2024年四川省成都市中考数学典型问题专项复习讲义 旋转解答综合问题

成都中考数学典型问题专项复习 旋转综合问题 【解法剖析】 旋转问题是平面几何三大几何变换中的一种，解决旋转问题需要把握以下几个解题要点：①对应边旋转角度相等②对应边旋转前后对应相等③旋转过程中注意所形成的的相似形④注意因旋转所形成的四点共圆 【真题再现】 1、（2021•成都）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′． （1）如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长； （2）如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长； （3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE．在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由． 2、（2022•成都）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H． 【尝试初探】 （1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】 （2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值． 【拓展延伸】 （3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）． 【典例分析】 【例题1】（2023•锦江区校级模拟）如图，在锐角△ABC中，∠B＝60°，点D，E分别是边BC，AC上的动点，连接AD，DE． （1）如图1，若AB＞BC，且BD＝DE，AD平分∠BAC，求∠CED的度数． （2）如图2，若AB＝BC，在平面内将线段AD绕点D顺时针方向旋转60度得到线段DF，连接BF，过点F作FG⊥AB，垂足为点G，在点D运动过程中，猜想线段BD，BA，AG之间存在的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，若点H为AC下方一点，连接AH，CH，△ACH为等边三角形，将△ACH沿直线AH翻折得到△AHP．M是线段PB上一点，将△PMH沿直线HM翻折得到△HMN，连接PN，当线段PB取得最大值，且tan∠PHN＝时，请求出PM：AC的值． 【变式1】（2023•武侯区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，在平面内将线段AC绕点A顺时针旋转至线段AD的位置，E是BD的中点． （1）如图1，若∠DAB＝90°，求AE的长； （2）如图2，若AD∥BC，求AE的长； （3）如图3，在线段AC的旋转过程中，当EC的长取得最小值时，请求出△BCD的面积． 【变式2】（2023•武侯区校级模拟）如图，在△ABC和△DEC中，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，将△CDE绕点C旋转，连接AD，BE． （1）求证：△CAD∽△CBE； （2）设DE与BC交于点F，与AB交于点G，若四边形ADEC为平行四边形，求的值； （3）连接BD，BE，若AB＝6，DE＝4，当点D在射线AE上时，求AD的长． 【例题2】（2023•新都区模拟）将下列三幅图中的△ABC的边AB绕其顶点A逆时针旋转α得到线段AD． （1）如图1，将边AC绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE，求证：△ABC≌△ADE； （2）如图2，连接BD，点F在BD上，且满足BC＝DF，连接AF，点G为AB上一点，连接DG交AF于点M，若∠ACB＝∠BDG，∠ADB+∠ABC＝180°，求证：AM＝FM． （3）如图3，连接CD，若∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，P，Q两点分别在AB，BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD，请探究线段DQ，BP，CD之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式1】（2022•锦江区校级模拟）取一张矩形纸片ABCD，E为边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠得△FEB． （1）如图1，连接FC，FD，AF，当FC＝FD时，试判断△ABF的形状； （2）如图2，连接FD，当AB＝5，DF的最大值与最小值的和为20时，求线段AD的值； （3）如图3，当点F落在边BC上，分别延长BE，CD交于点G，将△BAE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得△BA'E'，分别连接A'C，E'G，取E'G中点H连接CH，试探究线段A'C与CH的数量关系． 【变式2】（2022•温江区模拟）在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AD，若∠BAC＝α，将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到线段AE，连接CE和DE，AC与DE交于点F． （1）求证：△ABD∽△DCF； （2）若α＝120°