4.2.3 超几何分布与二项分布的联系 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

《超几何分布与二项分布的联系》 ----------衔接教材选择性必修二第四单元《随机变量》 1、 阅读目标 1.通过阅读材料，能直观地认识超几何分布与二项分布的联系 2.通过阅读材料，明确超几何分布及二项分布的异同点，能利用相应概念公式解决简单的实际问题。 2、 阅读内容 1.超几何分布与二项分布的异同点 （1）超几何分布和二项分布的相同点表现为：随机变量均是取连续非负整数值的离散型分布列． （2）超几何分布和二项分布最明显的区别有两点： ①超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，也就是说二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不是。 ②超几何分布需要知道总体的容量，也就是总体个数有限；而二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”。 2. 超几何分布和二项分布二者之间也有联系： 当总体很大时，超几何分布近似于二项分布，或者说超几何分布的极限就是二项分布．若随机变量ζ满足二项分布，即ζ～B(n，p)，则有 若随机变量ζ服从超几何分布，则有 注意无论是二项分布和超几何分布，其每次试验都只有两种结果。 例1.空气质量指数PM2．5(单位：ug／m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量．这个值越高，就代表空气污染越严重： 某市2018年3月8日一4月7日(30天)对空气质量指数PM2．5进行检测，获得数据后得到如下条形图： (1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率； (2)在上述30个检测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优的天数，求X的分布列和数学期望． 山东省 数学阅读学案 编号02 编制人 审批 班级 小组 姓名 山东省昌乐一中 编制人 审核人 审批 使用时间 ( 1 ) ( - 2 - ) ( - 1 - ) 学科网（北京）股份有限公司 例2. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验。设每件产品为不合格品的概率都为p（0） (Ⅰ)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0。 (Ⅱ)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(Ⅰ)中确定的p0作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。 (i)若不对该箱余下的产品做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验? 小结：求解离散型随机变量的期望时，应先根据题意判定随机变量的分布类型，并求解它的期望值，同时要注意期望的性质及其应用。 3、 思考与评价 1. 超几何分布与二项分布之间的异同点与联系分别是什么？ 2.求解离散型随机变量时，怎样判断随机变量的分布类别？ 四、答案与提示 例1思路分析： （1）该城市一个月内空气质量类别为良的概率为16/30=8/15． （2）这里抽取的检测数据也是不放回的抽取，且每个检测数据被抽到的概率都相等，因此计算随机变量X的每个取值的概率时应是古典概型的概率，其分布列是典型的超几何分布． 解析：由题意可知，从30个检测数中任取一个数据，此数据对应的空气质量为优的概率为P=8/30=4/15。 从30个检测数据中任取2个，随机变量X的值取0，1，2，故，随机变量X的分布列为： 例2思路分析： ( - 1 - ) 学科网（北京）股份有限公司 $$