微专题8 平面向量与三角形的“四心” 学案-2024届高三上学期数学一轮复习

课 题：微专题8平面向量与三角形的“四心” 课型： 复习课 课程标准： 1四心得定义及性质. 2.四心得向量表示形式 学科素养： 逻辑推理、数学运算、数学抽象 重 点：向量表示的推导 难 点：奔驰定理 教学过程： 1、 复习： 课前提问：四心的定义及性质 2、 知识梳理： 1、共线法定“重心” 对于三形重心的确定，因其是三角形三条中线的交点，因此要关注二点，一是中点，二是共线，特别是共线，通过找一条与其中线共线的直线，可判断此直线也是三角形中线所在的直线，这样可判断三角形的重心. 【例1】　已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝＋λ（＋）（λ≥0），则动点P的轨迹一定经过△ABC的 （　　） A.外心　　　 　B.内心 C.垂心 D.重心 结论：　设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①＋＋＝0；②＝（＋＋）；③动点P满足＝λ（＋）或＝＋λ（＋），λ∈[0，＋∞），则动点P经过三角形的重心. 练习：在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝　　　　.  2、点积法定“垂心” 对于三形垂心的确定，因其是三角形三条高线的交点，因此要关注二点，一是过顶点，二是引线与对边垂直，特别是垂直，通过找一条与其垂直的直线，可判断此直线也是三角形高线所在的直线，这样可判断三角形的垂心. 【例2】　已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足＝＋λ（λ≥0），则动点P的轨迹一定通过△ABC的 （　　） A. 重心 B.外心 C.垂心 D.内心 结论：设O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①·＝·＝·；②｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2；③动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈[0，＋∞），则动点P经过三角形的垂心. 练习：P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的 （　） A. 外心 B.内心 C.重心 D.垂心 3、共线法定“内心” 所谓共线法确定三角形的内心，主要是指利用平面向量共线的性质，若一条线为角平分线，另一条线与其共线，则另一条线也是角平分线，这样要判定内心，可用这种方法破解. 【例3】　在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（　　） A. B. C.4 D.6 结论：　设O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①｜｜＋｜｜＋｜｜＝0（或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长）；②动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈[0，＋∞），则动点P经过三角形的内心. 练习：若△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即为经典的“奔驰定理”.若△ABC的三边为a，b，c，有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的（　　） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4、点积法定“外心” 对于确定三角形外心的问题，因外心是三角形的三条中垂线的交点，因此关键是找出中垂线，考虑到垂直问题，故可用点积两个向量，若点积为0，则可得垂直，加上中点条件，即可确定三角形的外心，当然也可用到三个顶点距离相等简单确定三角形的外心. 【例4】在△ABC中，设－＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的（ ） A.垂心　　 B.内心　　 C.外心　　 D.重心 补充例：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的（ ） A、 重心 B、外心 C、垂心 D、内心 解：如图所示：设BC的中点为D， ，又，等式两边向量同时求与的数量积，得： ，则，所以P点的轨迹一定在BC的中垂线上，即P点一定通过的外心，即选B. 结论：设O是△ABC的外心，则有以下结论：①｜｜＝｜｜＝｜｜⇔＝＝；②（＋）·＝（＋）·＝（＋）·＝0. 练习：已知点G是△ABC内任意一点，若点D是△ABC的底边BC的中点，满足·＝·，则点G可能通过△ABC的　　　　（填：重心、内心、垂心或外心）.  补充奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 说明： 1. 本定理图形酷似奔驰的车标而得名. 2. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式： （1）是的重心. （2）是的内心. （3）是的外心.（4）是的垂心. 3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一. 4.奔驰定理对于利