7.6利用空间向量求空间角与距离 学案-2024届高三上学期数学一轮复习

课 题： 利用空间向量求空间角与距离 课型： 复习课 教学目标：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题；能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 学科素养：直观想象、数学运算 重 点：能用向量方法解决距离问题和简单夹角问题 难 点：含参问题的计算与求解 教学内容： 1.异面直线所成角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，a，b分别是直线l1，l2的方向向量，则 cos θ＝｜cos＜a，b＞｜ 2.直线与平面所成角 若a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则 sin θ＝｜cos＜a，n＞｜ 3.平面与平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜ 二面角：二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则 ｜cos φ｜＝cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜ 4.空间距离 （1）点到直线的距离： （2）点到平面的距离：平面α的法向量为n， （3）两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度. 5.最小角定理：如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 6.典例讲解 【P182 训练】（2021·浙江高考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD. （1）证明：AB⊥PM； （2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. 【P182 例2】（2022·新高考Ⅱ卷）如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点. （1）证明：OE∥平面PAC； （2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5， 求二面角C－AE－B的正弦值. 【P183 训练】在四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD. （1）求证：AB⊥PD； （2）若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC的夹角的余弦值. 作业：小黄 反思：__________________________________________________ 课 题：利用空间向量求空间角与距离（习题课） 课型：复习课 教学目标：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题；能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 学科素养：直观想象、数学运算 重 点：能用向量方法解决距离问题和简单夹角问题 难 点：含参问题的计算与求解 教学内容： 5.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝，则该二面角的大小为（ ） A.150° B.45° C.60° D.120° 8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，二面角B－AA1－C1的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为　　　　.  10.如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC. （1）证明：EF⊥DB； （2）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值. 11.如图，六面体ABCDEFG中，BE⊥平面ABC，且BE⊥平面DEFG，DG∥EF，ED＝DG＝GF＝1，AB＝BC＝CA＝EF＝2. （1）求证：DF⊥平面ABED； （2）若二面角A－DG－E的余弦值为，求点C到平面BDF的距离. 作业：整理纠错 反思：__________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$