2024年高考数学三角函数压轴题专项训练

2024年高考数学三角函数压轴题专项训练 1．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值，以及相应的值； (3)若，，求的值. 2．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 3．已知的部分图象如下图，且. (1)求的解析式. (2)令，若，求. 4．如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． 5．已知． (1)求的值； (2)已知，，，求的值． 6．燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点． (1)若，求的余弦值； (2)若，求排水沟的长； (3)当变化时，求条人行道总长度的最大值．（单位百米） 7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求A； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 8．已知函数，以下证明可能用到下列结论：时，①；②． (1)，求证：； (2)证明：． 9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）. (1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）； (2)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 10．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对于任意的，恒成立，求证：． 11．设，函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若函数有两个零点，求证：. 12．已知函数. (1)若点是函数图像的一个对称中心，且，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 13．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． (1)设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由． (2)已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围． 14．设函数和的定义域分别为和，若对，都存在个不同的实数，使（其中，），则称为的“重覆盖函数”． (1)试判断是否为的“4重覆盖函数”？并说明理由； (2)已知函数为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)； (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质即可得解； （2）利用正弦函数的性质即可得解； （3）由题意可得，从而利用基本关系式与正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期， 由，得， 所以的单调递减区间为. （2）由（1）知的单调递减区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以当时，，当时，. （3）因为，所以， 又，则，则， 所以， 所以 ． 2．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围. 【详解】（1），由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得：， 因为， 所以； （2）锐角中，，， 由正弦定理得：， 故， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 3．(1)； (2). 【分析】（1）先由最大值得到，再由周期与的范围求得，再代入点求得，由此得到的解析式. （2）利用三角恒等变换化简，再利用整体代换法，结合正弦函数的和差公式求得，从而求得. 【详解】（1）由图像可知，的最大值为，又，所以， 因为，所以， 又由图像可知，则， 所以，得，又，故， 所以， 将点代入，得，即， 因为，则，所以，则， 所以. （2）因为 ， 因为，所以，则， 因为，所以，故， 所以， 所以 ， 所以. 4．(1) (2)证明见解析 【分