6.2.4向量的数量积（一）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4　向量的数量积(一) 我们在物理课中学过，力与物体在力的作用下产生的位移的乘积称为力对物体所做的功，如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F|N，小车在水平面上的位移s的大小为|s|m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝|F||s|cos θ. (1)显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ (2)给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方向；如果不能，说明理由. 以上问题中的功W由向量F与s的大小以及这两个向量方向的差异确定.一般地，给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量，这就是本节我们要学习的向量的数量积. 引入 a b 注意向量夹角范围是0≤θ≤π 所以求向量夹角时， 不要忽视向量方向 (1) (2) (3) 确定两向量的夹角，一般将两向量平移至共起点 注意:平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数,这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定.向量的数乘是实数与向量间的运算,其结果是一个向量,这个向量与原向量是共线向量. 题型一、向量的夹角 两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角. ∠AOB＝θ(0≤θ≤π) 反向 1.向量的夹角 (2)显然，当θ＝0时，a与b ； 当θ＝π时，a与b . 如果a与b的夹角是，我们说a与b ，记作 . 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0 同向 垂直 a⊥b 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 解 【例1】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 即与的夹角是120°. 答案　C 【训练1】　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析 如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角， 在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°， 所以∠BAD＝120°， |a||b| ≤ |a|2 题型二、向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝ ； (2)a⊥b⇔ ； (3)当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ， 特别地，a·a＝ 或|a|＝. (4)|a·b| |a|·|b|. |a|cosθ a·b＝0 －|a||b| (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 【例2】　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解 (1)∵与的夹角为60°. ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 运用a·b＝|a||b|cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. ·＝4×4×cos 135°＝－16， ·＝4×4×cos 135°＝－16. 答案　0　－16　－16 【训练2】　在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝______. 解析 由题意，得||＝4，||＝4，||＝4， 所以·＝4×4×cos 90°＝0， 1.通过学习平面向量数量积的概念及其几何意义，提升数学抽象素养.通过计算平面向量的数量积，培养数学运算素养. 2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆. a·b 题型二、向量的数量积的有关概念 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ， 我们把数量