1.1锐角三角函数（1）导学案 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

1.1 锐角三角函数（1） 学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能用正切进行简单的计算. 学习重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义；会根据正切的定义进行计算求值。 学习难点：1.理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 2.理解坡度（坡比）的概念 学习过程: (一)构建动场 ( A ) 活动1.直角三角形中，边有哪些关系？角有哪些关系？边角之间又有怎样的关系呢？ ( C ) ( B ) 活动2.梯子是我们日常生活中常见的物体.那我们该如何判断物体的倾斜程度呢？ 问题1：图1和图2中，这里各摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？ ( 图1 图2 ) 问题2 ：图3中摆放的两个梯子，哪一个比较陡一些？你是如何判断的？ ( 图4 ) ( 图3 ) 问题3： 图4中摆放的两个梯子，哪一个比较陡一些？你是如何判断的？ 问题4：通过一组探究后，梯子的倾斜程度与什么相关？ (二)自主学习 活动3.直角三角形的边与角的关系 如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？并尝试说明理由 ⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? ⑵ ⑵有什么关系？ ⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢? ⑷如果改变∠A的大小呢？倾斜角的对边与邻边的比值是否发生改变？ （5）这个比值与锐角A究竟是一种什么关系呢？ (三)交流探究 既然直角三角形中，一个锐角一旦确定，它的对边与邻边的比也随之确定.那么这个确定的比我们能不能用一个数学符号来表示呢？ 1.正切：在Rt△ABC中，，一个锐角A一旦确定，那么的对边与邻边的比也随之确定，这个确定的比叫做的正切，记作. 即 练习:判断正误 注意：1. 中常省略角的符号“∠”.用希腊字母表示角时也可省略如：、等.但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成或、等； 2、没有单位，它表示一个比值； 3、是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“”乘以“”； 4、一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，只能在直角三角形中适用. 例1 根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值. （1）在Rt△ABC中， tanA= (2)在Rt△ABC中， tanA= tanB= 通过上述计算，你有什么发现？ 例2如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，tanB=，求BC、AB的长。 变式练习：在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,tanA=2，则AC=_______. 例3 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 思考1：梯子的倾斜程度与的值有怎样的关系？ 思考2：tanA的值与∠A的大小有怎样的关系？ 结论：_________________________________________________________________. 例4 如图，在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB. 2.坡度（坡比i） 正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度. 坡角：坡面与水平面的夹角； 坡度（坡比）：坡面的铅垂高度与水平宽度的比，坡度常用字母i表示 （特别注意:坡度不是一个度数，而是坡角的正切） 如图，有一山坡在水平方向上每前进100米就升高60，那么山坡的坡角是，坡度i（坡比）就是：i= 例5 若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________ （四）综合建模 （1）知识建构 （2）能力养成 （3）思想提升 （五）当堂检测 A组 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝2，则tanA等于（　　） A． B．2 C． D． 第1题图 第3题图 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 3.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是_______m B组 4.在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,求tanC. 5．如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，连接DH，如果BC＝12，BF＝3，则tan∠HDG的值为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份