追梦专项总结突破卷(二)变量之间的关系-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年七年级下册数学（北师大版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(二) 变量之间的关系 类型一　 用表格表示变量之间的关系 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1.某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表:则下列叙述错误的 是(　 　 ) 用电量(千瓦·时) 1 2 3 4 … 应缴电费(元) 0. 55 1. 10 1. 65 2. 20 … A. 用电量每增加 1 千瓦·时,电费增加 0. 55 元 B. 若用电量为 8 千瓦·时,则应缴电费 4. 4 元 C. 若应缴电费为 2. 75 元,则用电量为 6 千瓦·时 D. 应缴电费随用电量的增加而增加 2.小丽的奶奶要去市场卖自己地里产的黄豆,为避免奶奶算错钱 数,她帮奶奶制作了一个表格供她参考,豆子的总价 y(元)与所 卖豆子的质量 x(千克)之间的关系如表: x(千克) 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 … y(元) 3 6 9 12 15 18 … (1)上表反映了哪两个变量之间的关系? 哪个是自变量? 哪个是 因变量? (2)1 千克豆子多少元? 10. 5 元能买多少千克豆子? (3)如果要买 4 千克豆子带 25 元够不够? 类型二　 用关系式表示变量之间的关系 3.我们要节约用水,平时要关好水龙头. 没有关好水龙头,每滴水约 0. 05 毫升,每分钟滴 60 滴.如果小明忘记关水龙头,则 x 分钟后, 小明浪费的水 y(毫升)与时间 x(分钟)之间的关系是(　 　 ) A. y= 60x B. y= 3x C. y= 0. 05x D. y= 0. 05x+60 4.一根弹簧原长 13 厘米,被挂物体质量要小于 16 千克,并且每挂 1 千克就伸长 0. 5 厘米,则当被挂物体质量为 10 千克,弹簧长度为 　 　 　 　 厘米,被挂物体 x(千克)与弹簧长度 y(厘米)的关系式 为　 　 　 　 . (不考虑 x 的取值范围) 类型三　 用图象表示变量之间的关系 5.赵悦同学骑自行车上学,一开始以某一速度行进,途中车子发生 故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课时间,于是就加 快了车速,如图所示的图象中( s 为距离,t 为时间),符合以上的 情况的是(　 　 ) A. B. C. D. 6.以下四种情境分别描述了两个变量之间的关系:甲:乐乐投篮时, 投出去的篮球的高度与时间的关系;乙:乐乐去文具店购买签字 笔,支付费用与购买签字笔支数的关系;丙:一长方形水池里还有 一部分水,再打开水管匀速往里注水,注水时间和水池中水面的 高度之间的关系;丁:乐乐去奶奶家吃饭,饭后,按原速度原路返 回,乐乐离家的距离与时间的关系. 用下面的图象刻画上述情境, 排序正确的是(　 　 ) A. ①②③④ B. ①③④② C. ①④②③ D. ①③②④ 7.如图,图象(折线 OEFPMN)描述了某汽车在行驶过程中速度与时 间的关系,下列说法中错误的是(　 　 ) A. 第 3 分时汽车的速度是 40 千米 /时 B. 第 12 分时汽车的速度是 0 千米 /时 C. 从第 3 分到第 6 分,汽车行驶了 120 千米 D. 从第 9 分到第 12 分,汽车的速度从 60 千米 /时减少到 0 千 米 /时 8.小明和爷爷一起到一条笔直的跑道上锻炼身体,到达起点后小明 做了一会准备运动,爷爷先跑. 当小明出发时,爷爷已经距起点 200 米了.他们距起点的距离 s(米)与小明出发的时间 t(秒)之间 的关系如图所示(不完整) .根据图中给出的信息,解答下列问题: (1)在上述变化过程中,自变量是　 　 　 　 , 因变量是　 　 　 　 ; (2)爷爷的速度为　 　 　 　 米 /秒; (3)当小明第一次追上爷爷时,他跑了　 　 秒; (4)小明中途休息了 90 秒后以原来速度的 1 2 继续前进,结果他 与爷爷同时到达终点,则起点与终点间的距离为　 　 　 　 米. 9. 飞机飞行跟海拔高度和相应高度处气温有密切的联系. 下面表 格是某处当日海拔高度 h(千米) 与相应高度处气温 t(℃ ) 的 关系: 海拔高度 h(千米) 0 1 2 3 4 5 … 气温 t(℃) 20 14 8 2 -4 -10 … 根据上表,回答以下问题: (1)由上表可知海拔 5 千米的上空气温约为　 　 　 　 ℃ ; 某日飞机在航行过程中玻璃爆裂,立刻降落. 飞机下降过程中海 拔高度与玻璃爆裂后立即返回地面所用的时间关系图如下. 根 据图象回答以下问题: (2)挡风玻璃在高空爆裂时飞机所处的高度为　 　 　 　 千米, 返回地面用了　 　 　 　 分钟;飞机在 2 千米高空水平面上大约 盘旋了　 　 　 　 分钟; (3)挡风玻璃在高空爆裂时,当时飞机所处高空的气温为多少? ·33· 三角形 类型一　 三角形中高线、中线、角平分线的应用 1. 如图, AD, BE, CF 是 △ABC 的三条中线, 以下结论正确的 是(　 　 ) A. BC= 2AD B. AF= 1 2 AB C. AD=CD D. BE=CF 第 1 题图 　 　 第 2 题图 　 　 第 3 题图 2. 如图所示,BD 是△ABC 的中线,AD = 2,AB+BC = 5,则△ABC 的 周长是　 　 　 　 . 3. 如图,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,若∠ABC = 80°,则 ∠DBC= 　 　 　 　 　 　 　 . 4. 如图 1,在△ABC 中,CD 是高,若∠A= ∠DCB. (1)试判断△ABC 的形状,并说明理由; (2)如图 2,若 AE 是△ABC 的角平分线,AE、CD 相交于点 F. 试 说明:∠CFE= ∠CEF. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 类型二　 三角形全等的性质及判定 5. 如图,△ABC≌△DEF,BE= 4,AE= 1,则 DE 的长是(　 　 ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 第 5 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 6. 如图,D 在 AB 上,E 在 AC 上,且∠B = ∠C,则在下列条件中,无 法判定△ABE≌△ACD 的是(　 　 ) A. AD=AE B. AB=AC C. BE=CD D. ∠AEB= ∠ADC 7. 如图,CA⊥AB,垂足为点 A,AB= 8 cm,AC= 4 cm,射线 BM⊥AB, 垂足为点 B,一动点 E 从 A 点出发,以 2 cm / s 的速度沿射线 AN 运动,点 D 为射线 BM 上一动点,随着 E 点运动而运动,且始终 保持 ED=CB,当点 E 运动　 　 　 　 秒时,点 B、D、E 组成的三角 形与点 A、B、C 组成的三角形全等. 8. 探究:如图①,在△ABC 中,∠BAC= 90°,AB=AC,直线 m 经过点 A,BD⊥m 于点 D,CE⊥m 于点 E,求证:△ABD≌△CAE. 应用:如图②,在△ABC 中,AB=AC,D、A、E 三点都在直线 m 上, 并且有∠BDA= ∠AEC= ∠BAC,试说明:DE=BD+CE. 图① 　 　 图② 9. 在△ABC 中,AB=AC,点 D 是直线 BC 上一点(不与 B、C 重合), 以 AD 为一边在 AD 的右侧作 △ADE, 使 AD = AE, ∠DAE = ∠BAC,连接 CE. (1)如图 1,当点 D 在线段 BC 上,若∠BAC = 90°,则∠BCE = 　 　 　 　 度. (2)如图 2,当点 D 在线段 BC 上移动,设∠BAC=α,∠BCE=β. ①试说明:△ABD≌△ACE; ②α、β 之间有怎样的数量关系? 请说明理由; ③当点 D 在直线 BC 上移动,则 α、β 之间有怎样的数量关系? 请直接写出你的结论. (考虑问题要全面哦!) 图 1 图 2 备用图 备用图 ·43· 以∠2 = ∠DAE. 因为四边形 ABCD 为长方 形,所 以 ∠DAB = 90°, 所 以 ∠DAE = 90° - ∠EAB= 56°,所以∠2 = 56°. 故选 C. 14. C　 【解析】延长 DC 交 AB 与 G,延长 CD 交 EF 于 H. 在直角△BGC 中,∠BGH = 90°-α. 因为 β = ∠EHD+γ,所以∠EHD = β-γ. 因为 AB∥EF,所以∠BGH= ∠EHD,所以 90°-α= β -γ,即 α+β-γ= 90°. 故选 C. 15. C　 【解析】连接 AC,设∠EAF = x°,∠ECF = y°,则 ∠EAB = 3x°,∠ECD = 3y°,因为 AB∥ CD,所以∠BAC+∠ACD = 180°,所以∠CAE+ 3x°+∠ACE+ 3y° = 180°,所以∠CAE+∠ACE = 180°-(3x° + 3y°),∠FAC+ ∠FCA = 180° - ( 2x° + 2y°), 所以∠E = 180° - ( ∠CAE + ∠ACE)= 180°-[180°-(3x°+ 3y°)] = 3x° + 3y° = 3 ( x° + y°), ∠F = 180° - ( ∠FAC + ∠FCA)= 180°-[180°-(2x°+ 2y°)] = 2x° + 2y°= 2(x°+y°),所以∠F = 2 3 ∠E,因为∠E = 66°,所以∠F= 44°. 故选 C. 16. 85° 17. 解:(1)∠BDF = ∠B+∠F;理由如下:过点 D 向右作 CD∥AB,所以∠B= ∠BDC. 因为 AB∥ EF, 所以 CD ∥ EF, 所以∠CDF = ∠F, 因为∠BDF = ∠BDC + ∠CDF,所以∠BDF = ∠B+∠F; (2)∠B+∠BDF+∠F= 360°;理由如下:过点 D 向左作 CD∥AB. 因为 AB∥EF,所以 AB∥ CD∥EF,所以∠B + ∠BDC = 180°, ∠CDF + ∠F = 180°, 所以∠B + ∠BDF + ∠F = ∠B + ∠BDC+∠CDF+∠F= 360°; (3)120　 【解析】由(2)可知:∠BCD+∠ABC +∠BAE = 360°. 因为 BA⊥AE,所以∠BAE = 90°,所以∠ABC = 360° - ∠BAE - ∠BCD = 120°. 追梦专项总结突破卷(二) 变量之间的关系 1. C　 【解析】因为用电量每增加 1 千瓦·时,电 费增加 0. 55 元;所以若所缴电费为 2. 75 元, 则用电量为 2. 75÷0. 55 = 5(千瓦·时) . 故选 C. 2. 解:(1)反映了豆子的总价 y(元)与所卖豆子 的质量 x(千克) 这两个变量之间的关系,其 中,所卖的豆子的质量为 x 是自变量,豆子的 总价 y 是因变量. (2)由上表可知,当 x = 1 时,y = 6,由上表可 知,y 与 x 之间的关系为 y= 6x. 当 y= 10. 5 时, x= 1. 75. (3)当 x = 4 时,y = 6x = 24. 因为 24< 25,所以 25 元够用. 3. B 4. 18　 y= 13+0. 5x　 【解析】13+10×0. 5 = 18(厘 米),y= 13+0. 5x. 5. B　 6. C 7. C　 【解析】6 -3 60 ×40 = 2(千米),故 C 错误. 故 选 C. 8. 解:(1) 小明出发的时间 　 距起点的距离 　 (2)2　 (3)50 (4)720　 【解析】由(3)可知小明休息前速度为: 300÷50=6(米 / 秒),420÷6= 70(秒). 即 D 点对应 的时间为70,所以E 点对应的时间为70+90=160 (秒),又因为小明休息后速度为原来速度 1 2 ,即 休息后速度为6× 1 2 =3(米 / 秒).小明休息后开始 跑步时,距离爷爷:160×2+200=520(米),520-420 =100(米),又因为他们同时到达终点:100÷(3- 2)= 100(秒),所以(100+160)×2+200=720(米). 9. 解:(1) -10 (2)9. 8　 20　 2 (3)当日气温 t 与海拔高度 h 的关系式为 t = 20-6h,当 h = 9. 8 时, t = 20 - 6 × 9. 8 = - 38. 8 (℃ ),故当时飞机所处高空的气温为 - 38. 8℃ . 三角形 1. B 2. 9　 【解析】因为 BD 是△ABC 的中线,所以 AD =DC= 2,△ABC 的周长 = AC+AB+BC = 2+2+5 = 9. 3. 40° 4. 解:( 1) △ABC 是直角三角形. 理由:因为在 △ABC 中,CD 是高,∠A = ∠DCB,所以∠CDA = 90°, 所以∠A + ∠ACD = 90°, 所以∠DCB + ∠ACD = 90°,所以∠ACB = 90°,所以△ABC 是 直角三角形. ( 2 ) 因为 AE 是 角 平 分 线, 所以∠CAE = ∠BAE. 因为∠FDA = 90°, ∠ACE = 90°, 所以∠DAF + ∠AFD = 90°, ∠CAE + ∠CEA = 90°, 所以∠AFD = ∠CEA. 因为∠AFD = ∠CFE, 所以∠CFE = ∠CEA, 所以∠CFE = ∠CEF. 5. A　 【解析】因为△ABC≌△DEF,所以 AB = DE,因为 AE= 1,BE= 4,所以 DE=AB=AE+BE = 1+4 = 5. 故选 A. 6. D 7. 2 或 6 或 8　 【解析】①当 E 在线段 AB 上,AC = BE,AB = BD 时,△ACB≌△BED,因为 AC = 4cm,所 以 BE = 4cm,所 以 AE = 8 - 4 = 4 ( cm) ,所 以 点 E 的 运 动 时 间 为 4 ÷ 2 = 2 (秒) ;② 当 E 在 BN 上, AC = BE, AB = BD 时,因为 AC = 4cm,所以 BE = 4cm,所以 AE = 8+4 = 12 ( cm) ,所以点 E 的运动时间为 12÷ 2 = 6(秒) ;③当 E 在线段 AB 上,AB = 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 20 页 EB,AC = BD 时,△ACB≌△BDE,这时 E 在 A 点未动,因此时间为 0 秒,不合题意,舍 去;④当 E 在 BN 上,AB = EB,AC = BD 时, △ACB≌△BDE,所以 AE = 8 + 8 = 16( cm) , 点 E 的运动时间为 16÷2 = 8(秒) . 8. 解:(1)因为 BD⊥直线 m,CE⊥直线 m,所以 ∠BDA= ∠CEA = 90°. 因为∠BAC = 90°,所以 ∠BAD+∠CAE = 90°,∠BAD+∠ABD = 90°,所 以∠CAE = ∠ABD. 因为在 △ADB 和 △CEA 中,∠ABD = ∠CAE,∠BDA = ∠CEA,AB = AC, 所以△ADB≌△CEA(AAS) . (2)设∠BDA = ∠BAC =α,所以∠DBA+∠BAD = ∠BAD + ∠CAE = 180° - α, 所以 ∠CAE = ∠ABD. 因为在△ADB 和△CEA 中, ∠ABD = ∠CAE,∠BDA = ∠CEA,AB = AC,所以△ADB ≌△CEA(AAS),所以 AE = BD,AD = CE,所以 DE=AE+AD=BD+CE. 9. 解:(1)90　 【解析】因为∠DAE = ∠BAC,所以 ∠DAE- ∠DAC = ∠BAC - ∠DAC,即 ∠BAD = ∠CAE. 在 △ABD 和 △ACE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { . 所以△ABD≌△ACE(SAS), 所以∠ACE= ∠ABC,又因为∠BAC = 90°,AB = AC,所以∠ABC = ∠ACB = 45°,所以∠ACE = ∠ACB= 45°,所以 ∠BCE = ∠ACE + ∠ACB = 90°. ( 2 ) ① 因为 ∠BAC = ∠DAE, 所以 ∠BAC - ∠DAC= ∠DAE-∠DAC,即∠BAD = ∠CAE,又 因为 AB = AC,AD = AE,所以△ABD≌ △ACE (SAS) . ②α+β = 180°,理由:因为△ABD≌△ACE,所以 ∠B=∠ACE,因为∠BCE= ∠ACE+∠ACB =β,所 以∠B+∠ACB=β,因为 α+∠B+∠ACB= 180°,所 以 α+β=180°. ③当点 D 在 BC 上时,α+β = 180°,当点 D 在 BC 的反向延长线上时,α=β. 【解析】由②知,当点 D 在线段 BC 上时,α+β = 180°. 如图 1,当点 D 在 BC 延长线上时 α+β = 180°,由①同理可得△ABD≌ △ACE,所以 ∠ABD= ∠ACE. 因为∠BAC+∠ABD+∠BCA = 180°,所以 ∠BAC + ∠BCE = ∠BAC + ∠BCA + ∠ACE= 180°,所以 α+β= 180°. 如图 2,当点 D 在 BC 的反向延长线上时,α = β. 由①同理可 得△ADB≌△AEC,所以∠ABD = ∠ACE,因为 ∠ABD = 180° - ( 180° - ∠BAC + ∠ACB ) = ∠BAC+∠ACB,∠ACE = ∠BCE+∠ACB,所以 ∠BAC= ∠BCE,即 α=β. 图 1 　 　 　 　 图 2 追梦专项总结突破卷(三) 生活中的轴对称 1. 解:∠BAC 的平分线和 MN 的垂直平分线的交 点 P 即为所求,如图: 2. 解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求; (2)如图,点 Q 即为所求. 3. D　 【解析】 (1)当 BC = 8cm 为底边时,AB 为 腰,由等腰三角形的性质,得 AB = 1 2 ×(20-8) = 6(cm);(2)当 BC = 8cm 为腰时,①若 AB 为 腰,则 BC=AB = 8cm;②若 AB 为底,则 AB = 20- 2BC=4cm.故选 D. 4. C　 【解析】①70°是底角,则顶角为:180°-70° ×2 = 40°;②70°为顶角;综上所述,顶角的度数 为 40°或 70°. 故选 C. 5. 解:因为 AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,所 以 AD⊥BC. 因为∠CAD = 20°,所以∠ACD = 70°. 因为 EF 垂直平分 AC,所以 AM = CM, 所以∠ACM= ∠CAD= 20°,所以∠MCD= 50°. 6. 解:因为 AD = DB = BC,CD = 4,且△BDC 的周 长为 24,所以 AD=DB=BC = 1 2 ×(24-4)= 10, 所以 AC = 14. 因为 AB = AC, 所以 AB = 14. 因为 AD=DB,DE⊥AB,所以 AE =BE = 1 2 AB = 7. 7. B 8. B　 【解析】过点 M 作 ME⊥AC 于 E,过点 M 作 MF⊥AB 于 F,由折叠的性质可得:∠BAM = ∠DAM,AD = AB = 6,所以 MF = ME. 因为 D 是 AC 的中点,所以 AC = 2AD = 12. 因为 S△BAC =S△BAM+S△CAM,即 1 2 AB·AC = 1 2 AB·MF+ 1 2 AC·ME,所以 1 2 ×6×12 = 1 2 ×MF× 6+ 1 2 × 12× MF,解得 MF= 4,所以点 M 到 AB 的距离是 4. 故选 B. 9. 解:( 1) 因为△AEF 沿 EF 折叠得到△PEF, 所以△AEF≌△PEF,所以 AE = PE. 因为点 E 为线段 AB 的中点,所以 AE =PE =BE,所以在 追梦之旅铺路卷·七年级下·BS·数学　 第 21 页