课时检测训练32 平面向量的数量积（word练习）-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）

课时检测训练32　平面向量的数量积 ➢对应学生用书P285 1.(2023·山东日照·三模)已知向量a＝(m＋1，m－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，1)，若(2a＋b)⊥c，则m＝(　　) A.　 B.3　　 　 C.　　 D.5 解析　由已知得2a＋b＝2(m＋1，m－1)＋(－1，m)＝(2m＋1，3m－2)， ∵(2a＋b)⊥c，且c＝(－1，1)，∴(2a＋b)·c＝－(2m＋1)＋3m－2＝0，解得m＝3. 答案　B 2.(2023·浙江金华·三模)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，1)，向量a在b方向上的投影向量为(　　) A.b B.－b C.2b D.－b 解析　由题意得a·b＝(2，1)·(－1，1)＝－1，|b|＝＝，所以向量a在b方向上的投影向量为·＝－b.故选B. 答案　B 3.(2023·甘肃武威·统考一模)已知A(1，0)，B(2，1)，C(4，3)，则(　　) A.·＝6 B.＝2 C.·＝4 D.＝2 解析　因为A(1，0)，B(2，1)，C(4，3)，所以＝(1，1)，＝(2，2)， 所以＝2，＝－2，·＝4，·＝－4，则ACD错误，B正确. 答案　B 4.已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，若a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪(0，＋∞) 解析　a＋λb＝(1，2)＋(λ，λ)＝(λ＋1，λ＋2)， 由题意得(λ＋1)＋2(λ＋2)>0且λ＋1≠，解得λ>－且λ≠0. 答案　D 5.(多选)(2023·广东广州·统考三模)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，则(　　) A.(a－b)⊥(a＋b) B.(a－b)∥(a＋b) C.|a－b|＝|a＋b| D.b－a在a上的投影向量是a 解析　因为a－b＝(3，1)，a＋b＝(－1，3)， 所以(a－b)·(a＋b)＝3×(－1)＋1×3＝0， 所以(a－b)⊥(a＋b)，故A正确； 因为3×3－1×(－1)＝10≠0，故B错误； |a－b|＝，|a＋b|＝，故C正确； 因为b－a＝(－3，－1)在a上的投影向量是×＝×＝－a，故D错误. 答案　AC 6.（2022·山西太原·一模）设a，b为非零向量，λ，μ∈R，则下列命题为真命题的是 （　　） A.若a·（a－b）＝0，则a＝b B.若b＝λa，则｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜ C.若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 D.若｜a｜＞｜b｜，则（a＋b）·（a－b）＞0 解析　对于A，a·（a－b）＝0⇔a⊥（a－b），结论不成立，命题为假； 对于B，当a与b方向相反时，结论不成立，命题为假； 对于C，当a与b共线时，结论不成立，命题为假； 对于D，若｜a｜＞｜b｜，则｜a｜2＞｜b｜2，即a2＞b2，则a2－b2＞0，所以（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＞0，命题为真. 答案　D 7.（多选）（2022·山东聊城·三模）在平面四边形ABCD中，＝＝＝·＝1，·＝，则 （　　） A.＝1 B.＝ C.＝　 D.·＝ 解析　因为＝＝＝1，·＝cos B＝，可得B＝， 所以△ABC为等边三角形，则＝1，故A正确； 因为＝1，所以＝1.又·＝1，所以＝·， 得－·＝·＝·＝0，所以AC⊥CD，则＝，故B正确； 根据以上分析作图如下： 由于BC与AD不平行，故C错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系， 则B，C，D， ＝，＝，所以·＝，故D正确.故选ABD. 答案　ABD 8.（2022·北京门头沟·一模）已知D是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·的取值范围是 （　　） A.[，4] B.[，2] C.[0，2] D.[2，4] 解析　由D在边BC上运动，且△ABC为边长为2的正三角形， 所以·＝·（＋）＝＋｜｜·｜｜·cos（π－∠ABD）＝4－｜｜∈[2，4]. 答案　D 9.（2022·全国甲卷）已知向量a＝（m，3），b＝（1，m＋1）.若a⊥b，则m＝　　　　.  解析　由题意知a·b＝m＋3（m＋1）＝0，解得m＝－. 答案　－ 10.在边长为1的正△ABC中，＝，则·的值等于　　　　.  解析　∵＝，∴＝， ∴AD·＝（－）·＝－CA·＝｜｜2－｜｜·｜｜cos＝－＝. 答案　 11.已知平面向量a，b满足a＝，＝，＝，则a与b的夹角为　　　　.  解析　因为a＝，所以＝.因为＝，所以a2＋b2－2a·b＝5，所以a·b＝5.设a，b夹角为α，则由平面向量数量积的定义可得cos α＝＝＝，因为0≤α≤π，所以α＝. 答案　 12.（2023·安徽淮南·二模）已知平面向量a，b的夹角为60°，且｜a＋b｜＝，则｜a｜＋｜b｜的最大值为　　　　.  解析　｜a＋b｜＝，两边平方得a2＋2·cos 60°＋b2＝3， 即a2＋·＋b2＝3，变形为·＝－3， 其中·≤，当且仅当＝时等号成立， 所以－3≤，解得∈. 答案　2 13.（多选）（2022·河北保定·一模）已知向量＝，将向量绕原点O逆时针旋转90°得到向量，将向量绕原点O顺时针旋转135°得到向量，则 （　　） A.＋＋＝0 B.＝ C.·＝0 D.·＝－2 解析　由题意得＝，＝，＝，所以＋＋＝≠0，故A错误； ＝＝，故B正确； ·＝0，故C正确； ·＝·＝－2，故D正确，故选BCD. 答案　BCD 14.(多选)点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　) A.若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心 B.若2＝2＝2，则点O为△ABC的垂心 C.若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心 D.若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心 解析　对于A，设边BC，AC，AB的中点分别为D，E，F， ＋＝2，则＋2＝0，所以＝－2，所以A，O，D三点共线，即点O在中线AD上，同理，点O在中线BE，CF上， 则O是△ABC的重心，故A正确； 对于B，若2＝2＝2，则||2＝||2＝||2，所以||＝||＝||， 所以O为△ABC的外心，故B错误； 对于C，设边AB，BC，CA的中点分别为点D，E，F， 则(＋)·＝2·＝0，所以OD为线段AB的中垂线， 同理，OE，OF分别为线段BC，CA的中垂线，所以O是△ABC的外心，故C正确； 对于D，由已知，·－·＝·(－)＝·＝0， 即OB垂直CA，也即点O在边AC的高上，同理，点O也在边AB，BC的高上， 所以O是△ABC的垂心，故D错误. 答案　AC 15.若M为△ABC所在平面内一点，且满足（－）·（＋－2）＝0，则△ABC的形状为　　　　.  解析　由（－）·（＋－2）＝0，可得·（＋）＝0. 又因为－＝， 所以·（＋）＝（－）·（＋）＝－＝－＝0. 即＝，由此可得△ABC是等腰三角形. 答案　等腰三角形 16.已知P是半径为1，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则·的取值范围是________. 解析　建立如图所示的平面直角坐标系， 则O(0，0)，B(1，0)，A，过点C作CD⊥OB，垂足为D. 因为OA＝OB＝1，且∠AOB＝，所以AB＝.又＝2， 所以CB＝AB＝.在Rt△CDB中，因为∠CBD＝，所以CD＝CB＝， DB＝，则OD＝，所以C. 设P(cos θ，sin θ)，0≤θ≤， 则·＝·， ＝cos2θ－＋－sinθ＋sin2θ＝1－sinθ. 又0≤θ≤，所以0≤sin θ≤1， 则1－≤1－sin θ≤1， 即·的取值范围是. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$