三次函数经典题型 突破讲义-2024届高三数学一轮复习

微专题　三次函数经典题型突破 形如的函数叫做三次函数，其中x是自变量，a，b，c，d是常数.它具有以下性质： 一、图像、单调区间与极值 三次函数求导以后是二次函数，，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像： 二、零点个数 若方程f′(x)=0的判别式，则f(x)在R上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点. 若方程f′(x)=0的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数f(x)的极值点，则： （i）当时，f(x)有一个零点； （ii）当时，f(x)有两个零点； （iii）当时，f(x)有三个零点. 三、对称中心 三次函数一定有对称中心.其对称中心的横坐标为. （三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数f′(x)=3ax2+2bx+c的图象对称轴上．若三次函数f(x)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点．） 四、过平面内某点能作三次函数图像切线的条数 思考：若是对于在整个R上单调 递增/递减 型的三次函数，切线条数又该如何分布？ 五、三次方程韦达定理 若一元三次方程存在三个实数根，则： 思考：如何证明？ 例1　设函数，求函数f(x)的单调区间. 解析：的定义域为R， ,此时为的单调递增区间； ，此时为的单调递减区间。 变式1： 设函数，求函数f(x)的单调区间。 反思感悟：变式1与例题的区别在于把三次函数常数项换成参数m，但是不影响函数的单调性 变式2： 设函数，求函数的单调区间. 反思感悟：函数求导后为常数项未知的二次函数，不能确定二次函数与图像的交点个数，即二次方程的根，所以要讨论的正负 变式3： 设函数在（-，+）为单调函数，求m取值范围. 反思感悟：1、单调函数为在定义域范围内为增函数或减函数; 2函数求导后为含参数的二次函数， 二次函数图像开口向上，所以只能满足（-，+）上有f′(x)≥0，所以要≤0. 变式4： 设函数，求函数的单调区间。 反思感悟：由于m的不确定性，不能确定两根的大小，所以要进行分类讨论，很多同学不知道分类讨论的分界点是什么，遇到这种能够直接可以因式分解的，讨论的分界点即为两根相等时求出的参数值，所以此题分类讨论的分界点为m=1,m>1,m<1,变式2因为不能因式分解，不能确定方程有根无根，所以要讨论的正负. 变式5： 设函数，求函数的单调区间. 反思感悟：求导后，分析二次函数的最高幂系数不确定，所以要讨论m与0的关系，在m不为0的情况下，讨论的正负. 变式6： 设函数，求函数的单调区间. 反思感悟：这道题目与变式4区别在于，最高次前边的系数不能确定，所以讨论的第一个分界点为m=0，然后在讨论两个根的大小，但是一定注意导函数图像的开口方向，这是易错点. 变式7： 已知函数.若在上存在单调递增区间，求的取值范围. 反思感悟：对于求得导数f′(x)之后，只要f′(x)在该区间存在正值/负值，那么对应区间就一定存在递增/递减区间. 变式8： 已知函数.若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 反思感悟：对于求得导数f′(x)之后，优先考虑对其因式分解。若能够分解，后续就可以避免讨论. 【练习1】： 已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, 若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【解析】因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2). 因为f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x-3)(x+1)≥0在[-1,2]上恒成立,所以f(x)在[-1,2]上单调递增. 又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减, ∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值. 于是有f(2)=22+a=20,解得a=-2. 故f(x)=-x3+3x2+9x-2. 因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7. 【练习2】：已知函数，。 当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围. 【解析】 解　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1， ∴h′(x)＝3x2＋6x－9. 令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1， 当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞) h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗ ∴当x＝－3时，h(x)取极大值28； 当x＝1时，h(x)取极小值－4. 而h(2)＝3<h(－3)＝28， ∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3. 所以k的取值范围为(－∞，－3]． 【练习3】