第二章 第8讲 函数与方程-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第8讲　函数与方程 ⁠ 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. ⁠ [对应学生用书P45] 1.函数的零点 （1）概念：对于一般函数y＝f（x），我们把使⁠⁠　f（x）＝0　⁠的实数x叫做函数y＝f（x）的零点. f（x）＝0　 （2）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： x轴 f(x)=0 2.函数零点存在定理 （1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②⁠⁠　f（a）f（b）　⁠＜0. （2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得⁠⁠　f（c）＝0　⁠，这个c也就是方程f（x）＝0的解. f（a）f（b）　 f（c）＝0　 ⁠⁠ 1.若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根. 2.由函数y＝f（x）（图象是连续不断的）在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）f（b）＜0，如图所示，所以f（a）f（b）＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. （　　） 答案　（1）×　 （2）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）f（b）＜0. （　　） 答案　（2）×　 （3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值. （　　） 答案　（3）× ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P143例1改编）函数f＝ln x＋2x－6的零点的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析　由于函数f在上是增函数，且f＝－4＜0，f＝ln 3＞0， 故函数f（x）在内有唯一零点，即也在内有唯一零点. 答案　B 3.（人A必修第一册P144练习T2改编）函数f（x）＝x＋log2x的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 解析　由已知得f（x）＝x＋log2x为（0，＋∞）上的递增函数， f＝＋log2＝－log23＜0， f＝＋log2＝－＜0， f＝＋log2＝－log23＝＞0，f（1）＝1＞0， 由零点存在定理可知，f（x）在区间内存在零点，故选C. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（不会利用函数的图象致误）方程＝lox的解的个数为 （　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析　在同一坐标系内，作出y＝与y＝lox的图象，如图： 由图象可知，方程只有一个解. 答案　B 5.（忽视二次项系数为0致误）若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为 　　　　⁠.  解析　当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点； 当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1. 综上，实数a的取值为a＝0或a＝1. 答案　0或1 ⁠ [对应学生用书P46] ⁠ 判断函数零点问题的策略 （1）利用零点存在定理：对图象连续不断的函数，根据区间端点对应函数值的正负判断零点； （2）利用图象：画出函数图象，利用图象的交点判断零点个数； （3）结合函数单调性判断零点个数. 角度2　根据零点的范围求参数的范围 [例4]　（2024·济南模拟）若函数f＝alog2x＋a·4x＋3在区间内有零点，则实数a的取值范围是 （　　） A. B. C. D. 解析　函数f（x）定义域是， 因函数y＝log2x，y＝4x在上都是单调递增的，而f＝a（log2x＋4x）＋3， 当a＞0时，f在（0，＋∞）上单调递增；当a＜0时，f在（0，＋∞）上单调递减；当a＝0时，f＝3无零点， 于是得当a≠0时，函数f＝alog2x＋a·4x＋3在（0，＋∞）上连续且单调. 因函数f在区间内有零点，则由零点存在定理有f·f（1）＜0，即（－a＋2a＋3）（4a＋3）＜0，解得－3＜a＜－， 所以实数a的取值范围是. 答案　C ⁠ 根据函数零点求参数的常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围. （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. 2.函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C.∪ D. 解析　∵y＝2x和y＝－在（0，＋∞）上是增函数，∴f（x）＝2x－－a在（0， ＋∞）上是增函数，∴只需f（1）·f（3）＜0即可，即·＜0，解得－1＜a＜7.