7.4 直线、平面垂直的判定与性质 复习学案-2024届高三数学一轮复习

课 题： 直线、平面垂直的判定与性质 课型：复习课 课程标准：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质定理与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题. 学科素养： 数学抽象、逻辑推理、直观想象 重 点： 利用判定定理和性质定理解决实际问题 难 点： 利用判定定理和性质定理解决实际问题 教学过程： 一、知识梳理 1.直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面； （2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°； （2）范围：. 3.平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角； ③范围：[0°，180°]. （2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直； （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 4.常用结论： 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.垂直于同一条直线的两个平面平行. 3.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. 4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 二、典例分析 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. （　　） （2）垂直于同一个平面的两平面平行. （　　） （3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（ ） （4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β. （　　） 应用1.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 （　　） A.α⊥β且m⊂α　　　　　B.m⊥n且n∥β C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β 2.（多选）下列命题为真命题的是 （　　） A.若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合 B.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直 C.垂直于同一条直线的两个平面相互平行 D.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是 （　　） A.①　　　　　　B.② C.③ D.④ 考向1　线面垂直的判定与性质 （2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1. （1）求三棱锥F－EBC的体积； （2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE. 总结：1.证明直线和平面垂直的常用方法 （1） 判定定理；（2）直线垂直于平面的传递性；（3）面面平行的性质；（4）面面垂直的性质 证明线面垂直的核心是证线线垂直，证垂直绕不过的“线线”，常用方法： ①长度多时考虑勾股定理。 ②等腰三角形的三线合一。 ③正方形中，E、F为中点，则AEBF ④ 若直角梯形中，AD=DC=AB 则∠ACB=90º ⑤长方体中AB=BC.M为BC中点 则DMAC （4）三垂线定理：若平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：若平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在此平面内的射影垂直 2.