2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（线段周长问题）

2024年九年级数学中考专题训练 ：二次函数综合（线段周长问题） 1．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点C是抛物线上的一点且横坐标为3，当的值最小时，求点M的坐标； (3)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，求的最大面积； (4)在二次函数图象上是否存在点N，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． (1)当时，直接写出点A、B、C、D的坐标： A ，B ，C ，D ； (2)如图1，直线交x轴于点E，若，求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，若点N为的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记． ①用含t的代数式表示f； ②请直接写出f的最大值为： ． 3．如图，二次函数的图象过点和，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该二次函数的对称轴上有一点，使的长度最短，求出的坐标． (3)动点，同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动，点以每秒4个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当，两点相遇时，它们都停止运动．设，同时从点出发秒时，的面积为．请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 4．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点B位于点A的右边），与y轴交于点，P是抛物线上的一动点，点P的横坐标为t． (1)求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标； (2)连接 _____； (3)①若点P位于第四象限，过点P作轴于点F交于点E，用含t的式子表示 （不要求写出自变量取值范围）； ②过点P作，求的最大值； (4)M是抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出t的值，若不存在请说明理由． 5．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点在抛物线第一象限上，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数关系式：（不要求写出的取值范围） (3)如图2，在（2）的条件下，点在抛物线第四象限上，连接、，与交于点，，若，求点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段的长度随m的增大而增大． ①求m的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的m的取值范围． 7．如图，抛物线经过点，，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在第二象限，连接．当线段最长时，求的面积及点Q的坐标； (3)已知点在直线上，点M在抛物线上，点N在y轴上，在满足（2）的条件下，是否存在这样的点M、N，使以点Q、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求点M的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由． 8．如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点B与点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接，将线段绕O点逆时针旋转90°，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段的最大值； (3)如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 9．如图，已知抛物线经过点三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交于点C，求的最大值及此时点P的坐标； (3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使的周长最小，求点N的坐标． 11．如图抛物线经过点，点，且． (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； (3)点为抛物线上一点，