），关于直线y＝b的对称点为（x，2b－y）. （5）点（x，y）关于点（a，b）的对称点为（2a－x，2b－y）. ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. （　　） （2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. （　　） （3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交. （　　） （4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. （　　） 答案　（1）×　（2）×　（3）√　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A选择性必修第一册P67T8改编）直线l1⊥l2，若l1的倾斜角为30°，则l2的斜率为 （　　） A. B.－ C. D.－ 解析　＝tan 30°＝，∴＝－. 答案　B 3.（人A选择性必修第一册P79T7）若点P（3，1）到直线l：3x＋4y＋a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝ （　　） A.3 B.2 C. D.1 解析　由题设可得d＝＝3，结合a＞0可得a＝2，故选B. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（忽略两直线平行的充要条件致误）已知直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋（a－1）y＋a2－1＝0互相平行，则实数a的值为 （　　） A.－2 B.2或－1 C.2 D.－1 解析　直线ax＋2y＋6＝0斜率必存在， 故两直线平行，则－＝－，即a2－a－2＝0，解得a＝2或－1， 当a＝2时，两直线重合，∴a＝－1. 答案　D 5.（距离公式使用不当致误）两平行直线3x＋2y－1＝0与6x＋4y＋1＝0之间的距离为 （　　） A. B. C. D. 解析　将直线3x＋2y－1＝0化为6x＋4y－2＝0， 则这两条平行直线间的距离为＝. 答案　D [对应学生用书P159] 考点1 两直线的平行与垂直（题组通关） 1.设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是(　　) A.相交但不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合 解析　由题意可知，直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的斜率分别为 －，，又在△ABC中，＝，所以－·＝－1，所以两条直线垂直. 答案　B 2.两直线3x＋2y＋m＝0和(m2＋1)x－3y－3m＝0的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.重合 D.视m而定 解析　由题意，直线3x＋2y＋m＝0的斜率为－<0，直线(m2＋1)x－3y－3m＝0的斜率为>0，则两直线斜率一定不相等，故两直线相交.故选B. 答案　B 3.已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，直线l2：x＋(a－1)y＋2＝0，则下列命题中不正确的是(　　) A.直线l2过定点(－2，0) B.若l1⊥l2，则a＝ C.直线l1过定点 D.若l1∥l2，则a＝2 解析　对于A，直线l2：x＋(a－1)y＋2＝0，当y＝0时，无论a取何值，x＝－2恒成立， 所以直线l2恒过定点(－2，0)，故A正确； 对于B，若l1⊥l2，则a×1＋2(a－1)＝0，所以a＝，故B正确； 对于C，直线l1：ax＋2y＋1＝0，当x＝0时，无论a取何值，y＝－恒成立， 所以此时直线l1恒过定点，故C正确； 对于D，若l1∥l2，则a×(a－1)－2＝0，所以a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1， 经检验，此时两直线平行，故D错误.故选D. 答案　D 4.已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________. 解析　因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以若l1⊥l2， 则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2； 若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝，经检验符合题意. 答案　3或－2　 判断两条直线位置关系的注意点 （1）斜率不存在的特殊情况. （2）可直接利用直线方程系数间的关系得出结论. 考点2 两直线的交点与距离问题（师生共研） [例1]　（1）已知△ABC的三个顶点是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），则△ABC的面积为　　　　.  解析　｜AC｜＝＝， 设AC所在直线方程为y＝kx＋b，把点A，C的坐标代入得 解得∴直线AC的方程为y＝x＋2，即2x－5y＋10＝0， ∴点B到直线AC的距离d＝＝， S△ABC＝AC·d＝××＝. 答案　 （2）直线kx－y－1＝0与直线x＋2y－2＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为　　　　.  解析　由题意可得，解得∴＞0且＜0，∴－＜k＜. 答案　 （3）若直线l1：y＝2x－1与直线l2平行，且它们之间的距离等于，则直线l2的方程为　　　　.  解析　设直线l2：y＝2x＋b，将直线l1与直线l2化为一般式可得l1：2x－y－1＝0，l2：2x－y＋b＝0，故它们之间的距离为＝， 解得b＝4或b＝－6，故直线l2的方程为2x－y＋4＝0或2x－y－6＝0. 答案　2x－y＋4＝0或2x－y－6＝0 利用距离公式应注意的点 （1）点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝｜x0－a｜，到直线y＝b的距离d＝｜y0－b｜. （2）使用两条平行线间的距离公式时要把两条直线方程中x，y的系数化为相等. 变式训练 1.已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A.4 B. C. D. 解析　由直线平行可得3m－6＝0，解得m＝2，则直线方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0，则两直线间的距离是＝. 答案　D 2.过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)的距离相等的直线方程是________. 解析　若斜率不存在时，过点P(0，1)的直线为x＝0，此时不满足条件； 若斜率存在时，设过点P(0，1)的直线l：y－1＝kx，即kx－y＋1＝0. 根据题意，可得＝，解得k1＝－2或k2＝0， 当k1＝－2时，直线方程为2x＋y－1＝0； 当k2＝0时，直线方程为y＝1. 综上所述，直线方程为2x＋y－1＝0或y＝1. 答案　2x＋y－1＝0或y＝1 考点3 对称问题（多维探究） 角度1　点关于点对称 [例2]　过点P（0，1）作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为　　　　.  解析　设l1与l的交点为A（a，8－2a）， 则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a，2a－6）在l2上， 代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，解得a＝4， 即点A（4，0）在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 答案　x＋4y－4＝0 角度2　点关于线对称 [例3]　一条光线经过点A（2，3）射到直线x＋y＋1＝0上，被反射后经过点B（1，1），则入射光线所在直线的方程为　　　　.  解析　设点B关于直线x＋y＋1＝0的对称点为B'（x0，y0），则解得 所以B'（－2，－2）.又点A（2，3）， 所以kAB'＝＝，直线AB'的方程为y－3＝（x－2）， 由图可知，直线AB'即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为5x－4y＋2＝0. 答案　5x－4y＋2＝0 角度3　线关于线对称 [例4]　直线l1：x＋y－1＝0关于直线l2：3x－y－3＝0的对称直线方程为　　　　.  解析　联立l1：x＋y－1＝0和直线l2：3x－y－3＝0，求得它们的交点为A（1，0）， 在直线l1：x＋y－1＝0上取点B（0，1），设其关于l2：3x－y－3＝0的对称点为C（a，b）， 则解得所以C， 故直线l1：x＋y－1＝0关于直线l2：3x－y－3＝0的对称的直线为AC， 其斜率为＝，直线方程为y＝（x－1），即x－7y－1＝0. 答案　x－7y－1＝0 对称问题的求解策略 （1）解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. （2）中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 变式训练 1.直线l：x－y＋1＝0关于点A（2，－3）的对称直线的方程为　　　　.  解析　方法一：设对称直线上一点（x，y），则点（x，y）关于A（2，－3）的对称点为（4－x，－6－y），所以点（4－x，－6－y）在直线l上，代入得x－y－11＝0. 方法二：易知直线l关于点A的对称直线与直线l平行，故设为x－y＋C＝0.由点A（2，－3）到这两条直线的距离相等，得＝，解得C＝1（舍去）或C＝－11，即所求直线方程为x－y－11＝0. 方法三：易知点（－1，0），（0，1）在直线l上，且它们关于点A的对称点分别为（5，－6），（4，－7），则所求直线的方程为＝，即x－y－11＝0. 答案　x－y－11＝0 2.已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0，若直线l1关于直线l的对称直线为l2，则直线l2的方程为　　　　.  解析　由题意知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1），在直线l1上取点M（0，3）， 设点M关于直线l的对称点为M'（a，b）， 则解得即M'（4，－1）， 将M'（4，－1）代入l2的方程得4＋1＋m＝0，m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 答案　x－y－5＝0 学科网（北京）股份有限公司 $$