2.3 抽象函数的性质及应用 学案-2024届高三上学期数学一轮复习

课 题： 微专题2抽象函数的性质及应用（1） 课型： 复习课 课程标准： 会利用函数的单调性、奇偶性的概念解决抽象函数的性质 学科素养： 数学逻辑、数学抽象 重 点： 会解决抽象函数的单调性和奇偶性的问题 难 点： 会解决抽象函数的单调性和奇偶性的问题 1． 知识回顾 1. 增（减）函数：一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））函数f（x）在区间I上是增函数（减函数） 2. 奇（偶）函数：一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f（－x）＝－f（x）（f（－x）＝f（x））那么函数f（x）就叫做奇（偶）函数 2． 例题讲解 1. 抽象函数单调性 （大书P34例4）设函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且f＝f（x）－f（y）. （1）求f（1）的值； （2）若f（6）＝1，求不等式f（x＋3）＋f≤2的解集. （小书P316.18）2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋1，且当x＞0时，f（x）＞－1. （1）求f（0）的值，并证明f（x）在R上是增函数； （2）若f（1）＝1，解关于x的不等式f（x2＋2x）＋f（1－x）＞4. 2. 抽象函数奇偶性 （大书P33例1（2））已知函数f（x）满足：f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）对任意的实数x，y恒成立，且f（1）≠f（2），求证：f（x）是偶函数. （小书P318.18）函数f（x）的定义域为D＝{x｜x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）. （1）求f（1）的值； （2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论； （3）如果f（4）＝1，f（x－1）＜2，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，求x的取值范围. 作业： 整理，小书315页--316页 反思： 课 题： 微专题2抽象函数的性质及应用（2） 课型： 复习课 课程标准： 会利用函数的周期性、对称性的概念解决抽象函数的性质 学科素养： 数学逻辑、数学抽象 重 点： 会解决抽象函数的周期性和对称性的问题 难 点： 会解决抽象函数的周期性和对称性的问题 3． 知识回顾 函数周期性常用结论：对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. 函数图象的对称性 1.函数图象自身的轴对称 （1）函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a－x）⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f（－x）＝f（2a＋x）； （2）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称. 2.函数图象自身的中心对称 （1）函数y＝f（x）的图象关于（a，0）对称⇔f（a＋x）＝－f（a－x）⇔f（x）＝－f（2a－x）⇔f（－x）＝－f（2a＋x）； （2）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）. 练习：1.若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线 对称 2.若对于函数y＝f（x）定义域内的任意x都有f（2＋x）＋f（2－x）＝6，则y＝f（x）的图象关于点 对称 4． 例题讲解 3. 抽象函数周期性 （大书P34左上方训练）已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f（1）＜1，f（5）＝，则实数a的取值范围为（　　） （大书P33右下例2）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（　　） 4. 抽象函数对称性 （大书P34左例3）函数y＝f