超几何分布与正态分布在生活中的应用 阅读学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

《超几何分布与正态分布在生活中的应用》 ----------衔接教材选择性必修二第四单元《随机变量》 1、 阅读目标 1.通过阅读材料，能直观地认识超几何分布，感受生活中的超几何分布事件与问题。 2.通过阅读材料，能认识正态分布，会用正态分布来解释生活中的实际现象。 2、 阅读内容 （一）超几何分布及其应用 超几何分布是一种重要的离散型概率分布。这在2005年普通高等学校全国统一招生考试的数学试卷中已得到了充分体现。因此系统地了解、研究超几何分布,就显得十分必要。 1.超几何分布的定义：给定正整数M、N及n（M≤N，n≤N）如果离散型随机变量ξ的概率分布是：（k=0,1,2，...，n）则称ξ是服从超几何分布的随机变量。 超几何分布实际上描述了一种不放回抽球问题的概率模型。 2.超几何分布的应用：设袋中共有 N个球,其中有 M个红球,N-M个黑球，每次从袋中等可能地任取一球,取后不放回,共取 n次,其中所得红球数目的概率分布即为超几何分布。 由于对前述的超几何分布概率模型中的红球、黑球容许作各式各样的解释，因而超几何分布就有各种实际的应用,以下用例子加以说明。 例题：“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ （二）正态分布及其应用 1.起源与由来：正态分布概念是由法国数学家棣莫弗于1733年首次提出的，后由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根在一篇论文中正式提出了这个学说。 其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按棣莫弗的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。 2.正态分布的定义与应用 （1）正态分布的定义:如果对于任何的实数a＜b，随机变量X都满足：则称为X的正态分布。 山东省 高中数学阅读学案 编号03 编制人 审批 班级 小组 姓名 正态分布由参数u、∂唯一确定，正态分布计作N（u、∂²），其图像称为正态 1 2 学科网（北京）股份有限公司 曲线。如果随机变量X服从正态分布，则记作X-N（u、∂²）。 （2）正态分布的特性： 集中性：曲线最高峰位于正中央，且位置为均数所在的位置。 对称性：曲线以均数所在位置为中心左右对称且曲线两段无线趋近于横轴。 均匀变动性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心均匀向左右两侧下降。 面积恒等：曲线与横轴间的面积总等于1。 可加性：已知两个互相独立的正态分布a和b，它们的随机变量是X和Y; 如果：X~N(μ1,σ1),Y~N(μ2,σ2),那么：aX+bY~N(aμ1+bμ2,a²σ1²+b²σ2²) （3） 正态分布的应用： ①解决各种正问题的概率计算问题。 ②正态分布计算简单，可尽快取得结果 。 ③适用范围广，许多非参数统计中都可以使用方差、标准差、平均值。 ④解决正态和常正态总体的“非参数性”统计分析中某些统计量概率的近似计算。 ⑤对于不遵从正态的统计，可适当地将某些数换转化为正态变量之后进行计算。 例题：某保险公司有2500人参保，每人每年付1200元保费 ，在一年内一个人死亡的概率为0.002，死亡时其家