第二章 自主培优4 嵌套函数的零点问题-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 自主培优4　嵌套函数的零点问题 对应学生用书P47 　　形如y＝f（g（x））的复合函数（暂称此函数为“嵌套函数”）零点相关问题综合性较强，难度稍大，主要涉及判断函数零点的个数或范围.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 类型一　嵌套函数零点个数的判断 [典例1]　（1）已知函数f＝则函数y＝f的零点个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析　令f＝t，当f＝0时，解得t＝或t＝－1. 在同一直角坐标系中分别作出y＝f，y＝－1，y＝的图象如图所示，观察可知，y＝f与y＝－1有1个交点，y＝f与y＝有2个交点，则y＝f的零点个数为3. 答案　C （2）已知函数f（x）＝则函数g＝f（f（x）－5）的零点个数是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析　因为f（x）＝所以f'（x）＝令f'（x）＜0，解得x＜－2，所以f在上单调递减，令f'（x）＞0，解得－2＜x＜0或x＞0，所以f在和上单调递增，函数图象如图所示： 当x≤0时，令f＝0，得x＝0或x＝－4.又x→0＋时，f→－∞；x→＋∞时，f→＋∞，f＝e－1＞0，所以∃x0∈使得f＝0. 要使g＝f（f（x）－5）＝0，即f－5＝0或f－5＝－4或f－5＝x0， 即f＝5或f＝1或f＝x0＋5. 由函数图象易知y＝5，y＝1，y＝x0＋5与y＝f都有两个交点， 故f＝5或f＝1或f＝x0＋5各有两个零点， 故函数g＝f（f（x）－5）有6个零点. 答案　D ⁠ 破解此类问题的主要步骤 （1）换元解套：将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数t＝g（x）与y＝f（t）的零点问题. （2）依次求解：令f（t）＝0求t，代入t＝g（x）求出x的值或判断图象交点个数. 类型二　已知函数零点的个数求参数的范围 [典例2]　(1)(2023·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模)已知函数f(x)＝若F(x)＝f2(x)－2af(x)＋的零点个数为4，则实数a取值范围为(　　) A.∪ B.∪(2，＋∞) C. D. 解析　f(x)的图象如图所示： 因为F＝f2(x)－2af(x)＋有4个不同的零点，令f(x)＝t，故t2－2at＋＝0有解， 设此关于t的方程的解为t1，t2，其中t1，t2均不为零且t1t2＝. 由题设可得关于x的方程f＝t1和f＝t2共有4个不同的解， 故或或 所以解得a>. 答案　D (2)(2023·浙江杭州高三二模)设a∈R，函数f ＝若函数y＝f(f(x))恰有三个零点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 解析　当a≥0时，f 的大致图象如图1，此时令f(f(x))＝0，可得f(x)＝1，观察图象可解得x＝0或x＝2，即方程有两个根，则此时y＝f(f(x))只有两个零点，不合题意； 当a<0时，f(x)的大致图象如图2，此时令f(f(x))＝0，可得f(x)＝1或f(x)＝a， 由图易知f(x)＝a恰有一根，则需满足f(x)＝1有两根，而x＝0和x＝2均为f(x)＝1的根，则需满足x<0时，f (x)<1.又x<0时，f(x)＝－x2＋ax的对称轴为直线x＝， 则f(x)＝f ＝<1，解得－2<a<2，则－2<a<0. 综上，a的取值范围为. 答案　A $$