17.1 第1课时 勾股定理 课件 2023-2024学年人教版八年级数学下册

温故知新 三角形 全等三角形 等腰三角形 直角三角形 17.1 勾股定理 第十七章 勾股定理 第1课时 勾股定理 勾股定理有着悠久的历史：几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解。古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 一、勾股定理的认识及验证 问题1 图中有哪些几何图形？ 三角形，正方形 等 问题2 正方形 A、B、C 面积之间有什么样的数量关系？ 问题1 图中有哪些几何图形？ 等腰直角三角形，正方形 等 问题3 被正方形A、B、C 所围成的三角形三边之间有什么特殊关系？ P22页左下角 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 课本23页 A的面积(单位长度) B的面积(单位长度) C的面积(单位长度) 图1 图2 A、B、C面积关系 直角三角形三边关系 4 9 13 9 25 34 sA+sB=sC 两直角边的平方和 等于斜边的平方 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方. 由上面的几个例子，我们猜想： a b c 下面的动图形象的说明了命题 1 的正确性，据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？ a b b c a b c a 23--24页 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. 边长为，a，b的正方形 分割4个全等的三角形和1个正方形 a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b- a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 等面积法证明勾股定理 a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2. 证明： ∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， 30页证法2 毕达哥拉斯证法 等面积法证明勾股定理 a a b b c c ∴ a2 + b2 = c2. 30页证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 等面积法证明勾股定理 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. a、b、c 为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 公式变形： 勾股定理 b a c 归纳总结 24页 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”. 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 勾2 + 股2 = 弦2 小贴士 例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. (1) 若 a = b = 5，求 c； (2) 若 a = 1，c = 2，求 b. 解： (1) 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 (2) 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 利用勾股定理进行计算 C A B 课本24页 (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ; (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c. 【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. 解： (1) 设 a = x，b = 2x，由勾股定理得 x2 + (2x)2 = 52， 解得 (2) 因此设 a = x，c = 2x，由勾股定理得 (2x)2 - x2 = 152， 解得 例2 已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4. 求 CD 的长. 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 25， 即 AB = 5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC = AB×CD. ∴ CD = . A