追梦专项总结突破卷(三)生活中的轴对称-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年七年级下册数学（北师大版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(三) 生活中的轴对称 类型一　 作图问题 1. 在植树节活动中,两个班的学生分别在 M,N 两处参加植树劳 动,现要在道路 AB,AC 的交叉区域内设一个茶水供应点 P,使 P 到两条道路的距离相等,且使 PM = PN,请同学们用圆规、直尺 在图中画出供应点 P 的位置,保留画图痕迹,不写作法. 2. 如图,在所给网格中(每小格均为边长是 1 的正方形),按下列 要求画图: (1)画出格点△ABC(顶点均在网格交点上) 关于直线 l 对称 的△A1B1C1; (2)在直线 l 上画出点 Q,使 QB+QC 的值最小(保留画图痕迹, 不写作法) . 类型二　 等腰三角形的分类讨论 3. 已知等腰三角形 ABC 的周长为 20 cm,BC = 8 cm,则 AB 的长度 是(　 　 ) A. 8 cm B. 6 cm C. 8 cm 或 6 cm D. 8 cm 或 6 cm 或 4 cm 4. 等腰三角形中,一个角为 70°,则这个等腰三角形的顶角的度数 为(　 　 ) A. 110° B. 40° C. 40°或 70° D. 55° 类型三　 等腰三角形的“三线合一” 5. 如图,已知△ABC,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,EF 垂直平 分 AC,分别交 AC, AD, AB 于点 E, M, F. 若 ∠CAD = 20°, 求 ∠MCD 的度数. 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD=DB=BC,DE⊥AB 于点 E,若 CD = 4,且△BDC 的周长为 24,求 AE 的长. 类型四　 折叠问题 7. 如图,小雨要用一个长方形纸片 ABCD 折叠一个小兔子,第一步 沿 OG 折叠,使点 B 落到 CD 边上的点 B′处,若∠GB′C′= 35°,则 ∠BOG= (　 　 ) A. 65° B. 62. 5° C. 55° D. 52. 5° 第 7 题图 　 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,M 是边 BC 上一点,将△ABC 沿 AM 折叠,点 B 恰好能与 AC 的中点 D 重合,若 AB= 6,则 M 点到 AB 的距离是(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图,在△ABC 中,∠B= 42°,∠C= 68°,点 E 为线段 AB 的中点, 点 F 在边 AC 上,连接 EF,沿 EF 将△AEF 折叠得到△PEF. (1)如图①,当点 P 落在 BC 上时,求∠AEP 的度数; (2)如图②,当 PF⊥AC 时,求∠BEP 的度数. 图① 　 　 　 　 　 图② 类型五　 最短路径问题 10. 如图,直线 l 是一条河,欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站, 向 P,Q 两地供水. 现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设 的管道,则铺设的管道最短的是(　 　 ) A. B. C. D. 第 10 题图 　 　 　 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,以 AC 为底边在△ABC 外作等 腰△ACD,过点 D 作∠ADC 的平分线分别交 AB,AC 于点 E,F. 若 AC= 12,BC= 5,△ABC 的周长为 30,点 P 是直线 DE 上的一 个动点,则△PBC 周长的最小值为(　 　 ) A. 15 B. 17 C. 18 D. 20 ·53· 概率初步 类型一　 面积问题 1. 如图,这是小明训练飞镖的木板,由除颜色外都相同的小正方形 (小正方形的边长为 1)组成. 小明站在距木板 3 米的地方,将一 个飞镖随机地投向该木板(飞镖落在木板上),则飞镖落在阴影 部分的概率是(　 　 ) A. 1 5 B. 2 5 C. 1 3 D. 1 4 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图是一个可以自由转动的转盘,转动转盘,当指针停止转动 时,指针落在红色区域的概率是(　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 3. 有一类随机事件概率的计算方法:设试验结果落在某个区域 S 中的每一点的机会均等,用 A 表示事件“试验结果落在 S 中的 一个小区域 M 中”,那么事件 A 发生的概率 P(A) = M 的面积 S 的面积 . 如图一块边长为 30cm 的正方形飞镖游戏板上画有半径分别为 5 cm、8 cm、12 cm 的 3 个同心圆,假设飞镖投在游戏板上的每一 点的机会均等(若投中圆的边界或没有投中游戏板,则重投 1 次),任意投掷飞镖 1 次,求下列事件发生的概率: (1)飞镖投中灰色小圆; (2)飞镖投中黑色圆环. 类型二　 摸球问题 4. 一个不透明的袋子中装有 4 个黑球,1 个白球,每个球除颜色外 都相同,从中任意摸出 1 个球,则下列叙述正确的是(　 　 ) A. 摸到黑球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 到黑球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到黑球比摸到白球的可能性大 5. 一个不透明的袋子中装有 6 个小球,其中 2 个红球、4 个黑球, 这些小球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一个小球,则 摸出的小球是红球的概率是(　 　 ) A. 2 3 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 6 6. 甲袋中有红球 8 个、白球 5 个和黑球 12 个;乙袋中有红球 18 个、白球 9 个和黑球 23 个. (每个球除颜色外都相同) (1)若从中任意摸出一个球是红球,选哪袋成功的机会大? 请 说明理由; (2)“从乙袋中取出 10 个红球后,乙袋中的红球个数和甲袋中 红球个数一样多,所以此时若从中任意摸出一个球是红球,选 甲、乙两袋成功的机会相同” . 你认为这种说法正确吗? 为 什么? 类型三　 游戏的公平性 7. 一个不透明的箱子中放有红色、黄色、黑色三种小球,三个人先 后去摸球,一人摸一次,一次摸出一个小球,摸出后放回,摸出红 色、黄色小球得 0 分,摸出黑色小球得 1 分,得分高者获胜,则这 个游戏(　 　 ) A. 公平 B. 不公平 C. 先摸者赢的可能性大 D. 后摸者赢的可能性大 8. 甲、乙两人玩扑克牌游戏,他们准备了 13 张从 A 到 K 的牌,并规 定甲抽到 7 至 K 的牌,算甲胜;若抽到的是 7 以下的牌,则算乙 胜. 这种游戏对甲、乙来说　 　 　 　 . (填“公平”或“不公平”) 9. 学校举办了文艺汇演活动,小玉和小露都想去当节目主持人,但 现在只有一个名额,小露设计了一个游戏,她将转盘(均质的) 均分成 6 份,并依次写到 1,2,3,4,5,6 六个数字,如图所示,游 戏规定:随意转动转盘,转盘停止后,若指针指到的数字是 2 的 倍数,则小露去;若指针指到的数字是 3 的倍数,则小玉去. (1)该游戏是否公平? 为什么? 请说明理由; (2)若该游戏公平,请你设计一个有利于小玉获胜的游戏规则, 若该游戏不公平,你能将这个游戏改进后,使得游戏公平吗? 请 写出你的游戏规则,并说明理由. ·63· EB,AC = BD 时,△ACB≌△BDE,这时 E 在 A 点未动,因此时间为 0 秒,不合题意,舍 去;④当 E 在 BN 上,AB = EB,AC = BD 时, △ACB≌△BDE,所以 AE = 8 + 8 = 16( cm) , 点 E 的运动时间为 16÷2 = 8(秒) . 8. 解:(1)因为 BD⊥直线 m,CE⊥直线 m,所以 ∠BDA= ∠CEA = 90°. 因为∠BAC = 90°,所以 ∠BAD+∠CAE = 90°,∠BAD+∠ABD = 90°,所 以∠CAE = ∠ABD. 因为在 △ADB 和 △CEA 中,∠ABD = ∠CAE,∠BDA = ∠CEA,AB = AC, 所以△ADB≌△CEA(AAS) . (2)设∠BDA = ∠BAC =α,所以∠DBA+∠BAD = ∠BAD + ∠CAE = 180° - α, 所以 ∠CAE = ∠ABD. 因为在△ADB 和△CEA 中, ∠ABD = ∠CAE,∠BDA = ∠CEA,AB = AC,所以△ADB ≌△CEA(AAS),所以 AE = BD,AD = CE,所以 DE=AE+AD=BD+CE. 9. 解:(1)90　 【解析】因为∠DAE = ∠BAC,所以 ∠DAE- ∠DAC = ∠BAC - ∠DAC,即 ∠BAD = ∠CAE. 在 △ABD 和 △ACE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { . 所以△ABD≌△ACE(SAS), 所以∠ACE= ∠ABC,又因为∠BAC = 90°,AB = AC,所以∠ABC = ∠ACB = 45°,所以∠ACE = ∠ACB= 45°,所以 ∠BCE = ∠ACE + ∠ACB = 90°. ( 2 ) ① 因为 ∠BAC = ∠DAE, 所以 ∠BAC - ∠DAC= ∠DAE-∠DAC,即∠BAD = ∠CAE,又 因为 AB = AC,AD = AE,所以△ABD≌ △ACE (SAS) . ②α+β = 180°,理由:因为△ABD≌△ACE,所以 ∠B=∠ACE,因为∠BCE= ∠ACE+∠ACB =β,所 以∠B+∠ACB=β,因为 α+∠B+∠ACB= 180°,所 以 α+β=180°. ③当点 D 在 BC 上时,α+β = 180°,当点 D 在 BC 的反向延长线上时,α=β. 【解析】由②知,当点 D 在线段 BC 上时,α+β = 180°. 如图 1,当点 D 在 BC 延长线上时 α+β = 180°,由①同理可得△ABD≌ △ACE,所以 ∠ABD= ∠ACE. 因为∠BAC+∠ABD+∠BCA = 180°,所以 ∠BAC + ∠BCE = ∠BAC + ∠BCA + ∠ACE= 180°,所以 α+β= 180°. 如图 2,当点 D 在 BC 的反向延长线上时,α = β. 由①同理可 得△ADB≌△AEC,所以∠ABD = ∠ACE,因为 ∠ABD = 180° - ( 180° - ∠BAC + ∠ACB ) = ∠BAC+∠ACB,∠ACE = ∠BCE+∠ACB,所以 ∠BAC= ∠BCE,即 α=β. 图 1 　 　 　 　 图 2 追梦专项总结突破卷(三) 生活中的轴对称 1. 解:∠BAC 的平分线和 MN 的垂直平分线的交 点 P 即为所求,如图: 2. 解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求; (2)如图,点 Q 即为所求. 3. D　 【解析】 (1)当 BC = 8cm 为底边时,AB 为 腰,由等腰三角形的性质,得 AB = 1 2 ×(20-8) = 6(cm);(2)当 BC = 8cm 为腰时,①若 AB 为 腰,则 BC=AB = 8cm;②若 AB 为底,则 AB = 20- 2BC=4cm.故选 D. 4. C　 【解析】①70°是底角,则顶角为:180°-70° ×2 = 40°;②70°为顶角;综上所述,顶角的度数 为 40°或 70°. 故选 C. 5. 解:因为 AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,所 以 AD⊥BC. 因为∠CAD = 20°,所以∠ACD = 70°. 因为 EF 垂直平分 AC,所以 AM = CM, 所以∠ACM= ∠CAD= 20°,所以∠MCD= 50°. 6. 解:因为 AD = DB = BC,CD = 4,且△BDC 的周 长为 24,所以 AD=DB=BC = 1 2 ×(24-4)= 10, 所以 AC = 14. 因为 AB = AC, 所以 AB = 14. 因为 AD=DB,DE⊥AB,所以 AE =BE = 1 2 AB = 7. 7. B 8. B　 【解析】过点 M 作 ME⊥AC 于 E,过点 M 作 MF⊥AB 于 F,由折叠的性质可得:∠BAM = ∠DAM,AD = AB = 6,所以 MF = ME. 因为 D 是 AC 的中点,所以 AC = 2AD = 12. 因为 S△BAC =S△BAM+S△CAM,即 1 2 AB·AC = 1 2 AB·MF+ 1 2 AC·ME,所以 1 2 ×6×12 = 1 2 ×MF× 6+ 1 2 × 12× MF,解得 MF= 4,所以点 M 到 AB 的距离是 4. 故选 B. 9. 解:( 1) 因为△AEF 沿 EF 折叠得到△PEF, 所以△AEF≌△PEF,所以 AE = PE. 因为点 E 为线段 AB 的中点,所以 AE =PE =BE,所以在 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 21 页 △BEP 中, ∠B = ∠EPB = 42°,所以∠AEP = 180°-(180°-42°-42°)= 84°; (2) 由( 1) 得△AEF≌ △PEF,又因为 PF⊥ AC,所以∠AFP= 90°,所以∠AFE = ∠PFE = 1 2 ∠AFP = 45°,在 △ABC 中, ∠B = 42°, ∠C = 68°,则 ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 70°, 在 △AEF 中, ∠AEF = ∠PEF = 180° - ∠BAC - ∠AFE = 65°, 所以∠BEP = 180° - ∠AEF - ∠PEF= 50°. 10. B 11. C　 【解析】连接 PA、PB、PC,由题意,得 ED 垂直平分 AC,所以点 A 与点 C 关于 DE 对 称,所以 PC=PA,当点 P 与点 E 重合时,PC+ PB=PA+PB = AB,此时△PBC 的周长最小. 因为 AC = 12,BC = 5,△ABC 的周长为 30, 所以 AB = 13,所以△PBC 周长的最小值为 AB+BC= 13+5 = 18. 故选 C. 概率初步 1. D　 【解析】因为总面积为 4×4 = 16,其中阴影 部分面积为 4×3- 1 2 ×(1×2+2×3+2×4)= 4,所 以飞镖落在阴影部分的概率是 4 16 = 1 4 . 故选 D. 2. B 3. 解: ( 1) 因为 S灰色小圆 = π · 52 = 25π ( cm2 ), S正方形 = 302 = 900( cm2 ),所以 P(飞镖投中灰 色小圆)= 25π 900 = π 36 ; (2)因为 S黑色圆环 = π×122 -π×82 = 80π( cm2 ), 所以 P(飞镖投中黑色圆环)= 80π 900 = 4π 45 . 4. D　 5. B 6. 解: ( 1 ) 从甲袋 中 摸 到 红 球 的 可 能 性 为 8 8+5+12 = 8 25 ,从乙袋中摸到红球的可能性为 18 18+9+23 = 18 50 = 9 25 ,因为 8 25 < 9 25 ,故从中任意摸 出一个球是红球,选乙袋成功的机会大; (2) 不正确. 理由:从乙袋中取出 10 个红球 后,从乙袋中摸到红球的可能性为 8 8+9+23 = 1 5 ,因为 8 25 ≠ 1 5 ,所以选甲、乙两袋成功的机会 不相同,故说法不正确. 7. A 8. 不公平　 【解析】P(甲胜)= 7 13 ,P(乙胜)= 6 13 , 因为 7 13 ≠ 6 13 ,故这种游戏对甲、乙来说不公 平. 9. 解:(1)这个游戏不公平,理由如下:因为一共 有 6 个数字,转到每个数字的概率一样,所以 转到每个数字的概率为 1 6 . 因为这 6 个数字中 是 2 的倍数的数字有 2,4,6 共 3 个,是 3 的倍 数的数字有 3,6 共 2 个,所以小露去的概率为 3 6 = 1 2 ,小玉去的概率为 2 6 = 1 3 . 因为 1 2 > 1 3 ,所 以这个游戏不公平; (2)由(1)可知这个游戏不公平. 设计规则如 下:随意转动转盘,转盘停止后,若指针指到 的数字是奇数,则小露去;若指针指到的数字 是偶数,则小玉去. 因为转到每个数字的概率 为 1 6 ,奇数和偶数的个数分别为 3 个、3 个,所 以小玉和小露去的概率都为 3 6 = 1 2 ,所以此规 则下,游戏是公平的. 追梦期末达标测试卷(一) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D A A B D D C B 1. B　 2. C　 3. D 4. A　 【解析】B. 因为∠3 = ∠4,所以 AB∥CD(内 错角相等,两直线平行);C. 因为∠3 + ∠5 = 180°,所以 AB∥CD(同旁内角互补,两直线平 行);D. 因为∠2 = ∠3,所以 AB∥CD(同位角 相等,两直线平行) . 故选 A. 5. A　 【解析】因为 | a-7 | + 　 2b-6 = 0,所以 a-7 = 0,2b-6 = 0,解得 a = 7,b = 3. 因为 a,b 是等 腰三角形的两边,所以当 a= 7 为腰时,三边分 别为 7,7,3,符合三角形三边关系,此时三角 形的周长 7+7+3 = 17;当 b = 3 为腰时,三边为 3,3,7,由于 3+ 3< 7,故不符合三角形的三边 关系. 所以三角形的周长为 17. 故选 A. 6. B　 【解析】原式 = 3ax2 -ax+3bx-b = 3ax2 -(a- 3b)x-b. 因为(ax+b)(3x-1)的积中 x2 的系数 为-3,x 的系数为 7,所以 3a = -3,-(a-3b)= 7,解得 a= -1,b= 2. 故选 B. 7. D 8. D　 【解析】同一时刻太阳光是平行的,弧 AB 所对圆心角与 θ 角是相等的内错角,题目中运 用到的平行线相关定理:两直线平行,内错角 相等,故选 D. 9. C　 【解析】因为 a∥b,所以∠2 = ∠3. 又因为∠1 = ∠4,所以∠3 = 180°-(180°-∠A-∠4)= 115°,所 以∠2 = 115°. 故选 C. 10. B　 【解析】连接 BP. 因为 CF 平分∠BCE 交 AD 于点 F,所以∠ECP = ∠BCP. 因为 CE = CB,CP = CP,所以△ECP≌BCP(SAS),所以 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 22 页