课时检测训练34 数列的概念及简单表示法（word练习）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）

课时检测训练34　数列的概念及简单表示法 ➢对应学生用书P287 1.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是 （　　） A.an＝1－n B.an＝ C.an＝2n2－5n＋1 D.an＝ 解析　对于A，B选项，对应数列是递减数列.对于C选项，an＋1－an＝4n－3＞0，故数列是递增数列.对于D选项，由于a2＞a3，所以数列不是递增数列. 答案　C 2.已知数列1，，，，3，，…，，…则是这个数列的 （　　） A.第1 011项 B.第1 012项 C.第1 013项 D.第1 014项 解析　由数列1，，，，3，，…，，…可得an＝， 令an＝＝，解得n＝1 012，所以是这个数列的第1 012项. 答案　B 3.在数列中，a1＝3，an＋1＝an＋lg，则a10等于 （　　） A.4 B.3＋10lg 3 C.13 D.12＋2lg 3 解析　依题意，在数列中，a1＝3，an＋1＝an＋lg， 即an＋1－an＝lg＝lg－lg n， 所以a10＝a1＋＋＋…＋＝3＋lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋…＋lg 10－lg 9＝3－lg 1＋lg 10＝3＋1＝4. 答案　A 4.数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn.若{an}为递增数列，则λ的取值范围是 （　　） A.[1，＋∞） B. C.（－∞，1] D. 解析　因为数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn，且{an}为递增数列， 所以an＜an＋1对于∀n∈N*都成立， 所以n2－2λn＜（n＋1）2－2λ（n＋1）对于∀n∈N*都成立，即n2－2λn＜n2＋2n＋1－2λn－2λ， 所以2λ＜2n＋1对于∀n∈N*都成立，所以λ＜n＋对于∀n∈N*都成立， 所以λ＜1＋＝，即λ的取值范围是，故选D. 答案　D 5.（多选）已知数列满足a1＝1，an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1，则 （　　） A.a2＝1 B.＝ C.an＝ D.an＝ 解析　∵an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1， a1＝1，当n＝2时，a2＝a1＝1. 当n＞2时，∵an－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－2， 两式相减得an－an－1＝an－1，即an＝an－1， ∴＝，＝，…，＝，累乘得＝，∴an＝. ∴an＝故选AD. 答案　AD 6.数列满足a1＝，an＋1＝，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2021＋a2 022＝ （　　） A.2 022 B.2 020 C.2 022＋2 D.2 020＋2 解析　由题意，a1＝，a2＝＝＝2＋，a3＝＝－， a4＝＝＝2－，a5＝＝＝a1， 故{an}的周期为4.又a1＋a2＋a3＋a4＝＋2＋－＋2－＝4， 故a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2 021＋a2 022＝505（a1＋a2＋a3＋a4）＋a1＋a2＝2 022＋2. 答案　C 7.已知数列的前n项和Sn＝3n＋2 019，则的通项公式为　　　　.  解析　因为Sn＝3n＋2 019　①， 当n＝1时，a1＝S1＝31＋2 019＝2 022， 当n≥2时，Sn－1＝3n－1＋2 019　②， ①－②得an＝Sn－Sn－1＝3n＋2 019－＝3n－3n－1＝3×3n－1－3n－1＝2×3n－1， 经检验，当n＝1时，an＝2×3n－1不成立， 所以an＝ 答案　an＝ 8.已知数列的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 021＝　　　　.  解析　由题意3Sn＝2an－3n，则3Sn＋1＝2an＋1－3（n＋1）， 两式相减得3（Sn＋1－Sn）＝3an＋1＝2an＋1－2an－3，所以an＋1＋1＝－2（an＋1）. 又3S1＝3a1＝2a1－3，a1＝－3，所以{an＋1}是等比数列，公比为－2， an＋1＝（－2）n，所以a2 021＝（－2）2 021－1＝－22 021－1. 答案　－22 021－1 9.已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N＋），则数列{an}的最大项是第　　　　项.  解析　an＝＝， 当n＞5时，an＞0，且单调递减；当n≤5时，an＜0，且单调递减， ∴当n＝6时，an最大. 答案　6 10.已知Sn是数列{an}的前n项和，5Sn＝n（n＋4）. （1）求的通项公式； （2）设bn＝，求数列的前10项和，其中表示不超过x的最大整数，如＝0，＝2. 解　（1）∵5S1＝5，∴a1＝1.∵5Sn＝n（n＋4）， ∴5Sn－1＝（n＋3）（n≥2），两式相减可得an＝（n≥2）.又a1＝1，∴an＝. （2）由（1）知：bn＝，所以当n＝1，2，3时，1≤＜2，此时bn＝1；当n＝4，5时，2＜＜3，此时bn＝2；当n＝6，7，8时，3≤＜4，此时bn＝3；当n＝9，10时，4＜＜5，此时bn＝4，所以数列的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 11.已知数列的相邻两项an和an＋1恰是方程x2＋nx＋bn＝0的两个根，且a1＝10. （1）求b20的值； （2）记Sn为数列的前n项和，求S10. 解　（1）因为an和an＋1是方程x2＋nx＋bn＝0的两个根，由韦达定理可知an＋an＋1＝－n，anan＋1＝bn，因此－＝an＋2－an＝－－＝－1.所以a3－a1＝－1，a5－a3＝－1，a7－a5＝－1，…，a21－a19＝－1，由累加法得a21－a1＝－10.又因为a1＝10，所以a21＝0，因此b20＝a20a21＝0. （2）由a1＋a2＝－1，可知a2＝－1－a1＝－11，而数列的偶数项为公差为－1的等差数列，因此a2n＝－11－＝－n－10，因此Sn＝na2－＝，因此S10＝＝－155. 12.（多选）等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，＝，n∈N*，则下列说法正确的有 （　　） A.数列是递增数列 B.＝ C.＝ D.＝ 解析　＝＝＝2－，所以是递增数列，A选项正确. ＝＝＝＝， 所以＝＝，B选项正确. ＝＝，C选项错误. 当n＝1时，＝＝≠，D选项错误. 答案　AB 13.设数列的前n项和为Sn，若a1＝＝1，且Sn＋2＝Sn＋1＋an＋1＋（－1，则S50＝　　　　.  解析　依题意，Sn＋2－Sn＋1＝an＋1＋，an＋2＝an＋1＋. 当n为奇数时，an＋2－an＝2，故数列是首项为1，公差为2的等差数列； 当n为偶数时，an＋2－an＝0，故数列为常数列， 故S50＝＋（a2＋a4＋…＋a50）＝25＋×2＋2×25＝675. 答案　675 14.已知数列的前n项和为Sn＝. （1）求数列的通项公式； （2）令bn＝·an，试问：数列是否有最大项？若有，指出第几项最大；若没有，请说明理由. 解　（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n＋1， 所以an＝n＋1（n≥2）. 又当n＝1时，a1＝S1＝2也满足上式， 所以an＝n＋1. （2）由（1）知bn＝·， 当n≥2时，bn－1＝n，所以＝， 令＝1，得n＝9， 当n＜9时，＞1，即bn＞bn－1； 当n＝9时，＝1，即bn＝bn－1； 当n＞9时，＜1，即bn＜bn－1. 所以数列先增后减，有最大项且最大项为第8，9项. 学科网（北京）股份有限公司 $$