2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（相似三角形问题）

2024年九年级数学中考专题训练 ：二次函数综合（相似三角形问题） 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当点D在直线下方时，连接交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)是否存在点D，使？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线经过三点． (1)求拋物线的函数表达式； (2)如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为，求点的坐标； (3)如图2，为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．连接、，已知． (1)求直线的函数表达式； (2)Q为抛物线上一点，若以B、C、Q为顶点的三角形和相似，求点Q的坐标； (3)P为抛物线上一点（异于A点），若，请直接写出P点的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接、，设关系式为．若，，D是y轴右侧抛物线上一点，设其横坐标为m，于点E． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点D位于直线下方时，求长度的最大值； (3)当与相似时，求m的值． 5．如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式和点B的坐标； (2)点D是线段（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则点Q的坐标为 ； (3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，请直接写出新抛物线的顶点坐标为及 的最小值为 ． 6．如图，抛物线经过两点，与轴交于两点． (1)求抛物线的解析式： (2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为，直线与交于点，连接． ①如图1，若时，求的值： ②如图2，直线与抛物线交于点，连接．问：是否为定值？若是，请求出这个定值：若不是，请说明理由． 7．如图，抛物线的顶点是，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)P为抛物线第一象限内一点，连接，交于点E，若．当S最大时，当直接写出点P的坐标和S的最大值． 8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在x轴上，点为抛物线上一点，轴交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线对称轴左侧，直线下方图象上一点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，作，垂足为，连接，若，求的值． 9．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．    (1)求该二次函数的解析式； (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． ①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值； ②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 10．已知抛物线：与x轴交点为A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点G是的中点．    (1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴； (2)直线与抛物线交于点M，N且，求抛物线解析式． *提示：如果一元二次方程的两个根是，，那么，； (3)已知点P是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点P作x轴的垂线交于点E，交x轴于点F．若以点C，P，E为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 11．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，D为第一象限的抛物线上一点    (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F为，点G为线段上一点，且四边形是平行四边形，直接写出D的坐标； 12．如图，已知抛物线经过点，，三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．    (1)求该抛物线的表达式； (2)已知点，当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？ (3)点P在线段运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点     ，连接 .    (1)求抛物线的解析式. (2)点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点D，的面积为12，求点P的坐标. (3)在(2)的条件下，若点E是线段BC上点，连接，将 沿直线 翻折得到，当直