选择性必修第一册 公式和结论-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选修一 （公式和结论检测） 一.空间向量与立体几何 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有____和____的量 零向量 模为____的向量 单位向量 模为____的向量 相等向量 方向____且模____的向量 相反向量 方向____且模____的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相____或____的向量 共面向量 __________于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 共线向量定理： (1) a∥b (b≠0) ⇔ 存在实数λ，使________． （2）证明空间三点P，A，B共线的方法：①________； ②____________ 共面向量定理： （1）向量p，a，b共面（a，b不共线）⇔ 存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝________． (2) 证明空间四点P，M，A，B共面的方法 ①____________； ②___________ ③________________________ （ 3. 空间直角坐标系 （1）坐标平面上点的特征： 轴：_________ 轴：_________ 轴：_________ 平面：_________ 平面：_________ 平面：_________ (2)、对称问题：设 关于轴对称: _________， 关于轴对称：_________, 关于轴对称：_________关于平面对称：_________ , 关于平面对称: _________ 关于平面对称：_________ (3)、中点坐标公式： 设，，则AB的中点M, _________， (4)、两点间的距离: , 则 = ___________________________ 4．确定平面的法向量的方法： （1）直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量． （2）待定系数法： 步骤： ①__________________ ②找出(求出)平面内的两个_________的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)； ③根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组______ ④解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． 5.空间向量的坐标运算： 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则： （1）a＋b＝__________________ （2）．a－b＝__________________ （3）．λa＝__________________ (4）．|a|＝＝__________________ （5）．a·b ＝ __________________= __________________ （6）．cos〈a，b〉＝_________＝__________________ （7）a∥b ⇔ _________ ⇔ ___________________________λ∈R)； （8）a⊥b ⇔ _________ ⇔ ___________________________ 6.空间向量在立体几何中的应用 设直线 l ，m 的方向向量分别为 a ，b ，平面 α，β 的法向量分别为 u ，v ，则 线线平行 l∥m⇒a∥b⇔a＝kb ，k∈R 线面平行 l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0 面面平行 α∥β⇒u∥v⇔u＝kv ，k∈R 线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0 线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku ，k∈R 面面垂直 α⊥β⇔________ 线线夹角 l ，m 的夹角为 θ ，cos θ＝__________ 线面夹角 l ，α 夹角为 θ ，__________ 面面夹角 α，β 的夹角为 θ ，__________ 点面距离 Pα，Aα, 则点P到面α的距离 d=_______________=_______________ 点线距离 Pl，Al, l0是 l 的单位方向向量，则P到 l的距离 ： =__________ 注意： ①线线夹角=_______________；两向量的夹角为[0，π] ②线面角=_______________；两向量的夹角为[0，π] ③二面角的范围为=_______________，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角。 二.直线与圆 1. 直线的倾斜角的范围：=_______________ 2. 斜率公式：k =____ =______ =_______（(m,n)为直线方向向量的坐标） 3. 直线方程的五种形式 点斜式