1.3线段的垂直平分线 解答题优生辅导训练2023-2024学年北师大版八年级数学下册

2023-2024学年北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》 解答题优生辅导训练（附答案） 1．如图，在中，是钝角．（保留作图痕迹）    (1)用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点． (2)连结，若，求的度数． 2．如图，四边形中，，连接并延长交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． 3．如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)连接交于点，若，请探究与之间有什么数量关系？并证明你的结论． 4．如图，在中，，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若，． (1)当，时，求的度数； (2)当时，，，求的长． 5．如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点D，E，，且F为线段的中点，延长与的垂直平分线交于G点，连接．    (1)若D是的中点，求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 6．在中，边的垂直平分线交于，边的垂直平分线交于，与相交于点，的周长为． (1)求的长； (2)分别连结、、，若的周长为，求的长． 7．如图，已知：在中，，点为的中点，且． (1)求的度数； (2)点为上一点，连接并延长至，连接，过C作于，当在线段上时，若，求证． 8．在中，，点为边的中点，点在边上． (1)若，，（如图①），求的长； (2)过点作与边交于点（如图②），试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 9．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，且，连接． (1)求证． (2)若，求的度数． (3)若，求的面积． (4)若，求的周长． 10．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． （1）【知识运用】如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为_________．    （2）【知识迁移】在第（1）问的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置，并求出的距离．    11．在中，点D、点E分别为边上的点， (1)如图1，平分，的垂直平分线经过点E与延长线交于F点，连接，若，求的大小； (2)如图2，D为边中点，连接，过点B作的平行线交延长线于点F．若，求证：． 12．（1）在中，、边的垂直平分线分别交边于点、．如图①，若，求证：； （2）如图②，的平分线和边的垂直平分线相交于点，过点作垂直的延长线于点．若，，求的长． 13．如图，在中，为边的垂直平分线，以为边作等边，与在直线的异侧，直线交的延长线于点，连接交于点．    (1)求证：． (2)求的度数． (3)点在线段上且，连接，证明：． 14．如图，在中，，，．M为上的动点，连结，． (1)当时，求； (2)当时，求证：； (3)求的最小值． 15．定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段． 例如：如图1，在中， ∵于D，且， ∴是直角三角形，是等腰三角形， ∴是等直三角形， 是的一条等直分割线段． (1)如图2，已知中，，是的垂直平分线，请说明是的一条等直分割线段． (2)若是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，和均小于，求证：是等腰三角形． 16．如图，中，在上取，使，延长至，使得． （1）求证：． （2）判断与的位置关系，并说明理由． （3）若的延长线过的中点，求的度数． 迁移应用：如图，中，，，点在线段上，，，垂足为E，与相交于．直接写出线段与的数量关系，并在图中画出探究时所需要的辅助线． 17．在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使． (1)如图1，当点D是的中点时，求证：； (2)如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由． (3)若等边的边长为4，当时，求的长． 18．请回忆华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等；并给出了证明的方法． 定理证明：根据教材的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：    （1）如图②，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． （2）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？ 19．已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使 ，延长交射线于点，连接，作于点． (1)如图1，当点为中点时，_______，的值为_______； (2)如图2，当点在上运动时． ①直