第六章 高考重点突破二 数 列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第六章　数列 高考重点突破二　数　列 ⁠ 1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题. 2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题. ⁠ [对应学生用书P125] 考点一　数学文化与数列的实际应用 [例1]　（1）今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，…按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是 　　　　⁠.  解析　设每个30分钟进去的人数构成数列， 则a1＝2＝2－0，a2＝4－1，a3＝8－2，a4＝16－3，a5＝32－4，…，an＝2n－. 设数列的前n项和为Sn，依题意，只需求 S11＝（2－0）＋（22－1）＋（23－2）＋…＋（211－10） ＝－ ＝－＝212－2－55＝212－57＝4 039. 答案　4 039 （2）在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD的面积为S1，第二个正方形EFGH的面积为S2，…，第n个正方形的面积为Sn，则前n个正方形的面积之和为 　　　　　　⁠.  解析　设第n个正方形的边长为an，由题意可得an＋1＝＝an，且a1＝4， 故数列是以4为首项，以为公比的等比数列， 所以＝＝＝，且S1＝42＝16， 所以数列是以16为首项，以为公比的等比数列， 因此，前n个正方形的面积之和为＝32. 答案　32 ⁠ 数列应用问题常见模型 （1）等差模型：后一个量比前一个量增加（或减少）的是同一个固定值. （2）等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数. （3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与（或者相邻三项）之间的递推关系，或者Sn与（或者相邻三项）之间的递推关系. 变式训练 1.（2023·云南西双版纳·二模）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问：5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是 （　　） A.15 B.16 C.18 D.21 解析　设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6， 则a5＝a1＋（5－1）×3＝6＋12＝18，故选C. 答案　C 2.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.对于R0＞1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数R0＝3，平均感染周期为7天（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，经过一个周期后这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……），那么感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要的天数为（参考数据：36＝729，45＝1 024）（　　） A.35 B.42 C.49 D.56 解析　感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要n轮传染， 则每轮新增感染人数为，经过n轮传染，总共感染人数为：1＋R0＋＋…＋＝. ∵R0＝3，∴当感染人数增加到1 000人时，＝1 000，化简得3n＝667， 由35＝243，36＝729，故得n≈6.又∵平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1 000人大约需要6×7＝42天，故选B. 答案　B 考点二　等差、等比数列的综合运算 [例2]　（2023·滨州模拟）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； 解　（1）设等差数列{an}的公差为d，因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4， 所以d＝a2－a1＝2，所以an＝2＋（n－1）×2＝2n. 又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，所以n＝log2bn，所以bn＝2n. （2）设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100. 解　（2）由（1）得bn＝2n＝2·2n－1＝，即bn是数列{an}中的第2n－1项. 设数列{an}的前n项和为Pn，数列{bn}的前n项和为Qn， 因为b7＝＝a64，b8＝＝a128， 所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的， 所以S100＝P107－Q7＝－＝11 302. ⁠ 对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d＞0证明不等式成立.另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法. 变式训练 设是等差数列，前n项和为Sn；是各项均为正的等比数列，其前n项和为Tn，已知b1＝1，b2＝b3－2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. （1）求an和Tn； 解　（1）设等比数列的公比为q， 由b1＝1，b2＝b3－2，可得q2－q－2＝0，∴q＝2， ∴bn＝2n－1. ∴Tn＝＝2n－1. 又设等差数列的公差为d，由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4； 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，∴a1＝d＝1，∴an＝n. （2）若Sn＋2Tn＝2an＋4bn，求正整数n的值. 解　（2）Sn＝，由Sn＋2Tn＝2an＋4bn有＋2＝2n＋2n＋1， ∴n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1（舍），故n的值为4. 角度2　数列与函数的交汇 [例4]　已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q＞1，a2，a3是函数f（x）＝x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和是 　　　　⁠.  解析　由f（x）＝x3－6x2＋32x，得f'（x）＝x2－12x＋32， 又因为a2，a3是函数f（x）＝x3－6x2＋32x的两个极值点， 所以a2，a3是函数f'（x）＝x2－12x＋32的两个零点，故 因为q＞1，所以a2＝4，a3＝8，故q＝2，则前9项和S9＝＝210－2＝1 022. 答案　1 022 ⁠ 数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明. 考点三　数列与其他知识的交汇 角度1　数列与不等式的交汇 [例3]　(2023·湖北武汉·统考三模)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，an＋1＝Sn＋n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设单调递增等差数列{bn}满足b2＝3，且a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列. ①求数列{bn}的通项公式； ②设Tn＝＋＋…＋，试确定Tn与的大小关系，并给出证明. 解　(1)因为an＋1＝Sn＋n，所以an＝Sn－1＋n－1(n≥2)， 所以an＋1＝2an＋1(n≥2)， 整理得an＋1＋1＝2(an＋1)(n≥2). 又因为a2＝3，所以当n≥2时，an＋1＝(a2＋1)×2n－2＝2n(n≥2)， 所以an＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝2不满足. 所以an＝n∈N*. (2)①设数列{bn}的公差为d(d>0). 因为a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列， 且a1＝2，a2＝3，a3＝7， 所以(a2＋b2)2＝(a1＋b1)， 即d2＋12d－13＝0. 又因为d>0，所以d＝1. 所以数列{bn}的通项公式为bn＝n＋1，n∈N*. ②Tn<.证明如下： 由①知bn＝n＋1，n∈N*， 易知(n＋1)2>n(n＋2)， 所以Tn＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋<＋＋…＋ ＝－<， 故∀n∈N*，Tn<. 变式训练 (2023·河北保定·统考二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，若对任意的正整数n都有2Sn＝2nan－n2＋n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列的前n项和为Tn，若s≤Tn－≤t恒成立，求t－s的最小值. 解　(1)由2Sn＝2nan－n2＋n， 得当n≥2时，有2Sn－1＝2(n－1)an－1－(n－1)2＋(n－1)， 二式相减并化简得2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)， 由于n≥2，则n－1≠0，所以有an－an－1＝1. 又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以an＝1＋n－1＝n. (2)结合(1)可知＝， 所以Tn＝＋＋…＋＝＝－＋. 当n为奇数时，Tn＝－－， 又Tn＋2－Tn＝－－＋＋＝>0， 所以Tn单调递增，又n→＋∞时，Tn→－， 所以Tn－随着Tn的增大而增大， 则T1＝－，T1－＝－＋2＝≤Tn－<－＋3＝； 当n为偶数时，Tn＝－＋， Tn＋2－Tn＝－＋＋－＝－<0， 所以Tn单调递减，又n→＋∞时，Tn→－， 所以Tn－随着Tn的增大而减小， 所以T2＝－，T2－＝－＋4＝≥Tn－>－＋3＝， 综上，≤Tn－≤，且Tn－≠. 又因为s≤Tn－≤t恒成立， 所以t≥，s≤， 所以t－s的最小值为－＝. $$