9.4 矩形、菱形、正方形（第2课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第9章 · 中心对称图形——平行四边形 9.4　矩形、菱形、正方形（2） 第2课时　矩形的判定 1 学习目标 1.探索并证明矩形的判定定理; 2.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离. 知识回顾 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. A B C D 四边形ABCD AB∥CD AD∥BC B D ▱ABCD A C ∠ABC=90° B A D C 矩形ABCD 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 怎样检验木工做成的窗框是不是矩形？说说你的想法. 问题情境 4 1. 我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，四个角(或三个角)都是直角的四边形是矩形吗？ 思考与探索 B A D C 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 5 思考与探索 2. 我们知道，当一个平行四边形框架扭动成矩形时，它的两条对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ B A D C O 已知：如图，在▱ABCD中，AC=DB. 求证：▱ABCD是矩形. 证法1：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC. 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（SSS）. ∴∠ABC=∠DCB. 又∵AB∥DC， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠ABC=90°. ∴▱ABCD是矩形. 思考与探索 2. 我们知道，当一个平行四边形框架扭动成矩形时，它的两条对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ B A D C O 已知：如图，在▱ABCD中，AC=DB. 求证：▱ABCD是矩形. 证法2：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD. ∵AC=DB， ∴OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB. 又∵∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠OBA+∠OBC=90°. 即∠ABC=90°. ∴▱ABCD是矩形. 新知归纳 三个角是直角的四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. B A D C O 符号语言： ∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形. ∵AC=DB， ∴▱ABCD是矩形. 新知归纳 A B C D 四边形ABCD 有三个角是直角 B D ▱ABCD A C B A D C 矩形ABCD 有一个角是直角 对角线相等 判断一个四边形是矩形有哪些方法？ 对角线相等的四边形是矩形吗？ 讨论与交流 对角线相等的四边形不是矩形. 10 怎样检验木工做成的窗框是不是矩形？说说你的想法. 一般有以下三种方法: 1. 先检验门框的两组对边是否分别相等，再检验其中的一个角是否是直角； 2. 先检验门框的两组对边是否分别相等，再检验两对对角的距离(对角线的长)是否相等； 3. 检验门框是否有3个角都是直角. 讨论与交流 11 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，给出下列条件: ①AB∥CD； ②AB=CD； ③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD. 请从这6个条件中选取3个，使四边形ABCD是矩形，并说明理由. ①②③ ①②④ ⑤⑥③ ⑤⑥④ ①⑤③ ①⑤④ ①⑥③ ①⑥④ 可以说明平行四边形的有: ①⑤ ①⑥ 讨论与交流 B A D C O ①② ⑤⑥ 12 例题讲解 例1　已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线. 求证：四边形DECF是矩形. E F D C A B 思考： 1.要证明四边形DECF是矩形有哪些方法？ 2.在△ABC中，由∠ACB＝90°，D是AB的中点，可以推出什么结论？ 3.由DE、DF分别平分∠BDC和∠ADC，你能想到什么？ 例题讲解 证明：∵∠ACB＝90°D是AB的中点， ∴DC＝AB＝DA＝DB． ∵DC＝DA ，DF平分∠ADC， ∴DF⊥AC， 即∠DFC＝90°． 同理∠DEC＝90°． ∴四边形DECF是矩形(三个角是直角的四边形是矩形)． 例1　已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线. 求证：四边形DECF是矩形. E F D C A B 变式1　如图，在△ABC中，点D在AB上，且AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BDC、∠ADC的平分线. 四边形FDEC是矩形吗？为什么？ 例题讲解 提示