第八章 第1讲 直线的方程（word教参）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教A版）

第八章　平面解析几何 第1讲　直线的方程 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）. [对应学生用书P155] 1.直线的方向向量 设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 2.直线的倾斜角 （1）定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. （2）范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°. 3.直线的斜率 （1）定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α（α≠90°）.  （2）过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），其斜率k＝. 4.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k（x－x0） 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝（x1≠x2，y1≠y2） 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内的直线都适用 1.“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”. 2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. 3.直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的一个法向量v＝（A，B），一个方向向量a＝（－B，A）. ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置. （　　） （2）若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α. （　　） （3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. （　　） （4）截距可以为负值. （　　） 答案　（1）√　（2）×　（3）×　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A选择性必修第一册P58T7改编）过两点A（5，y），B（3，－1）的直线的倾斜角是135°，则y等于 （　　） A.2 B.－2 C.3 D.－3 解析　因为斜率k＝tan 135°＝－1，所以k＝＝－1，得y＝－3. 答案　D 3.（人A选择性必修第一册P60例1改编）经过点（1，2），且倾斜角为45°的直线方程是 （　　） A.y＝x－3 B.y－2＝x－1 C.y＝－（x－3） D.y＝－（x＋3） 解析　因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率k＝tan 45°＝1，所以直线方程为y－2＝x－1.故A，C，D错误. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（不理解倾斜角和斜率致误）下列命题中正确的是 （　　） A.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α B.若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C.平行于x轴的直线的倾斜角为180° D.若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90° 解析　对于A，当α＝时，直线的斜率不存在，故A不正确；对于B，当α＝－时，斜率为－1，倾斜角为≠α，故B不正确；对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为0°，故C不正确；对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90°是正确的. 答案　D 5.（搞混倾斜角和斜率关系致误）已知两点A（1，－2），B（2，1），直线l过点P（0，－1）且与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为 （　　） A. B.∪ C.∪ D.∪ 解析　如图所示，直线PA的斜率kPA＝＝－1，直线PB的斜率kPB＝＝1. 由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率k∈[－1，1]， 因此直线l的倾斜角的取值范围是∪. 答案　C [对应学生用书P156] 考点1 直线的倾斜角和斜率（师生共研） [例1]　（1）若A（－2，3），B（3，－2），C三点共线，则m＝ （　　） A. B.－ C.－2 D.2 解析　由于A（－2，3），B（3，－2），C三点共线，则kAB＝kAC，即＝，解得m＝. 答案　A （2）已知A（3，1），B（1，2），若直线x＋ay－2＝0与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是 （　　） A.（－∞，－1）∪ B. C.（－∞，－2）∪（1，＋∞） D.（－2，1） 解析　直线x＋ay－2＝0过点C（2，0）， 画出图象如下图所示，kBC＝＝－2，kAC＝＝1， 由于直线x＋ay－2＝0与线段AB没有公共点， 当a＝0时，直线x＝2与线段AB有公共点，不符合题意， 当a≠0时，直线x＋ay－2＝0的斜率为－， 根据图象可知－的取值范围是（－2，0）∪（0，1）， 所以a的取值范围是（－∞，－1）∪. 答案　A （1）斜率的两种求法：定义法、斜率公式法. （2）倾斜角和斜率范围求法：①图形观察（数形结合）；②充分利用函数k＝tan α的单调性. 变式训练 1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 （　　） A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2 C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2 解析　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0. 直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D. 答案　D 2.已知直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角范围是 （　　） A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析　由直线l的方程为xsin α＋y－1＝0， 所以y＝－x＋，即直线l的斜率k＝－.又－1≤sin α≤1， 所以－≤k≤.又直线的倾斜角的取值范围为[0，π）， 由正切函数的性质可得，直线l的倾斜角范围为∪. 答案　B 考点2 求直线的方程（师生共研） [例2]　（1）已知等边△ABC的两个顶点A（0，0），B（4，0），且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是　　　　.  解析　如图所示：由C作x轴的垂线交x轴于D点，则D为AB的中点， 即xC＝2，yC＝－2tan 60°＝－2，∴C（2，－2）， ∴BC边所在的直线方程是y＝（x－4），即y＝（x－4）＝x－4，即x－y－4＝0. 答案　x－y－4＝0 （2）已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为　　　　.  解析　由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b. 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b.由题意得｜b｜＋＋＝30， ∴｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝30，∴b＝±5.∴所求直线l的方程为y＝x±5， 即5x－12y＋60＝0或5x－12y－60＝0. 答案　5x－12y＋60＝0或5x－12y－60＝0 （1）求直线方程一般有以下两种方法： ①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程； ②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程. （2）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用. 变式训练 1.在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为(　　) A.5x－2y－5＝0 B.2x－5y－5＝0 C.5x－2y＋5＝0 D.2x－5y＋5＝0 解析　设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，因为A(5，－2)，B(7，3)，所以 且解得且 即C(－5，－3)，M，N(1，0)， 所以MN所在直线的方程为＝，即5x－2y－5＝0. 答案　A 2.已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，若l过点A(－4，3)，则直线l的方程为(　　) A.y－3＝－(x＋4) B.y＋3＝(x－4) C.y－3＝(x＋4) D.y＋3＝－(x－4) 解析　方法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)， 所以直线l的斜率k＝，故直线l的方程为y－3＝(x＋4). 方法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于点A)，则＝(x＋4，y－3). 因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)， 所以3(x＋4)－2(y－3)＝0， 故直线l的方程为y－3＝(x＋4). 答案　C 考点3 直线方程的综合应用（师生共研） [例3]　已知直线l过点M（2，1），且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程. 解　方法一：设直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k＜0），则A，B（0，1－2k）， S△AOB＝×（1－2k）×＝≥×（4＋4）＝4， 当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立. 故直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋2y－4＝0. 方法二：设直线l：＋＝1，且a＞0，b＞0， 因为直线l过点M（2，1），所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8， 故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号， 此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 【探究发散】 1.在本例条件下，当｜OA｜＋｜OB｜取最小值时，求直线l的方程. 解　由本例方法二知，＋＝1，a＞0，b＞0， 所以｜OA｜＋｜OB｜＝a＋b＝（a＋b）·＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立， 所以当｜OA｜＋｜OB｜取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0. 2.本例中，当｜MA｜·｜MB｜取得最小值时，求直线l的方程. 解　方法一：由本例方法一知A，B（0，1－2k）（k＜0）. 所以｜MA｜·｜MB｜＝·＝2×＝2≥4. 当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号. 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 方法二：由本例方法二知A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，＋＝1. 所以｜MA｜·｜MB｜＝｜｜·｜｜＝－·＝－（a－2，－1）·（－2，b－1） ＝2（a－2）＋b－1＝2a＋b－5＝（2a＋b）－5＝2≥4， 当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k（x－1）＋2，则直线过定点（1，2）. 2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积. 3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解. 变式训练 已知直线l：（2＋a）x＋（a－1）y－3a＝0在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是（　　） A.－1＜k＜ B.k＞1或k＜ C.k＞或k＜1 D.k＞或k＜－1 解析　已知直线l：（2＋a）x＋（a－1）y－3a＝0，所以（x＋y－3）a＋2x－y＝0 ⇒⇒所以直线l过点A（1，2）， 由题知，在x轴上的截距取值范围是（－3，3）， 所以直线过点（－3，0），（3，0）时的斜率分别为＝－1，＝，如图： 所以k＞或k＜－1. 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $$