第4讲 计数原理、二项式定理 讲义-2024届高考数学二轮专题复习（统考版）

第4讲　计数原理、二项式定理 考点一　计数原理与排列组合——分类加法、分步乘法，有序排列，无序组合 导向性 考查逻辑推理、数学运算素养，以生活应用为主． 原则性 排列与组合相结合，属冷考点． 1.[2023·陕西省西安市第三十八中学模拟]从六人(含甲)中选四人完成四项不同的工作(含翻译)，则甲被选且甲不参加翻译工作的不同选法共有(　　) A.120种　B．150种　C．180种　D．210种 2．[2023·黑龙江省哈尔滨师范大学附中模拟]第二十二届哈尔滨国际经济贸易洽谈会(简称“哈洽会”)将于2023年6月15日至19日在哈尔滨国际会展体育中心举办，搭建展示和对接的平台，进一步激活发展潜能，推动“一带一路”建设．本届“哈洽会”线下展览总面积共计6万平方米，拟设中俄地方经贸合作主题展区、港澳台及国际展区、省区市合作展区、产业合作展区、龙江振兴展区、机械设备展区六大展区，展区布局如图所示，则产业合作展区与龙江振兴展区相邻的概率为(　　) 　　　　　 A. B． C． D． 3．[2023·云南师范大学附属中学高三考试]欧几里得在《几何原本》中证明了算术基本定理：任何一个大于1的自然数N，可以唯一分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式是唯一的．记N＝p1a1·p2a2·…·pkak(其中pi是素数，ai是正整数，1≤i≤k，p1<p2<…<pk)，这样的分解称为自然数N的标准素数分解式．若N的标准素数分解式为N＝p1a1·p2a2·…·pkak，则N的正因子有(a1＋1)(a2＋1)·…·(ak＋1)个，根据以上信息，180的正因子个数为(　　) A.6 B．12 C．13 D．18 4．[2023·峨山彝族自治县第一中学模拟]在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有(　　) A.56个 B．57个 C．58个 D．60个 练后领悟 解排列、组合的应用题，通常有以下途径 (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 警示　注意排列、组合问题的3个易错点：(1)分类标准不明确，有重复或遗漏；(2)混淆排列问题与组合问题；(3)解决捆绑问题时，忘记“松绑”后的全排列． 考点二　二项式定理——抓住“通项”公式，区分两种系数 导向性 求展开式中的特定项或其系数，考查数学运算素养． 原则性 与代数式运算交汇，属冷考点． 1.[2023·四川省成都市四七九名校模拟]已知x(x－1)n的展开式中x4的系数为－4，则正整数n＝(　　) A.8　　　B．6　　　C．5　　　D．4 2．[2023·河北省盐山中学高三模拟](x2－x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　) A.－10 B．10 C．－30 D．30 3．[2023·陕西省西北工业大学附属中学测试]若(1＋)4(1＋x)3，则展开式中的常数项为(　　) A.1 B．15 C．21 D．35 4．[2023·江西师范大学附属中学三模]若(2x2－)n的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是(　　) A.第二项 B．第三项 C.第四项 D．第五项 5．[2023·山东省德州市三模]若(2x－3)12＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，则(　　) A.a0＝－1 B.a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝－312 C.a1＋a2＋…＋a12＝－2 D.＋＋…＋＋＝－1 6．[2023·广东省佛山市H7教育共同体联考]记(＋x)n的展开式中x的系数为Tn，则当Tn取得最大值时n的值为(　　) A.2 019或2 020 B．2 020或2 021 C.2 021或2 022 D．2 022或2 023 7．[2023·广东省部分地市模拟]已知当|x|<1时，＝1＋x＋x2＋x3＋…＋xn＋…，基于上述事实，若对任意的|x|<，都有＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，则a12＝(　　) 参考数据：38＝6 561，39＝19 683，310＝59 049. A.19 656 B．－19 656 C.－19 710 D．19 710 练后领悟 1．利用二项式定理求解相关问题的两种常用思路 (1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的． (