第六章 第3讲 等比数列-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第六章　数列 第3讲　等比数列 ⁠ 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系. ⁠ [对应学生用书P117] 1.等比数列的概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于⁠⁠　同一个　⁠常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q≠0）. 数学语言表达式：＝⁠⁠　q　⁠（n≥2，q为非零常数）. 同一 个　 q　 （2）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2＝⁠⁠　ab　⁠. ab　 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 （1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝⁠⁠　a1　⁠； 通项公式的推广：an＝am. （2）等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝⁠⁠　　⁠＝. a1　 　 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. （1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝⁠⁠　am·an　⁠. （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，，，…仍是等比数列，公比为⁠⁠　qm　⁠. （3）当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为⁠⁠　qn　⁠. am·an　 qm　 qn　 ⁠⁠ 1.若数列{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则数列{c·an}（c≠0），{｜an｜}，{a2n}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.由＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）等比数列{an}的公比q＞1，则该数列单调递增. （　　） 答案　（1）×　 （2）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac. （　　） 答案　（2）×　 （3）如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列. （　　） 答案　（3）×　 （4）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝. （　　） 答案　（4）× ｜教材衍化｜ 2.（人A选择性必修第二册P31练习T5改编）已知数列是公比为q的等比数列，则以下数列：①；②；③；④中等比数列的个数是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ③是公比为的等比数列； ④是公比为q的等比数列. 答案　C 解析　因为数列是公比为q的等比数列， ①＝不是等比数列； ②＝q2，是公比为q2的等比数列； 3.（人A选择性必修第二册P36例8改编）设是公比为－2的等比数列，且a4＋2a6＝72，则S5＝ （　　） A.－8 B.－11 C.8 D.11 解析　是公比为－2的等比数列，且a4＋2a6＝72， 则a1＋2×a1＝72，解得a1＝－1，则S5＝＝－11. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（忽略q＝1致误）已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是 （　　） A.1 B.－ C.1或－ D.－1或 解析　当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝ －.综上，q的值是1或－. 答案　C 5.（忽视首项的符号致错）若数列是公比为q的递增等比数列，则 A.a1＞0，q＞1 B.a1＞0 C.q＞0 D.q＜0 解析　依题意，不妨设a1＝1，q＝2，数列是递增的等比数列，由此判断C，D选项错误.设a1＝－1，q＝，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确.故正确的选项为B.所以本题选B. 答案　B ⁠ [对应学生用书P118] ⁠ 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解. 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 考点2　等比数列的判定与证明（师生共研） [例1]　（2023·山西临汾·一模）已知数列的前n项和为Sn，满足5an＝2Sn＋1. （1）证明：数列为等比数列； 解　（1）证明：由题可知，5an＝2Sn＋1①， 5an－1＝2Sn－1＋1②， ①－②得5an－5an－1＝2an， 即an＝an－1. 当n＝1时，由①知a1＝， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. （2）若bn＝3n·an－1，求数列的前n项和Tn. 解　（2）由（1）可知，an＝×＝，所以bn＝3n×－1＝5n－1－1. 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝50＋51＋52＋…＋5n－1－n＝－n－. ⁠ （1）证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判 定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. （2）在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证. 变式训练 已知数列满足a1＝3，an＋1＝3an－2n. （1）令bn＝an－2n，证明：数列为等比数列； 解　（1）证明：＝＝＝＝＝3. 又b1＝a1－21＝1，故数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）求数列的前n项和Sn. 解　（2）由（1）有bn＝b1×3n－1＝1×3n－1＝3n－1，可得an＝2n＋3n－1， 所以有Sn＝＋＝2n＋1＋－. 考点3　等比数列的性质（多维探究） 角度1　等比数列项的性质 [例2]　（1）（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为 （　　） A.π B.－π C.±π D.π3 解析　在等比数列中，因为a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根， 所以a2a8＝π＝，所以a5＝±，所以a3a5a7＝＝±π. 答案　C （2）（2023·四川南充·二模）若等比数列的各项均为正数，且a1 010·a1 013＋ a1 011·a1 012＝2e2，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a2 022＝ 　　　　⁠.  解析　因为是等比数列，所以a1 010·a1 013＋a1 011·a1 012＝2a1 011·a1 012＝2e2， 即a1 011·a1 012＝e2，所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a2 022＝ln a1a2…a2 022＝ ln ＝ln e2 022＝2 022. 答案　2 022 角度2　等比数列和的性质 [例3]　（1）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为 （　　） A.2 B.4 C.8 D.16 解析　设这个等比数列共有2k项，公比为q， 则奇数项之和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＝85， 偶数项之和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝q＝qS奇＝170， ∴q＝＝＝2， 等比数列的所有项之和为S2k＝＝22k－1＝170＋85＝255，则22k＝256， 解得k＝4，因此，这个等比数列的项数为8. 答案　C ⁠ 等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口. 提醒　在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形.此外，解题时注意“设而不求”的运用. 2.（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前n项和为Sn，公比为q，则下列选项正确的是 （　　） A.若S3＝4，S6＝12，则S9＝29 B.若a1＝1，q＝，则Sn＝4－3an C.若a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝－6 D.若a1＝1，a5＝4a3，则an＝2n－1 解析　A选项中，由S3（S9－S6）＝（S6－S3）2，即4（S9－12）＝（12－4）2，解得S9＝28； B选项中，Sn＝＝4－3an； C选项中，由a5a6＝a4a7得a4a7＝－8，a4＋a7＝2， 解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4， 当q3＝－时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋4×＝－7； 当q3＝－2时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋（－2）×（－2）2＝－7； D选项中，∵a5＝4a3，∴q4＝4q2，∴q＝0（舍去）或q＝－2或q＝2， 故an＝（－2）n－1或an＝2n－1. 答案　B 考点1 等比数列基本量的运算(题组通关) 1.(2023·全国甲卷理科)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A.7　　　 B.9　　　　 C.15　　　 D.30 解析　由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4， 即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0. 由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C. 答案　C 2.(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A.3 B.18 C.54 D.152 解析　由题意可得当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2，① 当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，② 联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝54. 答案　C 3.(2023·全国甲卷文科)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为________. 解析　若q＝1，则由8S6＝7S3，得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意.所以q≠1. 当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·＝7·， 即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7， 解得q＝－. 答案　－ 4.(2023·北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝________；数列{an}所有项的和为________. 解析　方法一：设前3项的公差为d，后7项公比为q>0， 则q4＝＝＝16，且q>0，可得q＝2， 则a3＝1＋2d＝，即1＋2d＝3，可得d＝1，可得a3＝3，a7＝a3q4＝48， a1＋a2＋…＋a9＝1＋2＋3＋3×2＋…＋3×26＝3＋＝384. 方法二：因为{an}，3≤n≤7为等比数列，则a＝a5a9＝12×192＝482，且an>0， 所以a7＝48； 又因为a＝a3a7，则a3＝＝3. 设后7项公比为q>0，则q2＝＝4，解得q＝2，可得a1＋a2＋a3＝＝6，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝＝＝381， 所以a1＋a2＋…＋a9＝6＋381－a3＝384. 答案　48　384 (2)(2023·新高考全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A.120　 B.85　 　 C.－85　 D.－120 解析　方法一：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列， 所以有(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1或S2＝， 当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21， 易知S8＋21＝－64，即S8＝－85； 当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0， 与S4＝－5矛盾，舍去.故选C. 方法二：设等比数列{an}的公比为q，首项为a1， 若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1. 由S4＝－5，S6＝21S2可得＝－5，＝21×①， 由①可得1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4， 所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C. 答案　C 变式训练 1.(2023·全国乙卷理科)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝_______. 解析　设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1. 因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 答案　－2 $$