7.5 空间向量与线面位置关系 学案-2024届高三上学期数学一轮复习

课 题： 空间向量与线、面位置关系（1） 课型： 复习课 课程标准： 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 学科素养： 数学抽象、逻辑推理、直观想象 重 点： 空间向量的线性运算、数量积运算及其坐标表示 难 点： 能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 教学过程： 1、 复习回顾：线、面平行与垂直的判定与性质 二、讲授新知： 1.空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在实数λ，使a＝λb 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 注：1.空间中任意两个向量共面 2.共面向量定理中a，b不共线时为充要条件 3.空间向量基本定理的3点注意：①空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底；②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量；③基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. 2.空间向量的数量积及坐标运算 （1）两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝. （2）空间向量运算的坐标表示 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） 向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3） 数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3） 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0） 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos＜a，b＞＝ 三、典例讲解 P177基础自测 5.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为　　　　.  法1：基底（练习：用从顶点出发的三个向量作为基底，表示顶点与底面中心构成的向量） 法2：几何法 法3：建系 考点一 空间向量的线性运算 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且＝＋x＋y，则实数x＋y＝ （　　） A.－ B.－ C. D. 考点二 共线、共面向量定理的应用 【例1】　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝（＋＋）. （1）判断，，三个向量是否共面； （2）判断点M是否在平面ABC内. 总结：三点共线、四点共面方法比较： 练习： 训练1.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，则m＋n＝　　　　.  训练2.已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足＝＋＋，则点M　　　　（填“∈”或“∉”）平面ABC.  考点三 空间向量数量积的应用 【例2】　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： （1）·； （2）异面直线AG与CE所成角的余弦值. 总结：空间向量数量积的3个应用 （1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角； （2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0